La fonction logarithme népérien PDF

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a) ln x = 2 ...

FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif l'unique solution de l'équation = . On la note ln . La fonction logarithme

Exponentielle et logarithme

ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction ln(x). Équations et d'inéquations avec des exponentielles.

FONCTION LOGARITHME

Par convention on note ce nombre ln(a) que l'on appelle logarithme népérien logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ? à valeurs dans. 0;+????? . D'après le théorème des valeurs intermédiaires

Fonction Logarithme népérien 1. De lexponentielle au logarithme

iv) Pour x = 5 par définition de la fonction ln

Fonction logarithme népérien

graphique de la fonction exponentielle avec la droite d'équation y = x. Propriété 10.3 (admise). La fonction logarithme népérien est strictement croissante

La fonction logarithme népérien

On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles.

La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 logarithme népérien et exponentielle. ... On veillera à mettre l'équation ou l'inéquation sous la forme ci-dessus et à.

Exponentielle et logarithme népérien

la fonction donnant l'unique solution de l'équation y e =x pour. 0 x > . D'où ssi ln comportant un exponentielle ou un logarithme népérien :.

La fonction

logarithme népérien

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition - Courbe représentative

1.2 Sens de variation - Application

1.3 Propriétés algébriques

2 Dérivation, sens de variation

2.1 Dérivée de la fonctionln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Limites et fonction logarithme

3.1 Limites de la fonction logarithme népérien

3.2 Croissance comparée

Table des figures

1 Fonctions réciproques :lnetexp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Courbe représentative de la fonctionln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Liste des tableaux?

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1 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition - Courbe représentativePropriété :Pour toutx >0, l"équation et=x(d"inconnuet) admet une unique solution.

Cette solution est appelée

logarithme nép érien de xet est notéelnx.Démonstration : La fonction exponentielle est continue et strictement croissante surR.

De plus,limt→-∞et= 0etlimt→+∞et= +∞. Donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires :

Pour toutx?]0; +∞[, il existe une unique solution à l"équatione t=x.

Exemples :1.Comme e 0= 1,ln1 = 0.

Comme e

1=e,lne= 1.Définition :Lafonction logarithme nép érienest la fonction défi niesur ]0; +∞[qui, à toutx >0associe

lnx, c"est-à-dire l"unique réel dont l"exponentielle estx.Théorème :Pour toutx >0et touty?R:

y= lnx??x=eyDémonstration : Siy= lnx, alors, par définition,yest l"unique réel dont l"exponentielle estx, d"où :e y=x. Réciproquement, six=ey,lnx= ln(ey), c"est donc l"unique réel dont l"exponentielle este y. Cet unique réel ne peut être quey. On a donc :lnx=y.

Remarques :1.En particulier, on a mon tréque :

P ourtout x?R,ln(ex) =x.

P ourtout x >0,e lnx=x.

2. On dit que les fonctions logarithme nép érienet exp onentielleson tdes fonctions r éciproques . Leurs courbes sont alors symétriques par rapport à la droite d"équationy=x(voir figure1 ). 3. Grâce à l acourb ereprés entativede la fonc tionlogarithme, on p eutconjecturer que : lim x→+∞lnx= +∞etlimx→0+lnx=-∞

Exercices :23 page 1831[Magnard]

1.2 Sens de variation - ApplicationPropriété :La fonction logarithme népérien eststricte mentcroissan tesur ]0; +∞[.Démonstration :

Soientaetbdeux réels strictement positifs, aveca < b. Commea=elnaetb=elnb, on a :e lnaLa fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur]0; +∞[.Conséquences :1.P ourtout a >0et toutb >0:

-lna= lnbéquivaut àa=b. -lna P ourtout x >0: -lnx >0équivaut àx >1. -lnx <0équivaut à01 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1.3 Propriétés algébriques

Figure1 - Fonctions réciproques :lnetexp

Remarque :La première partie de cette propriété permet de résoudre des équations ou inéquations com-

portant des logarithmes. La deuxième partie donne le signe delnx. Exemples :Résolution d"équations et d"inéquations 1.

