Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 4.3 Exponentielle complexe . Limite de la somme : (a) Si lim.
TF DIRAC
ET TUTTI QUANTI
Séries entières
La somme est la fonction qui à tout complexe z tel que ? an zn converge associe Le fait que la somme de la série exponentielle soit exp(z) n'est.
Calcul Algébrique
se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k ». C'est une notation écriture prend toute sa force grâce à l'exponentielle complexe.
Lexponentielle complexe
L'exponentielle complexe du cercle U des nombres complexes de module 1. ... convergente sur tout compact K ? C. Sa somme est notée exp(z) ou.
Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : – forme trigonométrique réelle. – forme exponentielle complexe
Séries numériques
29 avr. 2014 La somme de la série exponentielle est le nombre e ... Pour les séries à termes complexes la convergence équivaut à celle des parties ...
Exponentielle de matrices
4.1 Groupes topologiques et exponentielle complexe . de la matrice unipotente In + D?1N qui est une somme finie
Compléments sur les complexes
Cette expression est la forme exponentielle du complexe z. 1. on écrit la quantité étudiée comme la partie réelle (ou imaginaire) d'une somme d'ex-.
Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles
variété complexe Xç munie de l'application fç : Xç -> Aç et qui est à l'interprétation cohomologique des sommes exponentielles et au théorème de chan-.
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On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa
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La propriété fondamentale de l'exponentielle est la suivante : Théorème 1 2 Pour tous nombres complexes s t on a eset = es+t En particulier l'exponentielle
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Tout nombre complexe de module non nul r et d'argument ? s'écrit z = rei? Cette écriture est la forme exponentielle de z Exercice 12 On donne z1 =1+ i et
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Les propriétés calculatoires de exp découlant de sa propriété fonctionnelle l'exponentielle complexe possède les mêmes : Proposition
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fonction exponentielle à l'aide d'une somme infinie de termes valable dans R et dans C mais qu'on ne voit qu'après le bac ! Forme exponentielle d'un
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Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle 1 = 1 + 1 ? Calculer la somme des complexes qui vérifient = ?1
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Il s'agit d'un cours consacré aux sommes exponentielles provenant continue sur X à valeurs complexes) on a lim !( ~ f(x)) = S f N-++>O N n=l
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Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + somme) C'est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées
Compléments sur les complexes
Notations :dans ce chapitre, le plan est muni d"un repère orthonormé directe(O;~u;~v).1 Nombres complexes de module 1
1.1 EnsembleUDéfinition
On appelleUl"ensemble des nombres complexes dont le module est 1.U=fz2C=jzj= 1g
Exemples :
1.j1 + 2ij=p56= 1donc1 + 2i62U.
2.2U;2U;2U;2U:
3.j=1+ip3
22U. En effet,
Géométriquement,Ucorrespond
On en déduit immédiatement :Proposition
Soitz2U,M(z)son image dans le plan complexe.
Il ex iste2Rtel quez= cos+isin.
-estun argumentdez, c"est une mesure de!u ;!OMSi l"on ra joutela condition 2];]alorsdevient
unique, c"estl"argument principaldez, on le noteArg(z).Exemples :
1 = 1 + 0i= cos(0) + sin(0)i et donc Arg(1) =.
Arg(i) = ;Arg(1) = ;Arg(i) =.
j=donc Arg(j) =.PropositionUest stable par produit :Démonstration
SoitExercice
Montrer quef:R!U
7!cos+isinvérifie :8(;)2R2; f()f() =f(+).Cettepropriété fonctionnelleest celle de
1Définition
Soit2R. On appelleexponentielledeile nombreei=
Les propriétés calculatoires deexpdécoulant de sa propriété fonctionnelle, l"exponentielle complexe
possède les mêmes :PropositionSoit(;)2R2et soitn2Z. On a :
i.eiei=ii.1e i=iii.(ei)n=iv.eie i=Exercice
Démontrez la proposition précédente.(C"est sans difficulté mais formateur pour la rédaction).1.2 Formules d"Euler et de Moivre
Proposition
Formules d"Euler
Soit2R. On a :
cos=ei+ei2 etsin=eiei2iDémonstrationPar exemple, pourProposition
Formule de Moivre
Soit2R. On a :
ein=ein()(cos+isin)n= cos(n) +isin(n)1.3 Application : linéarisation d"expressions trigonométriques
Il s"agit de tranformer une expression de la formecosn(x)(ousinnx) en une somme decos(kx)et de sin(kx).Méthode
Pour linéariser une expression trigonométrique : 1. on utilise la form uled"Euler p ourexprimer l"expression trigonométrique à l"aide de l"exponentielle complexe; 2. on dév eloppela puissance grâc eà la form uledu binôme de Newton ; 3. on utilise les propriétés de l"exp onentiellepuis on regroup eles termes " qui se res- semblent »; 4. on utilise E ulerfaire apparaître des expressions trigonométriques à la place des exp o- nentielles complexes.2Exemple :Pourx2R, linéarisonscos3x.
