[PDF] Math 104 – ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay

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Math 104 - ANALYSE

(première partie)

Université Paris Sud

Orsay 2015 - 2016

Notes de cours de José Montesinos

préparées à partir du précédent Polycopié de Math 104 de Thierry Ramond

Table des matières

1 La propriété de la borne supérieure 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure . 5

1.3 La propriété de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Caractérisation des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Propriété d"Archimède(Compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Développement décimal d"un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2Qest dense dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Annexe : Les règles de calcul dansR(Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.2 La relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.3 Valeur absolue, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Suites de nombres 14

2.1 Premières notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Qu"est-ce qu"une suite de nombres? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Suites majorées, minorées ou bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Principe de la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Points fixes, intervalles stables, monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 3

2.3.2 Limite et relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 Le théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Cas des suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.3 Critère de Cauchy pour les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chapitre 1

La propriété de la borne supérieure

1.1 Introduction

Vous avez rencontré jusqu"à présent différents types de nombres : d"abord les entiers naturels,

dès la petite enfance, puis au collège les entiers relatifs et les rationnels. Vous avez notéN

l"ensemble des entiers naturels,Zcelui des entiers relatifs, etQcelui des rationnels. En identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez écritNZ, puis en identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le dénominateur est 1, vous avez aussi écrit NZQ: DansQvous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions. Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques. Vous savez situer ces nombres sur une droite : il suffit de choisir une origine (qui représentera

le nombre0), une unité de longueur et un sens de parcours (généralement de gauche à droite).

On parle alors de la " droite numérique » : le nombre rationnelxest représenté par le point

d"abscissexsur la droite. La question suivante se pose alors : tout point de la droite numérique a-t-il pour abscisse un

nombre rationnel? La réponse est non : on peut construire un carré dont le côté a pour longueur

1; la diagonale de ce carré a une longueur`qui vérifie`2= 12+12= 2(Th. de Pythagore). Il

suffit de reporter cette longueur sur la droite pour déterminer un point d"abscisse`. Or` =2Q car :Proposition 1.1.1Il n"existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. Démonstration : On raisonne par l"absurde : supposons le contraire.

Il existe une fraction irréductible

pq telle que2 =p2q

2. Mais alorsp2= 2q2, doncp2est pair.

Puisque seuls les nombres pairs ont un carré pair,pest pair et s"écritp= 2k. Du coup

2q2= 4k2doncq2est pair, etqest pair.

C"est absurde puisque la fractionp=qest irréductible.On introduit alors intuitivement l"ensemble des nombres réels (qu"on noteR) comme l"en-

semble des abscisses detousles points de la droite numérique. AinsiQR. Les éléments de 4

CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE5RQ(comme`=p2,eou) s"appellent les nombres irrationnels. L"ensembleRs"identifie

à la droite numérique et l"on dit indifféremment " point » ou " nombre réel ». DansRvous pouvez faire additions, soustractions, multiplications et divisions, et aussi com- parer deux nombres réels quelconques.

Cette représentation géométrique des nombres réelles est très utile, mais pour faire de l"Analyse

rigoureusement il est nécessaire de bien préciser les propriétés fondamentales deR.

Nous présentons en Annexe dans la Section 1.6 les règles qui régissent l"addition et la multi-

plication des réels, ainsi que la relation d"ordre dansR(rien de nouveau par rapport àQ!).Le but de ce premier chapitre est de mettre l"accent sur une propriété essentielle deR, qui

n"est pas vraie dans l"ensembleQdes rationnels, et dont on va déduire dans ce cours les théorèmes fondamentales de l"Analyse : la propriété de la borne supérieure.

1.2 Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure,

borne inférieureDéfinition 1.2.1SoitAune partie non-vide deR, etmun nombre réel. On dit que

1.mest un majorant deAlorsqueampour touta2A.

2.mest un minorant deAlorsquemapour touta2A.Remarques, exemples.

1.Simest un majorant deA, alors tout réelm0mest aussi un majorant deA.

Simest un minorant deA, alors toutm0mest aussi un minorant deA.

