[PDF] TD de théorie quantique des champs

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Master 2`eme ann´ee de Physique

ENS de Lyon et Universit´es de Lyon & de Savoie Novembre 2006 - Janvier 2007TD de th´eorie quantique des champs

Pierre Salati

1,2 1 Laboratoire Ancil´evien de Physique Th´eorique LAPTH, 9 Chemin de Bellevue

B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex

2Universit´e de Savoie, B.P. 1104, 73011 Chamb´ery Cedex

salati@lapp.in2p3.fr & pierre.salati@univ-savoie.fr t´el´ephone 04.50.09.16.90Programme •Vendredi 1 D´ecembre 2006 - Quantification canonique du champ de Dirac - Quantification `a la Gupta-Bleuler deAμ(x). •Vendredi 8 D´ecembre 2006 - Alg`ebres et variables de Grassmann - Alg`ebres de Clifford - Int´egration Grassmannienne - Gaussienne Grassmannienne - Solf`ege de Diracologie. •Vendredi 15 D´ecembre 2006 - Calcul du processuse +(k) +e-(p)→μ+(k?) +μ-(p?).

•Vendredi 22 D´ecembre 2006 - Calcul de la self-´energie de l"´electron `a une boucle et introduction

`a la r´egularisation dimensionnelle.

•Vendredi 12 Janvier 2007 - Calcul du processus de diffusion Comptonγ(k) +e-(p)→γ(k?) +e-(p?).i

Travaux dirig´es I

Quantification canonique

1) Quantification canonique du champ de Diracψ(x).1.1) Exercice I : Anticommutation deψet deψ†.•En utilisant la d´ecomposition du champ de Dirac quantiqueψ(x) en ondes planes - modes de

Fourier - et les relations d"anticommutation des op´erateurs de cr´eationb†etd†et d"annihilation

betd, calculer?

ξ?x0,?x?, ψ†

??x0,?y?? puis?

ξ(x), ψ†

?(y)? lorsquex0?=y0. •On d´efinit dans le cas fermionique T

Calculer le propagateur de Feynman

η(x)¯ψξ(y)≡ ?0|T?ψη(x)¯ψξ(y)?|0?=i{SF(x-y)}η ξ,(TDI.2) et l"exprimer en fonction du propagateur d"un champ scalaire libre. On rappelle les propri´et´es de fermeture des bi-spineurs d"onde plane qui sont solutions de l"´equation de Dirac libre

α=±u(k,α)?¯u(k,α) =12

I+?km ≡?k+mI2m,(TDI.3) et

α=±v(k,α)?¯v(k,α) =12

I-?km ≡-?k+mI2m.(TDI.4)

Remarque :ηetξsont des indices ´etiquetant les 4 composantes deψ(x) en tant que bi-spineur

de Dirac. Chacune de ces 4 composantes est un op´erateur.1.2) Exercice II : En utilisant la d´ecomposition deψ(x) en ondes planes - modes de Fourier - calculer H=? d

3x ψ†(x)(i∂0ψ(x)) etN=?

d

3xψ†(x)ψ(x),(TDI.5)

en fonction des cr´eateursb†etd†et des annihilateursbetd. Indication : en utilisant les ´equations

de Dirac des bi-spineursuetv, montrer tout d"abord que u †(˜k,β)·v(k,α) = 0,(TDI.6) o`uk= (k0,?k) et˜k= (k0,-?k)TDI-1

1.3) Exercice III :

•Calculer explicitement? d

3x eip.xu†(p,β)ψ(x),(TDI.7)

en fonction des cr´eateursb†etd†et des annihilateursbetd. Le r´esultat ne doit pas d´ependre

dex0. Idem pour? d

3x e-ip.xv†(p,β)ψ(x).(TDI.8)

•En d´eduire que si?

η(x),ψ†

ξ(y)?

x

0=y0=δη ξδ3(?x-?y),(TDI.9)

et {ψη(x),ψξ(y)}x0=y0= 0,(TDI.10)

alors les cr´eateursb†etd†et les annihilateursbetdsatisfont des relations d"anticommutation

que l"on d´erivera.2) Quantification `a la Gupta-Bleuler deAμ(x).On consid`ere le Lagrangien L=-14

FμνFμν-(λ= 1)2

(∂ρAρ)2.(TDI.11)

2.1) Exercice IV :

•Calculer le moment conjugu´e •Calculer le Hamiltonien H=? d

3x{Πα(∂0Aα)- L},(TDI.13)

en fonction de∂0A0=A0,∂0?A=?A,A0et?A.2.2) Exercice V : •A partir des relations de quantification canonique `a temps ´egaux

?Aμ(x0,?x),Πν(x0,?y)?=igμνδ3(?x-?y)?Aμ(x0,?x),Aν(x0,?y)?= 0?Πμ(x0,?x),Πν(x0,?y)?= 0

calculer les commutateurs `a temps ´egaux

Aμ(x0,?x),Aν(x0,?y)?

et?Aμ(x0,?x),Aν(x0,?y)? .(TDI.14) TDI-2 En rapprochant le r´esultat du cas du champ scalaire et en d´ecomposant le potentiel vecteur A

μ(x) en ondes planes avec

A

μ(x) =?

˜dk3?

λ=0?

,(TDI.15)

calculer les relations de commutation entre cr´eateursa†(k,α) et annihilateursa(p,β).2.3) Exercice VI :

En utilisant l"ordre normal

:a(k,α),a†(p,β) :≡a†(p,β)a(k,α)≡:a†(p,β)a(k,α) :,(TDI.16) Exprimer :H: en fonction des cr´eateurs et des annihilateurs.2.4) Exercice VII :

•A partir de la d´ecomposition (TDI.15) deAμ(x) en ondes planes, calculer{∂μAμ}|0?o`u le

vide est l"´etat quantique annul´e par tous les op´erateursa(k,λ). •Expliquer alors pourquoi la relation {∂μAμ}|Ψphys?= 0(TDI.17) ne peut ˆetre une "bonne" condition pour s´electionner les ´etats physiques. •Expliquer pourquoi la condition ?Ψphys|{∂μAμ}|Ψphys?= 0(TDI.18)

ne peut ˆetre ´egalement retenue. Indication : en d´epit de son attrait, la condition (TDI.18) ne

poss`ede pas une propri´et´e essentielle en th´eorie quantique - laquelle ? •La partie deAμ(x) qui contient des ondes planes `a ´energie positive est d´efinie par A (+)(x) =?

˜dk3?

ExprimerAμ(x) en fonction deAμ

(+)(x) et d´efinirAμ (-)(x). Proposer alors une condition (i)du genre (TDI.17) mais en moins exigeant, (ii)qui poss`ede la propri´et´e essentielle identifi´ee plus haut, (iii)et de laquelle on peut d´eriver la condition (TDI.18). TDI-3

2.5) Exercice VIII :

En explicitant la condition trouv´ee pr´ec´edemment, montrer que {a(k,0)-a(k,3)}|Ψphys?= 0?kμ=? |k|,?k? .(TDI.20) Indication : on rappelle quek·?(k,λ= 1,2) = 0 et on prendra?(k,0) ´egal au vecteur unitaire

temporele(0)et?(k,3) ´egal au vecteur unitaire spatiale(3)parall`ele `a l"impulsion?k.2.6) Exercice IX :

•Montrer que N=?

˜dk?

est un op´erateur de comptage des polarisations non-physiques. Indication : on pourra ´etudier l"action deNsur des ´etats de la forme |Ψ?=|ΨT? ? |Φ? ≡p? j=1a †(kj,αj)·n? i=1a †(qi,βi)|0?,(TDI.22) o`uαj? {1,2}etβi? {0,3}.

•En ´ecrivant|Ψphys?=|ΨT??|Φ?, on montrera que la condition (TDI.20) ´equivaut `a la relation

{a(k,0)-a(k,3)}|Φn?= 0?kμ=? |k|,?k? .(TDI.23)

Donner alors la forme g´en´erale des vecteurs|Φn?en fonction des cr´eateursa†(k,0) eta†(k,3).

Calculer?Φn|N|Φn?. En d´eduire?Φn|Φn?ainsi que?Φ|Φ?et finalement?Ψphys|Ψphys?.2.7) Exercice X :

A l"aide du r´esultat de l"exercice VI, calculer Votre r´esultat d´epend-il de|Φ??2.8) Exercice XI : •En utilisant la d´ecomposition deAμ(x) en ondes planes, calculer la valeur moyenne ?Ψphys|Aμ(x)|Ψphys?,(TDI.25)

o`u l"´etat|Ψphys?=|0?T? |Φ?ne poss`ede que des excitations associ´ees `a des polarisations non

physiques. Interpr´eter et commenter votre r´esultat.TDI-4 •Comparer les valeurs moyennes?

Ψ(1)

phys???Aμ(x)???Ψ(1) phys? et?

Ψ(2)

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