Finalement,8x2R;cos(x)3=14
cos(3x) +34 cosx.Remarque :L"expression initiale est réelle donc il ne doit plus rester de partie imaginaire non nulle
à la fin.
On peut faire le "contraire". Par exemple, exprimonssin(3x)en fonction de puissances decosxet sinx:8x2R;sin(3x) =Im(e3ix) =Im(eix)3=Im(cosx+isinx)3. Après calculs, il vient :8x2R;sin(3x) = 3cos2xsinxsin3(x).2 Forme exponentielle d"un nombre complexe non nul
Théorème
Soitzun complexe non nul.
zpeut être écrit de façon uniquesous la formez=reiavecr >0et2];[. Cette expression est laforme exponentielledu complexez.On a alors :r=jzjet=Arg(z).Démonstration
Soitz2C.
Le complexezjzja pour module 1. Donc, il existe2Rtel quezjzj=ei()z=jzjei. Graphiquement :Ceci prouve l"existence de la forme exponentielle. L"unicité tient à l"unicité du module ainsi qu"à l"unicité de l"argument principal. 3 Remarque :en pratique, sir;;etsont des réels (avecretstrictement positifs) alors rei=ei()=r=+k2(avec un certaink2Z)Cela signifie que deux complexeszetz0sont égaux si, et seulement si, leurs modules et leurs arguments
principaux sont égaux.Méthode
Pour trouver la forme exponentielle d"un complexe non nulzdont on a la forme algébrique et dont l"argument n"est pas évident : 1. on c alculele mo dulede z; 2. on fa ctorisela forme algébrique de zparjzj; 3. on iden tifiecosetsin(avec=Arg(z)); 4. si est un angle remarquable on donne sa valeur, sinon on l"exprime en fonction de Arccos(ouArcsin).Attention :on n"a pas toujours=Arccos(cos)! Il faut regarder dans quel quadrant se trouveM(z). 5.La forme exp onentiellede zestjzjei.Exemples :
1.Donner la forme exp onentiellede 1 +i.
2.Donner la forme exp onentiellede z=p3i1.
3.Donner la forme exp onentiellede z=37i.
Remarque :l"écriture intermédiairez=jzj(cos+isin)est laforme trigonométriquedez.Proposition (Propriétés des arguments)Soitzetz0deux complexes non nuls. On a :
i.Arg1z =ii.Arg(zz0) =iii.Argzz 0= 4Démonstration
Pour chaque point, il s"agit d"exploiter l"unicité de la forme exponentielle d"un complexe.Par exemple pour i. :
Remarque :il y a une (petite) erreur dans l"énoncé de la propriété. En effet,Méthode
Technique de l"angle moitiépour factorisercosacosb(ousinasinb): 1. on écrit la quan titéétudiée comme la partie réelle (o uimaginaire) d"un es ommed"ex- ponentielles complexes; 2. on fa itin tervenirl"angle moitié a+b2 et on écrita=a+b2 +ab2 etb=a+b2 ab2 3. on factor isepar eia+b2 4. on utilise la form uled"Eul erp ourla paren thèse; 5. on c onclut.Exemple :soit(a;b)2R2. Transformonscosa+ cosbavec la technique de l"angle moitié.3 Racinesn-ièmes de l"unitéDéfinition
Soitnun entier naturel non nul. On appelleracinen-ième de l"unitéles solutions de l"équa- tionzn= 1.Théorème
Soitn2N. Il y a exactementnracinesn-ièmes de l"unité.De plus, si on note=ei2n
, ces racines sont :1; ; 2; :::;n1.5Démonstration
On travaille avec la forme exponentielle : soitz=reiavecr >0.Proposition Soitn2N. La somme des racinesn-èmes de l"unité vautDémonstrationSoitn2Net=ei2n
. On a :Proposition Soitn2N. Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racinesn-ièmes de l"unitésont les sommets d"un polygône régulier àncôtés inscrits dans le cercle trigonométrique.Démonstration
Il suffit de
Retour sur les équations du second degré :la difficulté principale dans la résolution d"une équa-
tion du second degré est le calcul d"une racine carrée du discriminant en utilisant la forme algébrique.
