Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 4.3 Exponentielle complexe . Limite de la somme : (a) Si lim.
TF DIRAC
ET TUTTI QUANTI
Séries entières
La somme est la fonction qui à tout complexe z tel que ? an zn converge associe Le fait que la somme de la série exponentielle soit exp(z) n'est.
Calcul Algébrique
se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k ». C'est une notation écriture prend toute sa force grâce à l'exponentielle complexe.
Lexponentielle complexe
L'exponentielle complexe du cercle U des nombres complexes de module 1. ... convergente sur tout compact K ? C. Sa somme est notée exp(z) ou.
Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : – forme trigonométrique réelle. – forme exponentielle complexe
Séries numériques
29 avr. 2014 La somme de la série exponentielle est le nombre e ... Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties ...
Exponentielle de matrices
4.1 Groupes topologiques et exponentielle complexe . de la matrice unipotente In + D?1N qui est une somme finie
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Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles
variété complexe Xç munie de l'application fç : Xç -> Aç et qui est à l'interprétation cohomologique des sommes exponentielles et au théorème de chan-.
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On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa
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La propriété fondamentale de l'exponentielle est la suivante : Théorème 1 2 Pour tous nombres complexes s t on a eset = es+t En particulier l'exponentielle
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Tout nombre complexe de module non nul r et d'argument ? s'écrit z = rei? Cette écriture est la forme exponentielle de z Exercice 12 On donne z1 =1+ i et
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Les propriétés calculatoires de exp découlant de sa propriété fonctionnelle l'exponentielle complexe possède les mêmes : Proposition
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fonction exponentielle à l'aide d'une somme infinie de termes valable dans R et dans C mais qu'on ne voit qu'après le bac ! Forme exponentielle d'un
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Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle 1 = 1 + 1 ? Calculer la somme des complexes qui vérifient = ?1
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Il s'agit d'un cours consacré aux sommes exponentielles provenant continue sur X à valeurs complexes) on a lim !( ~ f(x)) = S f N-++>O N n=l
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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + somme) C'est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées
Chapitre 4
Nombres complexes et exponentielle
complexeSommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
824.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
834.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
844.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .
854.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .
854.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants
89 4.1 Denition
Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition
estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres
complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :
(c)k:pa;bq pka;kbq.On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus
simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition
et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe
Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point
Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.Dans cette representation :
(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzqMpz1qMpz`z1q
xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzqMpizqa"?epzq?mpzq "b
´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq
Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b
?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,
l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.
UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 20171M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq
θ"argpzq r2πs
1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).
Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On aalors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de
module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.OMpzqMpz1qz
1"zˆpcos?`isin?q
xy4.3 Exponentielle complexeDenition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;
(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la
formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| e2233456
e i1?3i2?2i?2 21i?32i1i?3
2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 2334
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3
2i1i?3
2 ?2i?2 2?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie
sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.Consequence :
(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj
zzznfoishkkkkikkkkj e zezezezn. SinPZ, alorsn kaveckPNet alors, par denition, ezn1 ezk, maisezkekzdoncezn1e kzekzenz. Ennez01 par denition, mais 1e0e0zd'ouez0e0z.4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe4.4.1 Racines n-ieme de l'unite
Denition 4.9SoitnPN. On appelle racinen-ieme de l'unite tout nombre complexe!tel que!n1. Remarque 4.10Pour toutkPZ, le nombre complexeei2kn ei2n kest une racinen-ieme de l'unite. De plus, s'il existepPZtel quek1kpn, alors : e i2k1n ei2pkpnqn ei2kn i2pei2kn ei2pei2kn pei2qpei2kn Proposition 4.11SoitnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racinesn-iemes de l'unite.Ce sont les nombres :
e i2kn ei2n Preuve :Si!n1, alors!0, donc!reiavecr |!| PRetargp!q P r0;2r. On a alors : r nein1, d'ourn1 et doncr1 d'une part, etn0pmod 2qet doncn2k, c.-a-d.2kn aveckPZ, d'autre part. Ainsi, toute les racinesn-ieme de l'unite sont de la formeei2kn aveckPZ. De plus e i2k1n ei2kn si et seulement si2k1n 2kn r2s, c.-a-d. s'il existepPZtel que2k1n 2kn2p, c.-a-d.
