Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 4.3 Exponentielle complexe . Limite de la somme : (a) Si lim.
TF DIRAC
ET TUTTI QUANTI
Séries entières
La somme est la fonction qui à tout complexe z tel que ? an zn converge associe Le fait que la somme de la série exponentielle soit exp(z) n'est.
Calcul Algébrique
se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k ». C'est une notation écriture prend toute sa force grâce à l'exponentielle complexe.
Lexponentielle complexe
L'exponentielle complexe du cercle U des nombres complexes de module 1. ... convergente sur tout compact K ? C. Sa somme est notée exp(z) ou.
Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : – forme trigonométrique réelle. – forme exponentielle complexe
Séries numériques
29 avr. 2014 La somme de la série exponentielle est le nombre e ... Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties ...
Exponentielle de matrices
4.1 Groupes topologiques et exponentielle complexe . de la matrice unipotente In + D?1N qui est une somme finie
Compléments sur les complexes
Cette expression est la forme exponentielle du complexe z. 1. on écrit la quantité étudiée comme la partie réelle (ou imaginaire) d'une somme d'ex-.
Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles
variété complexe Xç munie de l'application fç : Xç -> Aç et qui est à l'interprétation cohomologique des sommes exponentielles et au théorème de chan-.
[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa
[PDF] Lexponentielle complexe
La propriété fondamentale de l'exponentielle est la suivante : Théorème 1 2 Pour tous nombres complexes s t on a eset = es+t En particulier l'exponentielle
[PDF] C3 : Nombres complexes : formes exponentielles et trigonométriques
Tout nombre complexe de module non nul r et d'argument ? s'écrit z = rei? Cette écriture est la forme exponentielle de z Exercice 12 On donne z1 =1+ i et
[PDF] Nombres complexes
On appelle fonction exponentielle complexe la fonction : C ? C z ?? ez Les r`egles de calcul pour les fonctions exponentielles réelle et imaginaire pure s
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Les propriétés calculatoires de exp découlant de sa propriété fonctionnelle l'exponentielle complexe possède les mêmes : Proposition
[PDF] Forme exponentielle dun nombre complexe
fonction exponentielle à l'aide d'une somme infinie de termes valable dans R et dans C mais qu'on ne voit qu'après le bac ! Forme exponentielle d'un
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle 1 = 1 + 1 ? Calculer la somme des complexes qui vérifient = ?1
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
On appelle corps des nombres complexes et on note CI un ensemble contenant IR Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les
[PDF] sommes exponentielles Nicholas M KATZ - Princeton Math
Il s'agit d'un cours consacré aux sommes exponentielles provenant continue sur X à valeurs complexes) on a lim !( ~ f(x)) = S f N-++>O N n=l
[PDF] 1 Généralités 2 Écriture exponentielle
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + somme) C'est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées
Séries numériques
Luc Rozoy, Bernard Ycart
Disons-le tout net, ce chapitre n"est pas indispensable : d"ailleurs, vous ne verrez pas vraiment la différence avec les suites. Normal, il n"y en a pas. Alors pourquoi l"étudier? Au moins pour être sûr que vous ayez bien assimilé la notion de limite : si vous avez bien compris la convergence des suites, vous ne devriez pas avoir de problème ici. Les séries sont très proches des intégrales sur un intervalle non borné, et nous y ferons allusion à plusieurs reprises. Vous apprendrez plus tard qu"il s"agit de deux cas particuliers dumême objet. Cependant, vous n"êtes pas du tout obligés d"avoir assimilé les intégrales
pour comprendre les séries.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Séries à termes positifs ou nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Critères de Cauchy et de d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Entraînement 22
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Compléments 43
3.1 De Zénon d"Élée à von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Le théorème de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 De seriebus divergentibus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Vous avez le choix! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
29 avril 2014
Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenoble1 Cours1.1 Définitions et propriétés
Définition 1.Soit(un)n?Nune suite de réels ou de complexes. On appellesérie de terme généralun, et on note?unla suite des sommes partielles,(sn)n?N, où pour tout n?N, s n=u0+···+un=n i=0u i. Comme premier exemple de série, observons le développement décimal d"un réel strictement compris entre0et1. x= 0,a1a2...an... ,où pour toutn,an? {0,1,...,9}. Cette écriture correspond en fait à la série de terme général an10 n. La somme partiellesnest l"approximation décimale par défaut à10-nprès. Voici les 50 premières décimales
de?1 2 ?1 2 = 0.70710678118654752440084436210484903928483593768847... Les nombres décimauxs1= 0.7,s3= 0.707,s6= 0.707106sont des sommes partielles de la série.Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série expo-
nentielle.Série géométrique
Le terme général d"une série géométrique estun=rn. Les sommes partielles ont une expression explicite. s n=n i=0ri= 1 +r+···+rn=? ??n+ 1sir= 11-rn+11-rsir?= 1
Série exponentielle
Le terme général de la série exponentielle estun= 1/n!, oùn!(factorielle) désigne le produit des entiers de1àn. Par convention,0! = 1. Les sommes partiellessnsont des rationnels mais n"ont pas d"expression explicite. Observons que n"importe quelle suite(sn)n?Npeut être vue comme une série, de terme généralun=sn-sn-1, pourn>1etu0=s0. Dans la plupart des cas, les sommes partielles n"ont pas d"expression explicite, et c"est souvent pour cela que l"on parle de série plutôt que de suite. 1Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDéfinition 2.On dit que la série?unconverge versssi la suite des sommes partielles
converge verss, qui est appeléesomme de la série. n=0u n=s??limn→∞n k=0u k=s . Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Par exemple, le réelxest la limite de ses approximations décimales, et aussi la somme de la série?an10 n. La série géométrique?rnconverge si et seulement si|r|<1. Dans ce cas, la somme est 11-r. |r|<1 =?+∞? n=0rn=11-r. La somme de la série exponentielle est le nombree, dont le logarithme népérien vaut1.+∞? n=01n!= e?2.71828. Voici un exemple de série dont les sommes partielles sont explicitement calculables. n=01(n+ 1)(n+ 2)= 1.En effet,
u n=1(n+ 1)(n+ 2)=1n+ 1-1n+ 2 donc u0+u1···+un= 1-12
+12 -13 +···+1n+ 1-1n+ 2= 1-1n+ 2, et n=01(n+ 1)(n+ 2)= limn→∞1-1n+ 2= 1.Considérons une série
?unet définissons la fonction en escalierfsur[0,+∞[par : ?n?N,?t?[n,n+ 1[, f(t)≡un. La somme partiellesnest l"intégrale defsur l"intervalle[0,n+1]. La série?unconverge si et seulement si l"intégrale?+∞0f(t)dtconverge (voir figure 1).
