FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a) ln x = 2 ...
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif l'unique solution de l'équation = . On la note ln . La fonction logarithme
Exponentielle et logarithme
ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction ln(x). Équations et d'inéquations avec des exponentielles.
FONCTION LOGARITHME
Par convention on note ce nombre ln(a) que l'on appelle logarithme népérien logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ? à valeurs dans. 0;+????? . D'après le théorème des valeurs intermédiaires
Fonction Logarithme népérien 1. De lexponentielle au logarithme
iv) Pour x = 5 par définition de la fonction ln
Fonction logarithme népérien
graphique de la fonction exponentielle avec la droite d'équation y = x. Propriété 10.3 (admise). La fonction logarithme népérien est strictement croissante
La fonction logarithme népérien
On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles.
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 logarithme népérien et exponentielle. ... On veillera à mettre l'équation ou l'inéquation sous la forme ci-dessus et à.
Exponentielle et logarithme népérien
la fonction donnant l'unique solution de l'équation y e =x pour. 0 x > . D'où ssi ln comportant un exponentielle ou un logarithme népérien :.
La fonction logarithme népérien
Table des matières
1 La fonction logarithme népérien2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4
2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude de la fonction logarithme népérien6
3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Applications9
4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Le logarithme décimal11
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12
5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Avant propos
La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.1 La fonction logarithme népérien
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.1.2 Représentation
Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.PAULMILAN2 TERMINALES
1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O
1.3 Variation de la fonction logarithme
Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etalna=0?a=1
lna lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
3.1 Dérivée
Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim X→lnaX-A
eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim X→lnae
X-eA X-A=elna=a
Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim X→lnaX-A
eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x. 3.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 6 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞ Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M. Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. PAULMILAN6 TERMINALES
3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x. Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 X=limX→+∞-lnX=-∞
3.3 Tableau de variation et courbe
On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln 0+∞
1 0 e 1 On a alors la courbe représentative ci-
contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O 3.4 Des limites de référence
Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1 Théorème 8 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :
x→+∞alorsX→+∞ Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞ La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x? On a alors :
limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0????? Par somme et produit, on a :
lim x→+∞x-lnx= +∞ 3.5 Dérivée de la fonctionlnu
Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive sur R, donc la fonctionfest dérivable surRet :
f ?(x) =2x 1+x2 PAULMILAN8 TERMINALES
4. APPLICATIONS
4 Applications
4.1 Approximation de e
On pose, pourn?1,un=?
1+1 n? n Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? Calculonsvn:vn=ln?
1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+ On peut ainsi calculer la limite :
lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1 On en déduit alors que : lim
n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée. On trouve alors :
N=1 359 etU?2,717
La vitesse de convergence est donc
très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réel Entrées et initialisation
2→U
1→I
Traitement
tant que|U-e|>10-3 faire I+1→I?
1+1 I? I →U fin Sorties: Afficher :I,U
4.2 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx 1) Étudier les limites defen 0 et+∞
PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près
des solutions de l"équationf(x) =0. 1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :
lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞ Par somme, on a : lim
x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0 Par produit et somme, on a donc : lim
x→+∞f(x) = +∞ 2) On calcule la dérivée :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f ?(x) =0?x2-2x-2=0 avecx>0 On calculeΔ=4+8=12= (2⎷
3)2, on obtient comme racines :
x 1=2+2⎷
3 2=1+⎷3 etx2=1-⎷3<0 non retenu
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0 on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) 01+⎷3+∞
-0+ ? -7,48? -7,48 α1 0 α2 0 3) D"après le tableau de variation, sur les intervalles I
1=]0;1+⎷
3]et I 2= [1+⎷
3;+∞[la fonctionfest continue, strictement monotone et change
designedonc,d"aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x) =0 admet deux solutionsα1etα2(une dans chaque intervalle) 4) À l"aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
approchées suivantes : 0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262
PAULMILAN10 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf. 246
-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 OC f ?α1 ?α2 5 Le logarithme décimal
5.1 Définition
Définition 2 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par :logx=lnx ln10 Remarque :
On a : logx=1ln10×lnx. Comme1ln10>0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y=logx?x=10y
ainsi : log10 1=1, log102=2, ..., log10n=n
On a la représentation ci-dessous : log?x=1xln10 12 -1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11logx O PAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
5.2 Applications
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale
Un nombreN?1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10. Soit alors : 10
p?N<10p+1 Dans ce cas,Npossèdep+1 chiffres.
Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log10 p?logN2012=2012log2011?6 646,465
On en déduit alors que 2011
2012possède 6 647 chiffres!
5.2.2 En chimie
L"acidité d"une solution est mesurée par son pH : pH=-log[H+] Lorsque la concentration en[H+]est multipliée par 10, le pH diminue de 1. En effet : -log?10×[H+]?=-(log10+log[H+]) =-1-log[H+] =pH-1 Si une étiquette d"une eau minérale d"eau gazeuse indique pH=6,3, on a : pH=-log[H+]donc[H+] =10-pH [H+] =10-6,3?5×10-7mol/l 5.2.3 En acoustique
Le niveau sonoreL(en décibels) d"un son d"intensitéIest donnée par : L=10logI
I0 oùI0=10-12W.m-2correspond au seuil d"audibilité en dessous duquel aucun son n"est perçu. Par exemple le niveau sonoreLd"une conversation normale qui correspond à I=105I0est de :
L=10log105=10×5=50 décibels
PAULMILAN12 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
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lna<0?0 lna>0?a>1
Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation. PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Exemples :
Résoudre ln(2-2x) =1.
On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1 On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e
2 On a 2-e 2<1 car2-e2? -0,36.
On conclut alors :S=?2-e
2? Résoudre ln(2x+1)<-1
On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2 On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
3.1 Dérivée
Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim X→lnaX-A
eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim X→lnae
X-eA X-A=elna=a
Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim X→lnaX-A
eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x. 3.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 6 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞ Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M. Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. PAULMILAN6 TERMINALES
3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x. Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 X=limX→+∞-lnX=-∞
3.3 Tableau de variation et courbe
On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln 0+∞
1 0 e 1 On a alors la courbe représentative ci-
contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O 3.4 Des limites de référence
Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1 Théorème 8 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :
x→+∞alorsX→+∞ Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞ La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x? On a alors :
limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0????? Par somme et produit, on a :
lim x→+∞x-lnx= +∞ 3.5 Dérivée de la fonctionlnu
Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive sur R, donc la fonctionfest dérivable surRet :
f ?(x) =2x 1+x2 PAULMILAN8 TERMINALES
4. APPLICATIONS
4 Applications
4.1 Approximation de e
On pose, pourn?1,un=?
1+1 n? n Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? Calculonsvn:vn=ln?
1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+ On peut ainsi calculer la limite :
lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1 On en déduit alors que : lim
n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée. On trouve alors :
N=1 359 etU?2,717
La vitesse de convergence est donc
très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réel Entrées et initialisation
2→U
1→I
Traitement
tant que|U-e|>10-3 faire I+1→I?
1+1 I? I →U fin Sorties: Afficher :I,U
4.2 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx 1) Étudier les limites defen 0 et+∞
PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près
des solutions de l"équationf(x) =0. 1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :
lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞ Par somme, on a : lim
x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0 Par produit et somme, on a donc : lim
x→+∞f(x) = +∞ 2) On calcule la dérivée :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f ?(x) =0?x2-2x-2=0 avecx>0 On calculeΔ=4+8=12= (2⎷
3)2, on obtient comme racines :
x 1=2+2⎷
3 2=1+⎷3 etx2=1-⎷3<0 non retenu
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0 on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) 01+⎷3+∞
-0+ ? -7,48? -7,48 α1 0 α2 0 3) D"après le tableau de variation, sur les intervalles I
1=]0;1+⎷
3]et I 2= [1+⎷
3;+∞[la fonctionfest continue, strictement monotone et change
designedonc,d"aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x) =0 admet deux solutionsα1etα2(une dans chaque intervalle) 4) À l"aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
approchées suivantes : 0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262
PAULMILAN10 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf. 246
-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 OC f ?α1 ?α2 5 Le logarithme décimal
5.1 Définition
Définition 2 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par :logx=lnx ln10 Remarque :
On a : logx=1ln10×lnx. Comme1ln10>0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y=logx?x=10y
ainsi : log10 1=1, log102=2, ..., log10n=n
On a la représentation ci-dessous : log?x=1xln10 12 -1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11logx O PAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
5.2 Applications
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale
Un nombreN?1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10. Soit alors : 10
p?N<10p+1 Dans ce cas,Npossèdep+1 chiffres.
Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log10 p?logN2012=2012log2011?6 646,465
On en déduit alors que 2011
2012possède 6 647 chiffres!
5.2.2 En chimie
L"acidité d"une solution est mesurée par son pH : pH=-log[H+] Lorsque la concentration en[H+]est multipliée par 10, le pH diminue de 1. En effet : -log?10×[H+]?=-(log10+log[H+]) =-1-log[H+] =pH-1 Si une étiquette d"une eau minérale d"eau gazeuse indique pH=6,3, on a : pH=-log[H+]donc[H+] =10-pH [H+] =10-6,3?5×10-7mol/l 5.2.3 En acoustique
Le niveau sonoreL(en décibels) d"un son d"intensitéIest donnée par : L=10logI
I0 oùI0=10-12W.m-2correspond au seuil d"audibilité en dessous duquel aucun son n"est perçu. Par exemple le niveau sonoreLd"une conversation normale qui correspond à I=105I0est de :
L=10log105=10×5=50 décibels
PAULMILAN12 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
0quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
On a alors :x>-1
2et 2x+1 On a :
e-1-1 2=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
3.1 Dérivée
Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim X→lnaX-A
eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim X→lnae
X-eA X-A=elna=a
Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim X→lnaX-A
eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x. 3.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 6 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞ Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M. Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. PAULMILAN6 TERMINALES
3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x. Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 X=limX→+∞-lnX=-∞
3.3 Tableau de variation et courbe
On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln 0+∞
1 0 e 1 On a alors la courbe représentative ci-
contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O 3.4 Des limites de référence
Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1 Théorème 8 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :
x→+∞alorsX→+∞ Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞ La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x? On a alors :
limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0????? Par somme et produit, on a :
lim x→+∞x-lnx= +∞ 3.5 Dérivée de la fonctionlnu
Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive sur R, donc la fonctionfest dérivable surRet :
f ?(x) =2x 1+x2 PAULMILAN8 TERMINALES
4. APPLICATIONS
4 Applications
4.1 Approximation de e
On pose, pourn?1,un=?
1+1 n? n Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? Calculonsvn:vn=ln?
1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+ On peut ainsi calculer la limite :
lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1 On en déduit alors que : lim
n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée. On trouve alors :
N=1 359 etU?2,717
La vitesse de convergence est donc
très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réel Entrées et initialisation
2→U
1→I
Traitement
tant que|U-e|>10-3 faire I+1→I?
1+1 I? I →U fin Sorties: Afficher :I,U
4.2 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx 1) Étudier les limites defen 0 et+∞
PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près
des solutions de l"équationf(x) =0. 1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :
lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞ Par somme, on a : lim
x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0 Par produit et somme, on a donc : lim
x→+∞f(x) = +∞ 2) On calcule la dérivée :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f ?(x) =0?x2-2x-2=0 avecx>0 On calculeΔ=4+8=12= (2⎷
3)2, on obtient comme racines :
x 1=2+2⎷
3 2=1+⎷3 etx2=1-⎷3<0 non retenu
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0 on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) 01+⎷3+∞
-0+ ? -7,48? -7,48 α1 0 α2 0 3) D"après le tableau de variation, sur les intervalles I
1=]0;1+⎷
3]et I 2= [1+⎷
3;+∞[la fonctionfest continue, strictement monotone et change
designedonc,d"aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x) =0 admet deux solutionsα1etα2(une dans chaque intervalle) 4) À l"aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
approchées suivantes : 0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262
PAULMILAN10 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf. 246
-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 OC f ?α1 ?α2 5 Le logarithme décimal
5.1 Définition
Définition 2 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par :logx=lnx ln10 Remarque :
On a : logx=1ln10×lnx. Comme1ln10>0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y=logx?x=10y
ainsi : log10 1=1, log102=2, ..., log10n=n
On a la représentation ci-dessous : log?x=1xln10 12 -1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11logx O PAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
5.2 Applications
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale
Un nombreN?1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10. Soit alors : 10
p?N<10p+1 Dans ce cas,Npossèdep+1 chiffres.
Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log10 p?logN2012=2012log2011?6 646,465
On en déduit alors que 2011
2012possède 6 647 chiffres!
5.2.2 En chimie
L"acidité d"une solution est mesurée par son pH : pH=-log[H+] Lorsque la concentration en[H+]est multipliée par 10, le pH diminue de 1. En effet : -log?10×[H+]?=-(log10+log[H+]) =-1-log[H+] =pH-1 Si une étiquette d"une eau minérale d"eau gazeuse indique pH=6,3, on a : pH=-log[H+]donc[H+] =10-pH [H+] =10-6,3?5×10-7mol/l 5.2.3 En acoustique
Le niveau sonoreL(en décibels) d"un son d"intensitéIest donnée par : L=10logI
I0 oùI0=10-12W.m-2correspond au seuil d"audibilité en dessous duquel aucun son n"est perçu. Par exemple le niveau sonoreLd"une conversation normale qui correspond à I=105I0est de :
L=10log105=10×5=50 décibels
PAULMILAN12 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
0quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
On a :
e-1-12=1-e2e? -0,32 donc-12 On conclut par :S=?
-1 2;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna PAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle. On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3 On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10 On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6? On a alors
1 2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x) L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2 2x2-3x=x2-12x+36
x 2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15 2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3} PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
3.1 Dérivée
Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim X→lnaX-A
eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim X→lnae
X-eA X-A=elna=a
Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim X→lnaX-A
eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x. 3.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 6 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞ Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M. Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. PAULMILAN6 TERMINALES
3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x. Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 X=limX→+∞-lnX=-∞
3.3 Tableau de variation et courbe
On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln 0+∞
1 0 e 1 On a alors la courbe représentative ci-
contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O 3.4 Des limites de référence
Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1 Théorème 8 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :
x→+∞alorsX→+∞ Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞ La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x? On a alors :
limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0????? Par somme et produit, on a :
lim x→+∞x-lnx= +∞ 3.5 Dérivée de la fonctionlnu
Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive sur R, donc la fonctionfest dérivable surRet :
f ?(x) =2x 1+x2 PAULMILAN8 TERMINALES
4. APPLICATIONS
4 Applications
4.1 Approximation de e
On pose, pourn?1,un=?
1+1 n? n Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? Calculonsvn:vn=ln?
1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+ On peut ainsi calculer la limite :
lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1 On en déduit alors que : lim
n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée. On trouve alors :
N=1 359 etU?2,717
La vitesse de convergence est donc
très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réel Entrées et initialisation
2→U
1→I
Traitement
tant que|U-e|>10-3 faire I+1→I?
1+1 I? I →U fin Sorties: Afficher :I,U
4.2 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx 1) Étudier les limites defen 0 et+∞
PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près
des solutions de l"équationf(x) =0. 1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :
lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞ Par somme, on a : lim
x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0 Par produit et somme, on a donc : lim
x→+∞f(x) = +∞ 2) On calcule la dérivée :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f ?(x) =0?x2-2x-2=0 avecx>0 On calculeΔ=4+8=12= (2⎷
3)2, on obtient comme racines :
x 1=2+2⎷
3 2=1+⎷3 etx2=1-⎷3<0 non retenu
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0 on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) 01+⎷3+∞
-0+ ? -7,48? -7,48 α1 0 α2 0 3) D"après le tableau de variation, sur les intervalles I
1=]0;1+⎷
3]et I 2= [1+⎷
3;+∞[la fonctionfest continue, strictement monotone et change
designedonc,d"aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x) =0 admet deux solutionsα1etα2(une dans chaque intervalle) 4) À l"aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
approchées suivantes : 0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262
PAULMILAN10 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf. 246
-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 OC f ?α1 ?α2 5 Le logarithme décimal
5.1 Définition
Définition 2 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par :logx=lnx ln10 Remarque :
On a : logx=1ln10×lnx. