[PDF] Démonstrations exigibles au bac

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Démonstrations exigibles au bac

On donne ici les11démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dansle programme officiel. Toutes ces

démonstrations peuvent donner lieu à une " restitution organisée de connaissances ».

I - Suites

Enoncé I-1.

Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites telles que pour tout entier naturelnà partir d"un certain rang,un?vnet

d"autre part limn→+∞un= +∞.

Montrer que : lim

n→+∞vn= +∞.

Démonstration.

Il s"agit de montrer que tout intervalle de la forme]A,+∞[, avecAréel, contient tous les termes de la suite(vn)n?Nà partir d"un certain rang.SoientAun réel puisI=]A,+∞[.

Il existe un rangn0tel que pour toutn?n0,un?vn.

D"autre part, limn→+∞un= +∞. Donc il existe un rangn1tel que pour toutn?n1,unappartient à l"intervalleI.

SoitNle plus grand des deux entiersn0etn1.

Soitn?N. Puisquen?N, on an?n0et doncvn?un. Puisquen?N, on an?n1et doncunappartient àI ou encoreun> A.

Mais alors, pour tout entier natureln?N, on avn?un> Aet doncvnappartient à l"intervalleI. Ainsi, tous les

termes de la suite(vn)n?Nsont dansIà partir du rangN.

On a montré que tout intervalle de la forme]A,+∞[contient tous les termes de la suite(vn)n?Nà partir d"un certain

rang et donc limn→+∞vn= +∞.

Enoncé I-2.(inégalité deBernoulli)

Soitaun réel positif.

Montrer que : pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na.

Démonstration.

Soitaun réel positif. Montrons par récurrence que pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na. •(1+a)0=1et1+0×a=1. Comme1?1, l"inégalité est vraie quandn=0. •Soitn?0. Supposons que(1+a)n?1+naet montrons que(1+a)n+1?1+ (n+1)a. (1+a)n+1= (1+a)n×(1+a) ?(1+na)(1+a) (par hypothèse de récurrence et car1+a?0) =1+na+a+na2=1+ (n+1)a+na2 ?1+ (n+1)a(carna2?0). On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Enoncé I-3.

Soitqun réel strictement plus grand que1.

Montrer que : lim

n→+∞qn= +∞. Pré-requis.0n suppose connu les résultats suivants •(l"inégalité deBernoulli:) pour tout réel positifaet tout entier natureln,(1+a)n?1+na.

•si(un)et(vn)sont deux suites telles que, à partir d"un certain rang, on aun?vnet d"autre part,

limn→+∞un= +∞, alors on a limn→+∞vn= +∞.

Démonstration.

Soitqun réel strictement plus grand que1. Posonsa=q-1de sorte queaest un réel strictement positif et que

q=1+a.

Montrons alors que lim

n→+∞qn= +∞.

D"après le premier prérequis, pour tout entier natureln,(1+a)n?1+naou encoreqn?1+na. Puisquea > 0,

limn→+∞(1+an) = +∞.

Ainsi, pour tout entier natureln,qn?1+naet limn→+∞(1+na) = +∞. D"après le deuxième pré-requis, on en déduit

que lim n→+∞qn= +∞.

II - Fonction exponentielle

Enoncé II-1.

Pré-requis.On suppose connu le fait qu"il existe une fonctionfdérivable surRtelle quef?=fetf(0) =1.

Soitgune fonction dérivable surRtelle queg?=getg(0) =1. On veut montrer queg=f(et donc la fonctionfest

unique).

1)Pour tout réelx, on poseh(x) =f(x)f(-x). Montrer quehest constante surR. En déduire que la fonctionfne

s"annule pas surR.

2)Pour tout réelx, on posek(x) =g(x)

f(x). Montrer que la fonctionkest constante surR. En déduire queg=f.

Démonstration.

1)Pour tout réelx, posonsh(x) =f(x)f(-x). La fonctionhest dérivable surRen tant que produit de fonctions

dérivables surRet pour tout réelx, h

?(x) =f?(x)×f(-x) +f(x)×(f(-x))?=f?(x)×f(-x) +f(x)×(-x)?×f?(-x) =f?(x)f(-x) -f(x)f?(-x)

=f(x)f(-x) -f(x)f(-x) (carf?=f) =0.

Ainsi, la dérivée de la fonctionhest nulle surRet donchest constante surR. On en déduit que pour tout réelx,

h(x) =h(0) = (f(0))2=1. On a montré que pour tout réelx, on af(x)×f(-x) =1.

En particulier, la fonctionfne peut s"annuler surRcar s"il existe un réelx0tel quef(x0) =0, alorsf(x0)×f(-x0) =

0?=1.

2)Pour tout réelx, posonsk(x) =g(x)

f(x). La fonctionkest dérivable surRen tant que quotient de fonctions dérivables surRdont le dénominateur ne s"annule pas surR. De plus, pour tout réelx, k ?(x) =g?(x)f(x) -g(x)f?(x) (f(x))2=g(x)f(x) -g(x)f(x)(f(x))2=0. La dérivée dekest nulle et donckest constante surR. On en déduit que pour tout réelx, http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. k(x) =k(0) =g(0)f(0)=11=1.

Ainsi, pour tout réelx,g(x)

f(x)=1ou encore, pour tout réelx,f(x) =g(x). On a montré queg=f.

Enoncé II-2.

Montrer que :

1)limx→+∞ex= +∞(Indication. En étudiant la fonctionf:x?→ex-xsur[0,+∞[, montrer que pour tout réel positif

x, on aex?x).

2)limx→-∞ex=0.

Démonstration.

1)Pour tout réelxpositif, posonsf(x) =ex-x. La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant que différence de deux

fonctions dérivables sur[0,+∞[et pour tout réel positifx, on a f ?(x) =ex-1.

On sait que pour tout réel positifx,ex?1et donc la fonctionf?est positive sur[0,+∞[. On en déduit que la fonction

fest croissante sur[0,+∞[.

Puisque la fonctionfest croissante sur[0,+∞[, pour tout réel positifx, on af(x)?f(0)ou encoref(x)?1.

En particulier, pour tout réel positifx,f(x)?0ou encoreex-x?0ou enfinex?x.

Ainsi, pour tout réel positifx,ex?x. D"autre part, limx→+∞x= +∞. On en déduit que limx→+∞ex= +∞.

2)Puisque limX→+∞eX= +∞, on a encore limX→+∞1

eX=0. En posantX= -x, on obtient alors lim eX=0. http ://www.maths-france.fr 3c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

III - Géométrie dans l"espace

Enoncé III-1.

Montrer qu"une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce

plan.

Pré-requis.On suppose connu la définition de l"othogonalité d"une droite et d"un plan : une droite est orthogonale à

un plan si et seulement si elle est orthogonale à toute droitede ce plan.

Démonstration.

SoitPun plan de l"espace. SoientDetD?deux droites sécantes du planPde vecteurs directeurs respectifs-→uet-→u?. PuisqueDetD?sont sécantes, les vecteurs-→uet-→u?ne sont pas colinéaires.

SoitΔune droite de l"espace. Soit-→vun vecteur directeur de la droiteΔ.

•Si la droiteΔest orthogonale au planP,Δest orthogonale à toute droite du planPet en particulierΔest

orthogonale aux droitesDetD?.

•Réciproquement, supposons que la droiteΔsoit orthogonale aux droitesDetD?. SoitD??une droite du planPde

vecteur directeur directeur-→u??.

Puisque-→uet-→u?sont deux vecteurs non colinéaires du planPet que-→u??est un vecteur du planP, on sait qu"il

existe deux réelsλetμtels que-→u??=λ-→u+μ-→u?.

Puisque la droiteΔest orthogonale aux droitesDetD?, on a-→u.-→v=0et-→u?.-→v=0. Mais alors

-→u??.-→v=?

λ-→u+μ-→u??

Ainsi, un vecteur directeur de la droiteΔest orthogonal à un vecteur directeur de la droiteD??et donc la droiteΔ

est orthogonale à la droiteD??.

On a montré que la droiteΔest orthogonale à toute droite du planPet donc que la droiteΔest orthogonale au plan

P.

Enoncé III-2.

Caractériser les points d"un plan de l"espace par une relationax+by+cz+d=0aveca,b,ctrois nombres réels non

tous nuls.

Démonstration.

L"espace est rapporté à un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j ,-→k?

•SoitPun plan. Montrons quePadmet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d=0oùa,b,csont

trois nombres réels non tous nuls.

SoientA(xA,yA,zA)un point dePet-→n(a,b,c)un vecteur normal au planP. Par définition, le vecteur-→nn"est

pas nul et donc l"un au moins des trois réelsaouboucn"est pas nul.

SoitM(x,y,z)un point de l"espace.

M?P?--→AM.-→n=0

?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0 ?ax+by+cz-axA-byA-czA=0.

En posantd= -axA-byA-czA, on obtient une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d=0oùa,betc

sont trois réels non tous nuls.

•Réciproquement, soitPl"ensemble d"équationax+by+cz+d=0aveca,b,ctrois nombres réels non tous nuls.

Montrons quePest un plan.

Sia?=0, le point de coordonnées?

-d a,0,0? appartient àP, sib?=0, le point de coordonnées?

0,-db,0?

appartient

àPet sic?=0, le point de coordonnées?

0,0,-d

c? appartient àP. http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Dans tous les cas, l"ensemblePn"est pas vide. SoitA(xA,yA,zA)un point dePet soit-→nle vecteur(a,b,c). Puisque

l"un au moins des trois réelsaouboucn"est pas nul, le vecteur-→nn"est pas nul. D"autre part,axA+byA+czA+d=0et doncd= -axA-byA-czA.

SoitM(x,y,z)un point de l"espace.

M?P?ax+by+cz+d=0?ax+by+cz-axA-byA-czA=0

?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0 --→AM.-→n=0.

Ceci montre quePest la plan passant parAet de vecteur normal-→net en particulier quePest un plan.

IV - Probabilités

Enoncé IV-1.

SoientAetBdeux événements indépendants.

Montrer que les événementsAet

Bsont indépendants.

Démonstration.

Puisque les événementsAetBsont indépendants, on ap(A∩B) =p(A)×p(B). D"après la formule des probabilités totales,p(A) =p(A∩B) +p?A∩

B?et donc

p ?A∩ B?=p(A) -p(A∩B) =p(A) -p(A)×p(B) =p(A)×(1-p(B)) =p(A)×p?B?.

On a montré quep?A∩

B?=p(A)×p?B?et donc les événementsAetBsont indépendants.

Enoncé IV-2.

1)Calculer la dérivée de la fonctiong:x?→?

-x-1λ? e -λx.

2)Montrer que l"espérance de la loi exponentielle de paramètreλ > 0est1

Pré-requis.L"espérance d"une variable aléatoireXsuivant une loi exponentielle de paramètreλ > 0est

E(X) =?

0 x×λe-λxdx=limt→+∞? t 0 x×λe-λxdx.

Démonstration.

1)Pour tout réel positifx,

g ?(x) = -e-λx+? -x-1 ×?-λe-λx?= -e-λx+λxe-λx+e-λx=λxe-λx. Donc, une primitive sur[0,+∞[de la fonctionx?→λxe-λxest la fonctionx?→? -x-1 e -λx.

2)Soittun réel positif.

t 0 x×λe-λxdx=?? -x-1 e -λx? t 0=? -t-1λ? e -λt-? -0-1λ? e 0 1

λ-1λe-λt-te-λt.

Ensuite, pour tout réel positift,-te-λt=1

λ×?-λte-λt?et donc, en posantu= -λtet en tenant compte deλ > 0, lim λ×?-λte-λt?=limu→-∞1λ×(ueu) =0 http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. d"après un théorème de croissances comparées.D"autre part, limt→+∞-1 λe-λt=limu→-∞-1λeu=0. Finalement,

E(X) =limt→+∞?

1

λ-1λe-λt-te-λt?

=1λ.

Enoncé IV-3.

SoitXune variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduiteN(0,1). On notefla densité de la loi normale

centrée réduite. Pour tout réel positifx, on poseF(x) =p(-x?X?x) =? x -xf(t)dtpuisH(x) =p(0?X?x) =? x 0 f(t)dt.

1)En invoquant des raisons géométriques, montrer que pour tout réel positifx,F(x) =2H(x).

2)Montrer que pour tout réelαde[0,1[, l"équationH(x) =1-α

2a une unique solution.

3)En déduire que pourα?]0,1[, il existe un unique réel positifuαtel quep(-uα?X?uα) =1-α.

Démonstration.

1)On sait que pour tout réelt,f(t) =1

⎷2πe-t2

2. Pour tout réelt, on af(-t) =f(t)et donc le graphe defest

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Soit alorsxun réel positif. Puisque la fonctionfest continue et positive sur[0,x](respectivement[-x,x]),H(x)

(respectivementF(x)) est l"aire du domaine du plan compris entre l"axe des abscisses, la courbe defet les droites

d"équations respectivest=0ett=x(respectivementt= -xett=x). Pour des raisons de symétrie,F(x)est le

double deH(x). x-x1 ⎷2π

2)La fonctionfest continue sur[0,+∞[. Donc, la fonctionHest dérivable sur[0,+∞[et sa dérivée estH?=f.

Puisque la fonctionfest strictement positive sur[0,+∞[, la fonctionHest strictement croissante sur[0,+∞[.

La fonctionHest dérivable sur[0,+∞[et en particulier, la fonctionHest continue sur[0,+∞[.

H(0) =?

0 0 f(t)dt=0.

La limite de la fonctionHen+∞est la moitié de l"aire du domaine compris entre l"axe des abscisses et la courbe

représentative def. On sait que cette aire totale est égale à1(carfest une densité de probabilité). Par suite,

lim x→+∞H(x) =1 2. Soit alorsα?]0,1[. Donc-1 <-α < 0puis0 < 1-α < 1et enfin,0 <1-α 2<12.

En résumé,

•la fonctionHest continue et strictement croissante sur]0,+∞[,

1-α

2??

H(0),limx→+∞H(x)?

0,12? D"après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationH(x) =1-α

2admet une unique solution dans

]0,+∞[. On noteuαcette solution.uαest un réel positif. http ://www.maths-france.fr 6 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

3)Soitα?]0,1[. Soitxun réel positif.

p(-x?X?x) =1-α?F(x) =1-α?2H(x) =1-α?H(x) =1-α 2.

D"après la question précédente, il existe un unique réel positifuαtel quep(-uα?X?uα) =1-α.

Enoncé IV-4.

Démontrer que si la variable aléatoireXnsuit la loiB(n,p), alors, pour toutαdans]0,1[on a, lim n→+∞P?Xn n?In? =1-α oùIndésigne l"intervalle? p-uα? p(1-p)⎷n,p+uα? p(1-p)⎷n?

Démonstration.

SoitZune variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

SoitZn=Xn-μn

σn=Xn-np?np(1-p)la variable aléatoire centré réduite associée àXn.

On a doncXn=np+?

np(1-p)Zn. D"après la formule deMoivre-Laplace, on sait que pour tous réelsaetb, lim n→+∞P(a?Zn?b) =P(a?Z?b). Or, a?Zn?b?? np(1-p)a??np(1-p)Zn??np(1-p)b ?np+? np(1-p)a?np+?np(1-p)Zn?np+?np(1-p)b ?np+? np(1-p)a?Xn?np+?np(1-p)b np+? np(1-p)a n?Xnn?np+? np(1-p)b n ?p+a⎷ n?p(1-p)⎷n×⎷n?Xnn?p+b⎷ n?p(1-p)⎷n×⎷n ?p+a? p(1-p)⎷n?Xnn?p+b? p(1-p)⎷n. Donc, lim n→+∞P? p+a? p(1-p)⎷n?Xnn?p+b? p(1-p)⎷n? =P(a?Z?b).

En particulier, sia= -uαetb=uα, on obtient,

lim n→+∞P?Xn n?In? =P(-uα?Z?uα) =1-α par définition deuα. http ://www.maths-france.fr 7c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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