[PDF] THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS d'œil sur l'éventuel

View - Download THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

Previous PDF

Next PDF

Paris 7

D.E.A. Champs, Particules, Mati`eres

THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

EXERCICES

La lecture de ces exercices n"est pas interdite. La recherche de leurs solutions est mˆeme rigoureusement

autoris´ee; quel qu"en soit le r´esultat et en d´epit de l"opinion d´esabus´ee que vous pourriez en avoir, elle

sera toujours ´edifiante. Cela dit, il est inutile de "s´echer" sur un exercice au del`a d"un d´elai raisonnable :

des erreurs involontaires peuvent subsister dans l"´enonc´e. Il est alors bien pr´ef´erable de jeter un coup

d"œil sur l"´eventuel corrig´e et/ou d"aller se coucher (la nuit porte conseil), d"en d´ebattre avec son (sa,

ses) partenaire(s) favori(te)(s), de consulter les bons auteurs, de me demander ce que je parviens `aen

penser (donc pas apr`es trois heures et demi de magistrale, certes, mais ext´enuante, prestation) en me

t´el´ephonant (il m"arrive de dormir?[22h,8h]), en venant pour le th´e, en m"invitant `adˆıner...

Toutes louanges, questions, suggestions, corrections, et mˆeme critiques, seront les bienvenues. votre contact: Alain Laverne couloir 24-14, 5 e

´etage,

Universit´e Paris 7

2 place Jussieu, Paris V

e

158 rue St. Jacques, Paris V

e

24 rue Lafayette, 38 Grenoblet´el.

44277979

43290902

76447853

2D.E.A. Champs&c...Paris 7

1Deux op´erateurs satisfont la relation [A,B]=i. SoitA|a?=a|a?.

1. CalculerA(1-iBdω)|a?au premier ordre endω(petit).

2. Que peut-on dire dee

-iBω |a??

2Pour des directions et sens bien particuliers de leurs axes d"espace et de temps, les coordonn´ees utilis´ees

respectivement par Ada et Van pour d´esigner les ´ev´enements sont reli´ees par t =γ(t-vx) x =γ(x-vt) y =y z =z, avecγ df =(1-v 2 -1/2 ,etv= vitesse (de qui/qui au fait ?).

1. Vous croyez `a l"invariance par rotation. Saurez-vous en in(/d´e)duire une ´ecriture vectorielle

donnantt etr en fonction det,retv, ind´ependamment des directions des axes d"espace?

2. En d´eduire les valeurs des ´el´ements Λ

de la matrice de transformation correspondante en fonctions des composantesv i

3. A l"aide de cette expression, v´erifier explicitement que le produit de deux transformations

sp´eciales de Lorentz orthochrones est encore une transformation orthochrone.

3Calculer chacun des coefficients Λ

-1μν de la matrice inverse d"une transformation de Lorentz dont les coefficients sont Λ

4Soit un tenseurT

et les quantit´es, d´efinies dans chaque rep`ere :A df =T ,A ?df =T ,etc.Montrer queA,A ,etc.sont les composantes d"un tenseur.

5On se propose de d´emontrer une propri´et´e qui - quoique fr´equemment invoqu´ee - l"est rarement,

`a savoir que toute transformation de Lorentz, homog`ene, propre, orthochrone, peut ˆetre consid´er´ee

comme produit d"une transformation sp´eciale de Lorentz et d"une rotation. Soit une transformation de Lorentz homog`ene,etc., de matrice Λ

1. Montrer que (Λ

00 2 i i0 2 00 2 i 0i 2 =1.

2. On d´efinit les trois quantit´esv

idf 0i 00 (i)Montrer quev 2 (ii)En d´eduire que lesv i peuvent ˆetre adopt´es comme valeurs des param`etres d"une transformation sp´eciale de Lorentz.

3. Soit un syst`eme de coordonn´eest

,x ,y ,z et un autre syst`eme de coordonn´ees,t,x,y,zqui se d´eplace `a une vitessevpar rapport `a celui-l`a. (i)Rappeler la forme vectorielle (cf.exercice2) t =t ?v (t,r) r =r ?v (t,r) de la transformation de Lorentz entre ces syst`emes. (ii)En d´eduire que la matrice de cette transformation est de la forme : L (v)?=?L 00 (L 0j (L i0 )(L ij (γ(γv j γv i ij

γ-1

v 2 v i v j

Exercices de th´eorie quantique des champs3

4. Calculer les coefficientsγetγv

i de cette matrice en fonction des Λ , lorsqueva la valeur d´efinie `a la question 2.

5. Soit la matriceR

df =ΛL(-v). (i)CalculerR 00 (ii)En d´eduire les valeurs desR 0i etR i0 . (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa d´efinition, la

matriceRappartient au groupe des matrices Λ et satisfait donc les propri´et´es montr´ees `a la question 1.)

(iii)Quelle est la nature de la transformation correspondant `aR?

6. Quel est le r´esultat du produitRL(v)?

7. On se propose de montrer que cette d´ecomposition d"une transformation de Lorentz, en

transformation sp´eciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations,RetR , et deux transformations sp´eciales de Lorentz,L(v)etL(v ), telles que Λ =RL(v)=R L(v (i)Montrer queR -1 R L(v )L(-v)=I. (ii)Montrer que l"´el´ement 00 de cette relation matricielle fournit une condition liantv,γ,v etγ (iii)Quelle condition doivent satisfairevetv pour que celle-ci soit r´ealis´ee? (iv)En d´eduire queL(v )=L(v)etR =R.

6Soit un tenseurT

1. Montrer que lesA

d´efinis dans chaque rep`ere parA

αdf

=T , sont composantes d"un quadri- vecteur.

2. Montrer queA

=T

7Soient deux champs classiques quadri-vectorielsA

(x )etj (x ), et les champs tensoriels F

μνdf

A A F

μνdf

F Tous ces champs sont coupl´es par les ´equations du mouvement F =j F =0.

1. Une question s´emantique pour commencer. Quels sont les statuts respectifs de chacun de ces

champs : variables dynamiques, champs externes, ou champs auxiliaires?

2. Etant donn´e un champω(x

(i)...quelles sont les cons´equences de la transformation A →A ?μdf =A (ii)Est-on bien justifi´es de qualifierA de quadri-vecteur? (iii)Calculer∂ j

3. Soient les champs

E idf i A 0 0 A i B idf ijk j A k (i)Pourquoi peut-on se permettre de les qualifier de (tri)vectoriels? (ii)Sont-ils composantes de champs quadri-vectoriels? (iii)Ecrire les tableaux des composantes deF ,F et F en fonction des composantesE i etB i

4. En d´eduire les ´equations du mouvement des champsEetB, coupl´es `aj

0 etj.

4D.E.A. Champs&c...Paris 7

5. Colin se d´eplace `a vitessev=vˆ1dans le rep`ere de Chlo´e qui ´etait utilis´e jusqu"`apr´esent. Tous

deux utilisent par ailleurs des "axes parall`eles". (i)Ecrire la matrice Λ qui permet de calculer les coordonn´eesx attribu´ees par Colin `aun ´ev´enement qui, pour Chlo´e, a les coordonn´eesx (ii)En d´eduire les composantes des champsE ?i etB ?i en fonction desE i etB i , ainsi que les composantesj ?0 etj ?i en fonction desj 0 etj i

6. Une particule ob´eit `al"´equation du mouvement

d d p =q mF p

Quelles ´equations en d´eduisez-vous pourdp

0 /dtetdp/dt?

8SoitU(da)=1-iPdal"expression de l"op´erateur repr´esentant une translation infinit´esimale,da,le

long d"un axe donn´e, dans l"espace des ´etats d"un syst`eme quantique. Montrer quePest hermitique,

et calculerU(a) repr´esentant une translation finie.

9Montrer qu"entre deux ´etats propres des g´en´erateurs des translationsP

d"un champ quantique, on a, pour l"op´erateur de champ?, la relation : ?p |?(xquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] théorie des champs pdf

[PDF] cours champ magnétique pdf

[PDF] pendule électrostatique exercice corrigé

[PDF] exercices champ electrostatique 1s

[PDF] exercices corrigés champs et forces 1ere s

[PDF] concours ats 2016 corrigé

[PDF] ats physique

[PDF] mouvement d'un projectile exercices corrigés

[PDF] heros d'aujourd'hui caracteristiques

[PDF] champ lexical des émotions

[PDF] champs lexical des sentiments amoureux

[PDF] champ lexical sentiments cycle 3

[PDF] le champ lexical des sentiments dans la boite a merveille

[PDF] champ lexical des sentiments exercices

[PDF] le champ lexical de la tristesse