Résoudre l"équation ln(5-2x) = 1:

Il faut que5-2x >0, c"est-à-direx <52

Cette équation équivaut àln(5-2x) = lne. On en déduit que5-2x=e, c"est-à-direx=5-e2 Cette valeur est bien dans l"intervalle?-∞;52 ?doncS=?5-e2 2.

Résoudre l"inéquation ln(5-2x)<3:

Il faut que5-2x >0, c"est-à-direx <52

Cette équation équivaut àln(5-2x)5-e32

Comme de plus on doit avoirx??-∞;52

?, on aS=? 5-e32 ;52 3.

Résoudre l"équation e

x+2= 5:

Cette équation équivaut à e

x+2=eln5. On en déduit quex+ 2 = ln5, c"est-à-direx=-2 + ln5.

On a doncS={-2 + ln5}.

Exercices :1, 2, 3, 4 page 173 et 29, 30, 31, 35 page 1842[Magnard]

1.3 Propriétés algébriques du logarithme népérienThéorème 1 :Propriété fondamentale

Pour tous réelsa >0etb >0, on a :

ln(ab) = lna+ lnb2. Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles. 3

2 DÉRIVATION, SENS DE VARIATION

Démonstration :

e ln(ab)=abete lna+lnb=elnaelnb=ab.

On a donc

ln(ab)=elna+lnbet, donc,lnab= lna+ lnb.Théorème 2 :Soienta,bdeux réels strictement positifs etnun entier relatif.

1.ln?1a

?=-lna

2.ln?ab

?= lna-lnb

3.ln(an) =nlna

4.ln⎷a=12

lnaDémonstration :

1. D"après le théorème 1 :ln?a×1a

?= lna+ ln1a

De plus,ln?a×1a

?= ln1 = 0donclna+ ln1a = 0d"oùln1a =-lna.

2. D"après le théorème 1 :lnab

= ln?a×1b ?= lna+ ln1b = lna-lnb.

3. Le résultat se montre aisément par récurrence pourn≥0.

Pourn <0, il suffit d"utiliser le résultat du 2. pour conclure. 4.ln? (⎷a)2? = lnaet, d"après 3. ,ln? (⎷a)2? = 2ln⎷a. On obtient donc2ln⎷a= lna, soit ln⎷a=12 lna.

Remarque :Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équa-

tions ou inéquations (voir exercices). La partie 3. du théorème 2 peut aussi être utilisée pour des suites

géométriques. $%Exercice :Soit(un)la suite géométrique de premier termeu0= 1et de raisonq=45 n. On doit donc résoudre l"inéquation?45 Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente àln?45 dire :nln45

Comme de plus

45
<1,ln45 <0donc on obtientn≥-3ln10ln 45

A la calculatrice, on trouve que

-3ln10ln 45
?30,96donc, le plus petit indice estn= 31.

Exercices :5, 6 page 175 et 39, 40, 41, 45 page 1843- 21 page 183 et 36, 37, 38 page 1844- 27 page 183

et 51, 52 page 185

5- 7, 8 page 175 et 47, 48 page 1846- 42 page 184 et 81, 82 page 1897[Magnard]

2 Dérivation, sens de variation

2.1 Dérivée de la fonctionlnThéorème :La fonctionlnestdériv ablesur ]0; +∞[et pour toutx >0:

ln ?(x) =1x

Démonstration (partielle) :

On admet que la fonctionlnest dérivable sur]0; +∞[et on posef(x) =elnx.

On a déjà vu que, pour toutx?]0; +∞[,f(x) =xet doncf?(x) = 1.3. Simplification d"expressions.

