[PDF] Exponentielle et logarithme népérien

View - Download Exponentielle et logarithme népérien

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 1

Exponentielle

et logarithme népérien L'étude de fonctions en Terminale est essentiellement basée sur deux fonctions : exponentielle et logarithme népérien. pouvoir traiter les problèmes de BAC. Les trois pages qui suivent constituent les connaissances essentielles. Elles permettront d'aborder les trois chapitres suivants qui traiteront de l'étude de fonctions.9782340-023499_001_256.indd 712/02/2018 13:46:42 1

La fonction exponentielle

La définition

La fonction exponentielle

sur

D'où

et 0 1.

Le graphique

Connaître le graphique de la fonction exponentielle permet de connaître ses principales caractéristiques. 1 et 1 1

Les propriétés algébriques

Pour :

1

Équations et inéquations

ssi ; ssi

9782340-023499_001_256.indd 812/02/2018 13:46:43

2

La fonction logarithme népérien

La définition

La fonction logarithme népérien ln sur 0

la fonction donnant l'unique solution de l'équation pour 0.

D'où

ssi ln 1ln

Le graphique

Connaître le graphique de la fonction logarithme népérien permet de connaître ses principales caractéristiques.

Les propriétés algébriques

Pour 0 : ln ln ln ;

1ln ln

ln ln ln ln ln ,

Équations et inéquations

Pour 0 : ln ln ssi ; ln ln ssi

9782340-023499_001_256.indd 912/02/2018 13:46:43

3

Les relations entre exponentielle

et logarithme Ces deux fonctions sont appelées des fonctions réciproques : l'une "

élimine

l'autre et réciproquement. D'où les deux relations suivantes ln pour ln pour 0 Ces deux relations seront très utiles pour résoudre des équations et inéquations comportant un exponentielle ou un logarithme népérien pour faire disparaître un exponentielle à gauche, faire apparaître un logarithme à droite avec 0 ssi ln pour faire disparaître un logarithme à gauche, faire apparaître un exponen tielle à droite ln ssi Ces deux principes sont bien sûr aussi valables pour résoudre des inéquations.

9782340-023499_001_256.indd 1012/02/2018 13:46:43

Les exercices corrigés

Exercice 1

f

0;1 par :

1 1 1

Démontrer que pour tout réel

x de 0;1, Pour montrer que deux quantités A et B sont égales, le principe est le suivant : partir de A pour aller à B ou partir de B pour aller à A. Pour les cas un peu plus compliqué, on peut aussi partir de A et de B pour arriver

à une troisième quantité C.

Réponse

ŰPremière solution : on part de A.

11 11 11 (on multiplie par e x le haut et le bas) 11 (car 1 (car 1

ŰDeuxième solution : on part de B.

11 1 1 (on factorise par e x le haut et le bas) 11 11 11 (car

9782340-023499_001_256.indd 1112/02/2018 13:46:43

Les exercices corrigés

Exercice 2

f

2;2 par :

ln 22 .

2 ;2 et 2;0 appartiennent à la courbe

repré sentative de f. Un point M(x;y) appartient à la courbe représentant une fonction f ssi Il faut donc faire l'image du x et comparer le résultat avec y.

On utilise lne = 1 et ln1 = 0.

Réponse

2 ;2 ?

22 2 ln 2 22

2 ln 2 2212 22 2 22

Le point

B appartient donc bien à

2;0 ?

22 2ln 2 2 2ln1 2 0 02

Le point

I appartient donc bien à

Exercice 3

Soit f par 2 ln 1 .

Résoudre l'équation

Pour résoudre une

équation comportant un logarithme, il faut isoler ce logarithme, puis utiliser l'exponentielle pour le faire disparaître.

9782340-023499_001_256.indd 1212/02/2018 13:46:43

Les exercices corrigés

Réponse

ssi 2 ln 1 ssi 2 ln 1 0 ssi 2 ln 1 0 ssi 20 1 (disparition de ln et apparition de e) ssi 2 11 ssi 2

0 ssi 0

L'équation a donc pour solution 0.

Exercice 4

f(tgramme par litre 1 g.L t heures après administration par voie intraveineuse.

Le modèle mathématique est

0,1 20 avec 0 . La concentration initiale du médicament est donc 1

0 20 g.L

1. concentration du médicament est égale à la moitié de la concentration ini t

2.tration plas

matique est inférieure à 1

0,2 g.L

. Déterminer le temps à partir duquel le

1. Réponse

Pour résoudre une équation comportant un exponentielle, il faut isoler l'exponentielle, puis utiliser le logarithme pour le faire disparaître.

La concentration initiale est de

1

20 g.L

, il faut donc résoudre l'équation 10.

9782340-023499_001_256.indd 1312/02/2018 13:46:44

Les exercices corrigés

10 ssi

0,1 20 10 ssi 0,1 1 2 ssi

10,1 ln2

(disparition de e et apparition de ln) ssi

0,1 ln2 (car

1ln ln

ssi

0,1 ln2 ssi

1ln20,1

ssi 10ln2 0,5

10ln2.

2. Réponse

Pour résoudre une inéquation comportant un exponentielle, il faut isoler l'exponentielle, puis utiliser le logarithme pour le faire disparaître.

Il faut résoudre l'inéquation

0,2.

0,2 ssi

0,1

20 0,2

ssi 0,1 0,01 ssi 0,1 ln0,01 (disparition de e et apparition de ln) ssi ln0,0146,10,1 (symbole inversé car on divise par un négatif) Le médicament sera donc éliminé environ au bout de 46,1 heures.

Exercice 5

La masse de bactéries est modélisée par la fonction f

0;par :

0,2 50
1 49 t représente le temps exprimé en jours et f(t en kg, de bactéries au temps t. sera 30 kg. Résoudre l'inéquation d'inconnue t 30.

En déduire la réponse au problème.

9782340-023499_001_256.indd 1412/02/2018 13:46:44

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] inequation trigonométrique 1ere s

[PDF] inéquation trigonométrique exercices corrigés

[PDF] inéquation trigonométrique terminale s

[PDF] inertial reference system

[PDF] infas 2017

[PDF] infection apres fausse couche naturelle

[PDF] infection apres fausse couche symptomes

[PDF] infiltrat inflammatoire définition

[PDF] infirmier maroc salaire

[PDF] infirmière a domicile tfe

[PDF] infirmière a2 formation

[PDF] infirmière a2 promotion sociale

[PDF] infirmière a2 salaire

[PDF] infirmière a2 specialisation

[PDF] infirmière clinicienne suisse