2.L"ensembleA= [0;+1[n"a pas de majorant,0est un minorant deA.

SoitI= ]1;2[:1est un minorant deI,2est un majorant deI.

3.Il est sûrement clair pour vous que l"ensembleNn"a pas de majorant dansR... cela découle

de la Propriété d"Archimède (voir Section 1.5). Un minorant deNest, par exemple,0.Définition 1.2.2SoitAune partie non-vide deR.

1. S"il existeMmajorant deAtel queM2A, alorsMest unique. On dit queMest

le plus grand élément, ou le maximum, deA(on noteM= max(A)).

2. S"il existemminorant deAtel quem2A, alorsmest unique. On dit quemest le

plus petit élément, ou le minimum, deA(on notem= min(A)).Exemples.

1.max([1;2]) = 2puisque2est un majorant de[1;2]et22[1;2].

De même,min([1;2]) = 1.

6MATH 104 - ANALYSE2.L"ensembleA= ]1;3[est majoré et minoré, mais n"a pas de plus grand ni de plus petit

élément : en effet, soitx02A, alorsx0n"est pas un majorant ni un minorant deAcar

1<1 +x02

< x03.SoitA=1n ; n2N.

On amax(A) = 1:1est un majorant deAet12A.

Bien queAsoit minoré (par exemple par0), il n"admet pas de plus petit élément : fixons n

02N,1n

02An"est pas minorant deAcar1n

0+1<1n

0et1n

0+12A.Définition 1.2.3SoitAune partie non-vide deR, etbun nombre réel.

1. S"il existe un réelbvérifiant

(a)best un majorant deA. (b) Simest un majorant deA, on abm. alorsbest unique, on dit quebest la borne supérieure deA(on noteb= sup(A)). En résumé :sup(A)est le plus petit des majorants deA.

2. S"il existe un réelbvérifiant

(a)best un minorant deA. (b) Simest un minorant deA, on amb. alorsbest unique, on dit quebest la borne inférieure deA(on noteb= inf(A)). En résumé :inf(A)est le plus grand des minorants deA.Remarques, exemples.

1.On montre facilement queSimax(A)existe, alorssup(A)existe etsup(A) = max(A).

Sisup(A)existe etsup(A)2A, alorsmax(A)existe etmax(A) = sup(A). On a des résultats analogues pourmin(A)etinf(A).

2.SoitA= ]1;3[. On asup(A) = 3car3est un majorant deAet, comme nous avons vu

précédemment,x0<3n"est plus majorant deA. De même,inf(A) = 1.Proposition 1.2.4(Caractérisation de la borne supérieure)

SoitAune partie non-vide deR, etbun réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents

1.best la borne supérieure deA.

2.best un majorant deAet, pour tout >0, il existe au moins un élément deAdans

l"intervalle[b;b]. Démonstration : Sibest la borne supérieure deA, c"est un majorant deA, et pour tout >0, bn"est pas un majorant deA: il existe un élémentxdeAqui est supérieur àb. Puisque best un majorant deA, on a aussixb, doncx2[b;b]. Réciproquement, si 2. est vraie, alorsbest bien le plus petit des majorants deA.

CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE7Proposition 1.2.5(Caractérisation de la borne inférieure)

SoitAune partie non-vide deR, etbun réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents

1.best la borne inférieure deA.

2.best un minorant deAet, pour tout >0, il existe au moins un élément deAdans

l"intervalle[b;b+].

Exemple.

SoitA=1n

; n2N. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure pour montrer queinf(A) = 0: -0est un minorant deA. - Fixons >0et montrons qu"il existe au moins un élément deAdans l"intervalle [0;0 +]:

Soitn02Ntel quen01

(l"existence den0est conséquence de la Propriété d"Archi- mède : voir Section 1.5), on a bien 1n

02[0;].

1.3 La propriété de la borne supérieure

Bien entendu, siARn"admet pas de majorant,An"a pas non plus de borne supérieure : c"est le seul cas où une partie (non-vide) deRn"a pas de borne supérieure, comme l"affirme le résultat fondamental suivant :Théorème 1.3.1(La propriété de la borne supérieure)

SoitAune partie non-vide deR.