4. Résolutions d"équations et d"inéquations.

5. Positions relatives de courbes.

6. Application aux suites géométriques.

7. Fonctionlnet suites.

2 DÉRIVATION, SENS DE VARIATION 2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonctionOn peut aussi dériver la fonctionfcomme une fonction composée :fest de la fonction euavec

u(x) = lnx. On a doncf?(x) =u?(x)eu(x)= ln?(x)×elnx= ln?(x)×x=xln?(x). On a donc, pour toutx?]0; +∞[,xln?(x) = 1??ln?(x) =1x

Remarques :

Comme p ourtout x?]0; +∞[,1x

>0, on retrouve le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur]0; +∞[. 2.

En admettan tpro visoirementles limites de la fonction logarithme nép érien,on obtien tle tableau de

variation suivant :x0 +∞?+∞lnx? ? 3.

La courb ereprés entativede la fonction lnest donnée sur la figure2 . On peut remarquer qu"elle admet

l"axe des ordonnées comme asymptote verticale.Figure2 - Courbe représentative de la fonctionln Exercices :53 page 1858- 11, 12 page 177; 54, 55, 56 page 185 et 67 page 1869- 9, 10 page 177 et 49,

50 page 185

10[Magnard]

2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonctionPropriété :Soituune fonctiondériv ableet strictemen tp ositivesu run in tervalleI.

Alors la fonctionfdéfinie surIparf(x) = ln[u(x)]est dérivable surIet : f ?(x) =u?(x)u(x)8. Calcul de dérivées.

9. Étude de fonctions.

10. Tangentes.

3 LIMITES ET FONCTION LOGARITHME

Remarques :1.C"est une application directe d uthéorème de dériv ationdes fonctions comp osées.

2. En particulier, comme u(x)est strictement positive,f?est du même signe queu?. Exercices :15, 16 page 179; 22 page 183 et 61, 62 page 18511- 19, 20 page 18112- 72 page 18713

Magnard

3 Limites et fonction logarithme

3.1 Limites de la fonction logarithme népérienPropriété :

lim x→+∞lnx= +∞etlimx→0+lnx=-∞Démonstration : Il s"agit de montrer que, pour toutM >0, il existex0>0tel que, six > x0,lnx > M. Orlnx > M??x >eMdonc, en posantx0=eM, on obtient le résultat voulu.

Par suite,limx→+∞lnx= +∞.

Pour la limite en0+, on poseX=1x

. On a alors : lnx=-ln1x =-lnX Or,limx→0+X= +∞etlimX→+∞-lnX=-∞donclimx→0+lnx=-∞.

Remarque :On trouvera les limites des fonctions de la formelnuen utilisant les règles habituelles de

limites de fonctions composées.

Exercices :58 page 18514- 63 page 186 et 73, 76 page 18815- 75 page 18816- 84, 85 page 19017[Magnard]

3.2 Croissance comparéeThéorème :

lim x→+∞lnxx = 0+etlimx→0+xlnx= 0-Démonstration :

On poseX= lnx. On a alorsx=eXetlnxx

=Xe X. De plus,limx→+∞X= limx→+∞lnx= +∞etlimX→+∞eXX = +∞donclimx→+∞lnxx = 0+.

On pose ensuiteX=1x

. On a alorsx=1X etxlnx=1X ln?1X ?=-lnXX

De plus,limx→0+X= limx→0+1x

= +∞etlimX→+∞lnXX = 0+donclimx→0+xlnx= 0-.

Remarques :

1. On p eutmon trerde même que, p ourtout n≥2,limx→+∞lnxx n= 0etlimx→0+xnlnx= 0-. 2.

Ces théorèmes v ontp ermettrede lev erdes indéterminations p ourdes limites de fonction sfaisan t

intervernir le logarithme népérien, en utilisant les méthodes habituelles sur les limites.11. Calcul de dérivées.

12. Étude de fonctions.

13. Détermination de fonction.

14. Calcul de limites.

15. Étude de fonctions.

16. Détermination de fonctions.

17.lnet suites.

