Fiche de révision1 : Les nombres réels
4 Exercice corrigé 1 (Application de la propriété d'Archimède dans R). 12. 5 Exercice corrigé 2 (Valeur absolue). 12. 6 Exercice corrigé 3 (Partie entière).
Exercices de mathématiques - Exo7
Propriétés de R. 1 Les rationnels Q En calculant son carré montrer que ce carré est racine d'un polynôme de degré 2. ... Indication pour l'exercice 1 ?.
Math 104 – ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay
de la Propriété d'Archimède (voir Section 1.5). Un minorant de N est par exemple
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! Supposons x ? 0
Les nombres réels
Fiche d'exercices · Propriétés de. Motivation Supposons x ? 0 par la propriété d'Archimède (Propriété 3) il existe n ? tel que n > x. L'ensemble.
Analyse 1 : les réels et les fonctions
7 sept. 2013 Dans les exercices nous admettrons les propriétés de base des fonctions sin
Analyse 1
Mais ceci est garanti par la propriété d'Archimède. Exercice 1.7. — Montrer que 1 est borne supérieure de {1 ? 1 n2 n ? N?}.
Chapitre 18 Nombres réels.
6 Exercices corrigés d) Les propriétés sur la partie entière : ... Rappeler la propriété d'Archimède puis la définition de la partie entière et ...
Cours danalyse 1 semestre dautomne
14 déc. 2015 feuilles d'exercices distribuées chaque semaine et disponibles ... La propriété d'associativité montre que les parenthèses sont inutiles.
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Propriétés de R 1 Les rationnels Q Exercice 1 1 Démontrer que si r ? Q et x /? Q alors r+x /? Q et si r = 0 alors r x /? Q 2 Montrer que
La Propriété dArchimède - Cours et Exercices
La Propriété d'Archimède · 1-Développement décimal d'un réel · 2-Q est dense dans R · 3-Caractérisation des intervalles
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Une application immédiate de la Propriété d'Archimède est de permettre de définir la partie entière d'un réel Proposition 1 5 2 Pour tout réel x il existe un
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Exercice 27 En classe la propriété d'Archimède a été utilisée pour démontrer la densité de Q dans R (voir la section 1 4) Montrer la
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Poussée dArchimède : Cours et exercices corrigés - F2School
La poussée d'Archimède PA s'exprimera en newton (N) si la masse volumique ? est en kg/m3 le volume de fluide déplacé V en m3 et la valeur de la pesanteur g en
Nombres réels Séance 4 (Propriété dArchimede et Partie entière)
10 sept 2022 · ??? ?????? ?? ??? ??????? ????? ?? ?????? S'abonner à la chaine ????? ????????? ??? Facebook : www facebook com/groups/173758682996?????? Durée : 56:43Postée : 10 sept 2022
Propriété dArchimède Partie entière et approximations décimales d
Propriété d'Archimède Partie entière et approximations décimales d'un réel Parmi les rationnels les décimaux ont un rôle pratique important leur intérêt
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Exercice: Montrer que le cops Q possède la propriété d'archimède c'est á dire si x y ? Q tels que x > 0 on peut trouver un entier n tel que nx ? y
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1 3 Propriété d'Archimède partie entière d'un nombre réel x donne précisément une suite de rationnels qui tend vers x On laisse comme exercice
Exo7 Propriétés deR1 Les rationnelsQ
Exercice 11.Démontrer que si r2Qetx=2Qalorsr+x=2Qet sir6=0 alorsr:x=2Q. 2.Montrer que
p262Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. HH???Exercice 2Montrer que
ln3ln2 est irrationnel. HH???Exercice 3 1. Soit Nn=0;19971997:::1997 (nfois). MettreNnsous la formepq avecp;q2N. 2. Soit M=0;199719971997::::::Donner le rationnel dont l"écriture décimale estM. 3. Même questionavec:P=0;11111:::+0;22222:::+0;33333:::+0;44444:::+0;55555:::+0;66666:::+0;77777:::+0;88888:::+0;99999:::
HH???Exercice 4 Soitp(x) =åni=0aixi. On suppose que tous lesaisont des entiers. 1.Montrer que si pa une racine rationnelleab
(avecaetbpremiers entre eux) alorsadivisea0etbdivise a n. 2.On considère le nombre
p2+p3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d"un polynôme de degré 2. En déduire, à l"aide du résultat précédent qu"il n"est pas rationnel. HH???2 Maximum, minimum, borne supérieure...Exercice 5Le maximum de deux nombresx;y(c"est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x;y). De même on notera
min(x;y)le plus petit des deux nombresx;y. Démontrer que : max(x;y) =x+y+jxyj2 et min(x;y) =x+yjxyj2 1Trouver une formule pour max(x;y;z).