1. SiAest majorée, alorsAadmet une borne supérieure.

2. SiAest minorée, alorsAadmet une borne inférieure.

Nous admettrons ce Théorème, dont la démonstration utilise la construction rigoureuse des nombres réels à partir des rationnels.

La propriété de la borne supérieure marque la différence essentielle entreQetRcar elle n"est

pas vraie dansQ:Une partie non vide et majorée deQn"admet pas, en général, une borne supérieure dansQ.

En effet, considérons

A=fx2Q;x22g

-An"est pas vide (12Apar exemple) . -Aest majorée :2est un majorant deA(six >2, alorsx2>4etx =2A). Montrons par l"absurde queAn"a pas de borne supérieure dansQ. On suppose donc queb= sup(A)2Qet on va arriver à une contradiction.

Remarquons queb >0car12A.

- Supposons queb2<2. Considérons pourn2Nle nombre rationnelbn=b(1 +1n On a (bn)2=b2(1 +2n +1n

2)b2(1 +3n

8MATH 104 - ANALYSEIl est facile de vérifier (exercice) que

b

2(1 + 3=n)<2,n >3b2=(2b2)

(on utilise ici que2b2>0).

Soit alorsn02Ntel quen0>3b2=(2b2).

On a(bn0)2<2etbn02Q, par conséquentbn02A, ce qui est absurde car, comme tous lesbn,bn0> betbest un majorant deA. - De la même manière, on ne peut pas avoirb2>2(exercice). Ainsi,best un rationnel tel queb2= 2, ce qui là encore est absurde :An"a pas de borne supérieure dansQ.

Bien entendu, d"après la propriété de la borne supérieure,Aadmet une borne supérieures2R

(et on peut adapter les considérations précédentes pour montrer ques2= 2).

1.4 Caractérisation des intervalles

Voici une première conséquence importante de la propriété de la borne supérieure :Proposition 1.4.1SoitAune partie non-vide deR.

Les énoncés suivants sont équivalents :

1.Aest un intervalle.

2. Pour tous,;2A, l"intervalle[;]est inclus dansA.

Démonstration : L"implication1)2est évidente. Montrons que2)1. Supposons d"abordAmajoré et minoré. On sait alors quea= inf(A)etb= sup(A)existent. On aA[a;b]. De plus,]a;b[A. En effet, sia < x < b, il existe un élément2Adans l"intervalle[x;b] (carxn"est pas un majorant deA). De même, il existe2Adans[a;x](puisquexn"est pas un minorant deA). Par conséquent,x2[;]Ad"après l"hypothèse2. CommeA[a;b]et]a;b[A,Aest l"un des4intervalles de bornesaetb.

Le lecteur complétera la démonstration siAn"est pas majoré ou minoré.1.5 Propriété d"Archimède(Compléments)

Il est sûrement clair pour vous quePour tout nombre réelx, on peut trouver un entier naturelntel quex < n

Cette propriété porte le nom de Propriété d"Archimède.

Il est très facile de montrer queQvérifie cette propriété. En effet, soitr2Q, sir0, alors

n= 1convient. Sir >0, alors il s"écritr=lm , avecl;m2Netn=l+ 1convient.

CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE9Nous allons montrer, à partir de la propriété de la borne supérieure, queRvérifie aussi la

Propriété d"Archimède :Proposition 1.5.1Pour toutx2R, il existen2Ntel quex < n. Démonstration : Par l"absurde. Supposons qu"il existex2Rtel quenxpour toutn2N. AinsiNest une partie non vide et majorée (parx) deRet elle admet donc une borne supérieure s= sup(N). En particuliern+ 1s, pour toutn2N, d"oùns1pour toutn2N. Absurde :s1

est un majorant deNstrictement inférieur às= sup(N)1.5.1 Développement décimal d"un réel