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESExercices :13, 14 page 179; 25 page 183 et 57, 59 page 18518- 65, 66 page 186; 74 page 188; 94 page

192 et 107, 109 page 195

19- 69 page 187 et 106 page 19520- 79, 80 page 18921[Magnard]

Références

[Magnard]

Maths Tle Sp écialité,Magnard, 2020

2 3 4 5 6

7 18. Calcul de limites.

19. Études de fonctions.

20. Détermination de fonctions.

21. Fonctionlnet suites.

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[PDF] La fonction logarithme népérien

La fonction

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition - Courbe représentative

1.2 Sens de variation - Application

1.3 Propriétés algébriques

2 Dérivation, sens de variation

2.1 Dérivée de la fonctionln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Limites et fonction logarithme

3.1 Limites de la fonction logarithme népérien

3.2 Croissance comparée

Table des figures

1 Fonctions réciproques :lnetexp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Courbe représentative de la fonctionln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Liste des tableaux?

1 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition - Courbe représentativePropriété :Pour toutx >0, l"équation et=x(d"inconnuet) admet une unique solution.

Cette solution est appelée

Exemples :1.Comme e 0= 1,ln1 = 0.

Comme e

1=e,lne= 1.Définition :Lafonction logarithme nép érienest la fonction défi niesur ]0; +∞[qui, à toutx >0associe

Remarques :1.En particulier, on a mon tréque :

P ourtout x?R,ln(ex) =x.

P ourtout x >0,e lnx=x.

Exercices :23 page 1831[Magnard]

1.2 Sens de variation - ApplicationPropriété :La fonction logarithme népérien eststricte mentcroissan tesur ]0; +∞[.Démonstration :

Figure1 - Fonctions réciproques :lnetexp

Résoudre l"équation ln(5-2x) = 1:

Il faut que5-2x >0, c"est-à-direx <52

Résoudre l"inéquation ln(5-2x)<3:

Il faut que5-2x >0, c"est-à-direx <52

Comme de plus on doit avoirx??-∞;52

Résoudre l"équation e

Cette équation équivaut à e

On a doncS={-2 + ln5}.

1.3 Propriétés algébriques du logarithme népérienThéorème 1 :Propriété fondamentale

Pour tous réelsa >0etb >0, on a :

2 DÉRIVATION, SENS DE VARIATION

Démonstration :

On a donc

1.ln?1a

2.ln?ab

3.ln(an) =nlna

4.ln⎷a=12

1. D"après le théorème 1 :ln?a×1a

De plus,ln?a×1a

2. D"après le théorème 1 :lnab

3. Le résultat se montre aisément par récurrence pourn≥0.

Comme de plus

A la calculatrice, on trouve que

5- 7, 8 page 175 et 47, 48 page 1846- 42 page 184 et 81, 82 page 1897[Magnard]

2 Dérivation, sens de variation

2.1 Dérivée de la fonctionlnThéorème :La fonctionlnestdériv ablesur ]0; +∞[et pour toutx >0:

Démonstration (partielle) :

4. Résolutions d"équations et d"inéquations.

5. Positions relatives de courbes.

6. Application aux suites géométriques.

7. Fonctionlnet suites.

2 DÉRIVATION, SENS DE VARIATION 2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonctionOn peut aussi dériver la fonctionfcomme une fonction composée :fest de la fonction euavec

Remarques :

Comme p ourtout x?]0; +∞[,1x

50 page 185

10[Magnard]

2.2 Dérivée delnu, oùuest une fonctionPropriété :Soituune fonctiondériv ableet strictemen tp ositivesu run in tervalleI.

9. Étude de fonctions.

10. Tangentes.

3 LIMITES ET FONCTION LOGARITHME

Magnard

3 Limites et fonction logarithme

3.1 Limites de la fonction logarithme népérienPropriété :

Par suite,limx→+∞lnx= +∞.

Pour la limite en0+, on poseX=1x

3.2 Croissance comparéeThéorème :

On poseX= lnx. On a alorsx=eXetlnxx

On pose ensuiteX=1x

De plus,limx→0+X= limx→0+1x