k1kpn. Mais d'apres le theoreme de division euclidienne, pour toutk1PZ, il existe un unique couplepp;kq
1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexes4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque
Denition 4.12SoientzPCetnPN. On appelle racinen-ieme deztout nombre complexe!tel que nz. Proposition 4.13SoientzeiPCetnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racines n-iemes dez. Ce sont les nombres : n?e i2knPreuve :c'est une consequence immediate de la proposition 4.11.4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque
D'apres la proposition 4.13 tout nombre complexe non nul a exactement 2 racines carrees, mais l'expression qui
en est donnee est sous forme polaire. On en donne ici une expression cartesienne.SoitzaibPCet!xiytel que!2z; on a alors :
x2y2 2b2: On en deduit que :
x 2?a 2b2a2 ety2?a 2b2a2 On distingue plusieurs cas :
Si b0 eta¡0 alorsy0 etx2ad'oux?aoux ?a, c.-a-d. :!?aou! ?a. Si b0 eta 0 alorsx0 ety2 |a|d'ouya|a|ouy a|a|c.-a-d. :!ia|a|ou! ia|a|. Si b¡0 alorsxetysont de m^eme signe car 2xyb¡0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Si b 0 alorsxetysont de signes opposes car 2xyb 0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Ces formules ne sont pas a retenir par cur. Voici un exemple pour les illustrer. Exemple 4.14soitz43iet!xiytel que!2z; on a alors : x 2y2 232?255;
on en deduit que : x 292
ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2 d'ou!3i?2 m aj 28 ao^ut, 201785Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018 Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes
4.5.1 Suites a valeurs complexes
Denition 4.15Une suitepznqnPNa valeurs complexes est une application deNdansC. Denition 4.16(a)On d itqu'une s uitede terme g eneralznest bornee si la suite a valeurs reelles de terme general|zn|est
bornee ou si, de maniere equivalente, les suites a valeurs reelles de terme generaux bornees. (b) On dit qu'une suite de terme g eneralzna pour limite`PCsi limnÑ8|zn`| 0. On ecrit alors limnÑ8zn`.
On remarque que lim
nÑ8zn`si et seulement si limnÑ8Les limites de suites a valeurs complexes verient des proprietes similaires a celles des limites de suites a valeurs
reelles. Proposition 4.17SoientpznqnPNetpwnqnPNdeux suites a valeurs complexe. Limite de la somme :
(a) Si lim
nÑ8zn`PCet limnÑ8wn`1PCet sip;q PC2alors limnÑ8pznwnq ``1. (b) Si lim
nÑ8zn 8et sipwnqnPNest bornee alors limnÑ8pznwnq 8. En particulier, si la suitepwnqnPNa une limite nie :quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
On en deduit que :
x 2?a 2b2a2 ety2?a 2b2a2On distingue plusieurs cas :
Si b0 eta¡0 alorsy0 etx2ad'oux?aoux ?a, c.-a-d. :!?aou! ?a. Si b0 eta 0 alorsx0 ety2 |a|d'ouya|a|ouy a|a|c.-a-d. :!ia|a|ou! ia|a|. Si b¡0 alorsxetysont de m^eme signe car 2xyb¡0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Si b 0 alorsxetysont de signes opposes car 2xyb 0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Ces formules ne sont pas a retenir par cur. Voici un exemple pour les illustrer. Exemple 4.14soitz43iet!xiytel que!2z; on a alors : x2y2 232?255;
on en deduit que : x 292
ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2 d'ou!3i?2 m aj 28 ao^ut, 201785Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018 Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes
4.5.1 Suites a valeurs complexes
Denition 4.15Une suitepznqnPNa valeurs complexes est une application deNdansC. Denition 4.16(a)On d itqu'une s uitede terme g eneralznest bornee si la suite a valeurs reelles de terme general|zn|est
bornee ou si, de maniere equivalente, les suites a valeurs reelles de terme generaux bornees. (b) On dit qu'une suite de terme g eneralzna pour limite`PCsi limnÑ8|zn`| 0. On ecrit alors limnÑ8zn`.
On remarque que lim
nÑ8zn`si et seulement si limnÑ8Les limites de suites a valeurs complexes verient des proprietes similaires a celles des limites de suites a valeurs
reelles. Proposition 4.17SoientpznqnPNetpwnqnPNdeux suites a valeurs complexe. Limite de la somme :
(a) Si lim
nÑ8zn`PCet limnÑ8wn`1PCet sip;q PC2alors limnÑ8pznwnq ``1. (b) Si lim
nÑ8zn 8et sipwnqnPNest bornee alors limnÑ8pznwnq 8. En particulier, si la suitepwnqnPNa une limite nie :quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
232?255;
on en deduit que : x 292ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2 d'ou!3i?2 m aj 28 ao^ut, 201785Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018
Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes
4.5.1 Suites a valeurs complexes
Denition 4.15Une suitepznqnPNa valeurs complexes est une application deNdansC.Denition 4.16(a)On d itqu'une s uitede terme g eneralznest bornee si la suite a valeurs reelles de terme general|zn|est
bornee ou si, de maniere equivalente, les suites a valeurs reelles de terme generaux On dit qu'une suite de terme g eneralzna pour limite`PCsi limnÑ8|zn`| 0. On ecrit alors limnÑ8zn`.On remarque que lim
nÑ8zn`si et seulement si limnÑ8
Limite de la somme :
(a)Si lim
nÑ8zn`PCet limnÑ8wn`1PCet sip;q PC2alors limnÑ8pznwnq ``1. (b)Si lim
nÑ8zn 8et sipwnqnPNest bornee alors limnÑ8pznwnq 8. En particulier, si la suitepwnqnPNa une limite nie :quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] exponentielle i pi
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