n=0u n=?0f(t)dt .
2 Maths en LigneSéries numériquesUJF Grenobleun n n+1Figure1 - Somme d"une série, vue comme l"intégrale d"une fonction en escaliers sur [0,+∞[. Réciproquement, l"intégrale d"une fonction quelconque sur[0,+∞[peut être vue comme la somme de la série dont le terme général est l"intégrale sur[n,n+1[. Nous utiliserons par la suite cette parenté entre séries et intégrales. Comme la convergence d"une intégrale ne dépend que du comportement de la fonc- tion à l"infini, la convergence d"une série ne dépend pas de ses premiers termes. Changer un nombre fini de termes d"une série ajoute une même constante à toutes les sommes partielles à partir d"un certain rang. Cela ne change pas la nature, convergente ou divergente. Si elle est convergente, sa somme est évidemment modifiée. Par exemple : n=11n!= e-1. Le fait de calculer la somme d"une série à partir den= 0est purement conventionnel. On peut toujours effectuer un changement d"indice pour se ramener à une somme à partir de0. Par exemple : n=21n(n-1)=+∞? m=01(m+ 1)(m+ 2)= 1, en posantm=n-2. Le terme général d"une série convergente tend vers0. Théorème 1.Si la série?unconverge, alors la suite(un)n?Ntend vers0. n=0u n=s=?limn→∞un= 0.La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : une série dont le terme général
ne tend pas vers0ne peut pas converger. 3Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleDémonstration: Pour toutn?N, posonssn=?nk=0uk. Pour toutn>1,un=
s n-sn-1. Si?unconverge, la suite(sn)n?Nconverge vers la sommesde la série. Il en est de même de la suite(Sn-1)n?N?. Par linéarité de la limite, la suiteuntend vers s-s= 0.Par exemple la série de terme général
u n=?1sin= 2k0sinon
diverge : même si les termes non nuls sont très rares il y en quand même une infinité! Le fait que le terme général tende vers0n"est qu"une condition nécessaire de conver- gence. De nombreuses séries divergentes ont un terme général qui tend vers0. Par exemple, la série de terme généralun=1n+1diverge. En effet : s2n-1-sn-1=1n+ 1+···+12n>n2n=12
La suite des sommes partielles n"est pas de Cauchy, donc elle ne converge pas. La linéarité des limites entraîne immédiatement le théorème suivant. Théorème 2.Soient?unet?vndeux séries convergentes, de sommes respectivesset t. Soientαetβdeux complexes quelconques. Alors la série de terme généralαun+βvn est convergente, et sa somme estαs+βt.Par exemple :
n=012 n+13 n=+∞? n=012 n++∞? n=013 n=11-12 +11-13 = 2 +32 =72 Comme conséquence de la linéarité, observons que si ?unconverge et?vndiverge, alors?un+vndiverge. Comme autre conséquence, pourα?= 0,?αunconverge si et seulement si?unconverge. Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties réelle et imaginaire. Proposition 1.Soit(un)n?Nune suite de complexes. Pour toutn, notonsanetbnla partie réelle et la partie imaginaire deun. La série?unconverge si et seulement si les deux séries?anet?bnconvergent. Si c"est le cas, on a : n=0u n=+∞? n=0a n+ i+∞? n=0b n. Démonstration: Rappelons qu"une suite de nombres complexes converge si et seule- ment si la suite des parties réelles et la suite des parties imaginaires convergent. Si (An)n?Net(Bn)n?Nsont deux suites de réels : lim n→∞An=Aetlimn→∞Bn=B? lim n→∞An+ iBn=A+ iB? 4 Maths en LigneSéries numériquesUJF GrenobleIl suffit d"appliquer ce résultat à A n=n k=0a netBn=n k=0b n, car la partie réelle d"une somme est la somme des parties réelles, et la partie imaginaire d"une somme est la somme des parties imaginaires. Considérons par exemple la série géométrique ?rn, oùrest un complexe de module ρ <1et d"argumentθ:r=ρeiθ. Pour toutn,rn=ρneinθ. Les parties réelle et imaginaire dernsont a n=ρncos(nθ)etbn=ρnsin(nθ). On déduit de la proposition précédente que : n=0a n=Re?11-r? et+∞? n=0b n=Im?11-r?Le calcul donne :
n=0ρncos(nθ) =1-ρcos(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ)et+∞? n=0ρnsin(nθ) =ρsin(θ)1 +ρ2-2ρcos(θ).1.2 Séries à termes positifs ou nuls
Les séries à termes positifs ou nuls sont plus faciles à étudier. En effet siun>0 pour toutn, la suite des sommes partielles est croissante. s n-sn-1=un>0.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] exponentielle i pi
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