HH???Exercice 6Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de :A=funjn2Ngen posantun=2nsinest
pair etun=2nsinon. HH???Exercice 7Déterminer (s"ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand
élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0;1]\Q;]0;1[\Q;N; (1)n+1n 2jn2N H???Exercice 8 SoientAetBdeux parties bornées deR. On noteA+B=fa+bj(a;b)2ABg. 1.Montrer que sup A+supBest un majorant deA+B.
2.Montrer que sup (A+B) =supA+supB.
HH???Exercice 9SoitAetBdeux parties bornées deR.Vraioufaux?
1.AB)supA6supB,
2.AB)infA6infB,
3. sup (A[B) =max(supA;supB), 4. sup (A+B)4.En déduire que Qest dense dansR.
HH???Exercice 11Soitf:R!Rtelle que
8(x;y)2R2f(x+y) =f(x)+f(y):
Montrer que
1.8n2Nf(n) =nf(1).
2.8n2Zf(n) =nf(1).
3.8q2Qf(q) =qf(1).
4.8x2Rf(x) =xf(1)sifest croissante.
HH???3 Indication pourl"exer cice1 N1.Raisonner par l"absurde. 2.Raisonner par l"absurde en écri vant
p2=pq avecpetqpremiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer quepetqsont tous les deux pairs. 3.Considérer r+p2
2 (r0r)(faites un dessin !) pour deux rationnelsr;r0. Puis utiliser les deux questions précédentes.Indication pourl"exer cice2 NRaisonner par l"absurde !Indication pour
l"exer cice3 N1.Mutiplier Nnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.
2. Mutiplier Mpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraireMpour obtenir un nombre entier.Indication pourl"exer cice4 N1.Calculer bnp(ab )et utiliser le lemme de Gauss. 2.Utiliser la première question a vecp(x) = (x25)224.Indication pourl"exer cice5 NDistinguer des cas.
Indication pour
l"exer cice6 NinfA=0,An"a pas de borne supérieure.Indication pourl"exer cice8 NIl faut revenir à la définition de la borne supérieure d"un ensemble borné : c"est le plus petit des majorants. En
particulier la borne supérieure est un majorant.Indication pourl"exer cice9 NDeux propositions sont fausses...
Indication pour
l"exer cice10 N1.Rappelez-v ousque la partie entière de xest le plus grand entier, inférieur ou égal àx. Mais il est ici
2.Encadrer E(kx), pourk=1;:::;n.
3. Rappelez-v ousd"abord de la formule 1 +2++npuis utilisez le fameux théorème des gendarmes. 4.Les unne seraient-ils pas des rationnels ?
4 Indication pourl"exer cice11 N1.f(2) =f(1+1) =, faire une récurrence.2.f((n)+n) =.
3.Si q=ab
, calculerf(ab +ab ++ab )avecbtermes dans cette somme. 4.Utiliser la densité de QdansR: pourx2Rfixé, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une
autre qui décroit versx.5Correction del"exer cice1 N1.Soit r=pq
2Qetx=2Q. Par l"absurde supposons quer+x2Qalors il existe deux entiersp0;q0tels que
r+x=p0q0. Doncx=p0q
0pq =qp0pq0qq02Qce qui est absurde carx=2Q.
De la même façon sirx2Qalorsrx=p0q
0Et doncx=p0q
0qp . Ce qui est absurde.2.Méthode "classique".Supposons, par l"absurde, quep22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2=pq
. De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (petqsont premiers entre eux).En élevant l"égalité au carré nous obtenonsq22=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quep
est un nombre pair (si vous n"êtes pas convaincu écrivez la contraposée "pimpair)p2impair"). Donc
p=2p0avecp02N, d"oùp2=4p02. Nous obtenonsq2=2p02. Nous en déduisons maintenant queq2est pair et comme ci-dessus queqest pair. Nous obtenons ainsi une contradiction carpetqétant tous les deux pairs la fraction pq n"est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Doncp2=2Q. Autre méthode.Supposons par l"absurde quep22Q. Alorsp2=pq pour deux entiersp;q2N. Alors nous avonsqp22N. Considérons l"ensemble suivant : N=n n2Njnp22No Cet ensembleNest une partie deNqui est non vide carq2N. On peut alors prendre le plus petit élément deN:n0=minN. En particuliern0p22N. Définissons maintenantn1de la façon suivante :n1=n0p2n0. Il se trouve quen1appartient aussi àNcar d"une partn12N(carn0etn0p2 sont des entiers) et d"autre partn1p2=n02n0p22N. Montrons maintenant quen1est plus petit que n0. Comme 0quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
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