C"est beaucoup plus facile si on utilise la forme exponentielle. Par exemple, trouvons une racine carrée de = 7e0;3i. Remarque :toute manipulation des complexes avec des produits (et donc des puissances ou des quo-tients) sera beaucoup plus simple avec la forme exponentielle qu"avec la forme algébrique. Au contraire,
si on doit faire des sommes (ou des différences), la forme algébrique est plus simple à manipuler que la
forme exponentielle. 64 Exponentielle complexe
Remarque :nous disposons de deux exponentielles : exet eixpourx2R. Dans les paragraphesprécédents, on a parlé d"exponentielle complexealors qu"on n"a pas encore donné de sens à ezpour
z2Cn(R[iR).Définition Soitz=a+ibavec(a;b)2R2. On définit l"exponentielle dezde la façon suivante :PropositionSoitzetz0deux complexes.
i. e z+z0= ;ii. ez=ez0()DémonstrationOn ne traite que ii. :
5 Nombres complexes et géométrie
5.1 Repérage du plan
SoitM(z)un point du plan complexe.Mest parfaitement défini parz, qui peut être connu sous plusieurs formes : algébrique ou exponentielle. Ces deux formes du nombre complexezcorrespondent à deux systèmes de coordonnées du pointM.DéfinitionSoitM(z)un point du plan complexe.
Le couple(Re(z);Im(z))constitue
lescoordonnées cartésiennesde M.Le couple(jzj;Arg(z))constitue les
coordonnées polairesdeM. Remarque :Il y a un problème dans la définition. En effet,5.2 Retour sur l"affixe complexe d"un vecteur, applications.
Soit~wun vecteur du plan. On définit l"affixe de~wcomme étant l"affixe du pointMtel que!OM=~w. Mest unique donc~west parfaitement défini par son affixe complexe.SoitA(a)etB(b)deux points, l"affixe de!ABestba.
(Il s"agit juste d"appliquer la relation de Chasles : !AB=!AO+!OB ce qui, du point de vue des affixes complexes correspond àa+b). 7Proposition
Soit~wun vecteur du plan, soitzwson affixe complexe. i.jzwj=k!wkii. Arg(zw)est une mesure de(~u; ~w)Proposition Soit!w(zw)et!q(zq)deux vecteurs non nuls. Une mesure de l"angle(!w;!q)estArgzqz w .Démonstration z qz wexiste car les vecteurs sont non nuls (ce qui impliquezw6= 0). On a, d"après les propriétés de l"argument :Arg(zqz w) =Arg(zq)Arg(zw)(à2près).C"est donc une mesure de
!u;!q)(!u;!w) = (!u;!q) + (!w;!u) = (!w;!u) + (!u;!q) = (!w;!q)Ce qui prouve le résultat annoncé.
Ce dernier résultat a deux applications très utiles :Proposition (Caractériser l"alignement à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.Les propositions suivantes sont équivalentes :
i. les p ointsA;BetCsont alignés; ii.Arg(Z)2 f0;g. iii.Zest réel; iv.Im(Z) = 0.Démonstration Il suffit d"utiliser la propriété précédente avec les vecteurs!ABet!AC.Proposition (Caractériser l"orthogonalité à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.Les propositions suivantes sont équivalentes :
i. les triangle ABCest rectangle enA; ii. iii. iv.5.3 Transformations du plan
On notePle plan complexe.Définition
Unetransformation du planest
8Proposition
Soit!q(zq)un vecteur du plan.
La translation de vecteur!qest l"application :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par la translation de vecteur!q.On a :Définition
SoitAun point du plan,kun réel non nul.
L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation du plan qui, à tout point Massocie l"unique pointM0vérifiant!AM0=k!AM.Proposition SoitA(zA)un point du plan complexe,kun réel non nul. L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par l"homothétie de centreAet de rapportkOn a :
Remarques :
a) une homothétie de rapp ortk2Rmultiplie les longueurs par et les surfaces par . b)une symétrie cen tralede cen treAest une homothétie dont le centre estAet dont le rapport estProposition
Soit2R. La rotation de centreOest l"application du plan complexeM(z)7!M0( ). 9quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] exponentielle i pi
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