Une application immédiate de la Propriété d"Archimède est de permettre de définir la partie

entière d"un réel.Proposition 1.5.2Pour tout réelx, il existe un unique entier relatifmtel que

mx < m+ 1. On le notem=E(x): c"est la partie entière du réelx. Démonstration : Soitx2R+, etAla partie deRdéfinie parA=fp2N;xpg.An"est pas

vide puisque02A. De plus, grâce à la propriété d"Archimède, il existe un entierntel que

x < n: tous les éléments deAsont donc inférieurs àn:Aest un ensemble fini, donc admet un élément maximumm. Par définition deAon a alorsmx < m+ 1puisquem+ 1=2A. Pourx <0, on applique ce qui précède àx: au total, on a alors montré que pour toutx2R, il existe un entiermtel quemx < m+ 1. Il reste à voir qu"il ne peut pas y en avoir un second : supposons que l"on ait aussim0x < m

0+ 1. On auraitm01 des entiers, entraînemm0= 0.On peut être bien plus précis : Proposition 1.5.3Soitxun réel. Pour toutn2Nil existe un unique entierqntel que q n10 nx Le rationnel décimal

qn10 n(respectivement,qn+ 110 n) est appelé valeur décimale approchée à10nprès par défaut (respectivement, par excès) du réelx. Démonstration : L"entierqn=E(10nx)convient, et c"est le seul.

10MATH 104 - ANALYSE1.5.2Qest dense dansR

On a bien compris maintenant queQ6=R. Cependant, grâce à la propriété d"Archimède, on

montre que ces deux ensembles ne sont pas très différents :Proposition 1.5.4Qest dense dansR: tout intervalle]a;b[non-vide deRcontient au

moins un rationnel. Démonstration : Puisqueba >0, la propriété d"Archimède permet d"affirmer qu"il existe n2Ntel quen >1=(ba). Posons alorsm=E(na): on amna < m+ 1, donc mn a Le nombre rationnel(m+ 1)=nappartient donc a]a;b[.1.6 Annexe : Les règles de calcul dansR(Rappels)

On admet l"existence d"un ensembleR, qu"on appelle ensemble des nombres réels, qui contient Q.

1.6.1 Somme et produit

On admet qu"on peut définir surRune opération : l"addition (notée "+»), dont la restriction

àQest l"addition usuelle de rationnels, vérifiantProposition 1.6.1(Propriétés de l"addition)

A.1a+b=b+apour tous réelsaetb.

A.2a+ (b+c) = (a+b) +cpour tous réelsa;betc.

A.3a+ 0 =apour tout réela.

A.4 Pour touta2R, il existe un unique réel, notéa, qui vérifiea+ (a) = 0. On résume ces quatre propriétés en disant que(R;+)(lire :Rmuni de l"addition) est un groupe commutatif. On admet qu"on peut définir surRune opération : la multiplication (notée "»), dont la

restriction àQest la multiplication usuelle de rationnels, vérifiantProposition 1.6.2(Propriétés de la multiplication)

M.1ab=bapour tous réelsaetb.

M.2a(bc) = (ab)cpour tous réelsa;betc.

M.3a1 =apour tout réela.

M.4 Pour touta2R=R0, il existe un unique réel, noté1a , qui vérifiea1a = 1

CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE11On remarque que la multiplication dansRvérifie les mêmes quatre propriétés que l"addition

dansR:(R;)est aussi un groupe commutatif.

Voilà une dernière propriété, reliant l"addition et la multiplication, que vous connaissez sous

le nom de distributivité :Proposition 1.6.3Pour tousa;betcdansR, on aa(b+c) = (ab) + (ac)

On résume les neuf propriétés qui précèdent en disant que(R;+;)est un corps commutatif.

Il faut noter qu"à ce stade,RetQont exactement les mêmes propriétés :(Q;+;)est aussi un corps commutatif.

Remarques.

1.On note simplementabà la place deab.

De même, on écritabà la place dea+ (b)etab

à la place dea1b

2.On peut montrer à partir des deux propositions précédentes les résultats suivants (exercice) :

1. Pour tousa;c2R, l"équationa+x=cpossède une unique solutionx=ca.

2. Pour touta2R, on a(a) =a.

3. Pour touta2R,a0 = 0.

4. Pour tousa;b2R, on aa(b) =(ab).

5. Pour tousa;c2R,a6= 0, l"équationax=cpossède une unique solutionx=ca

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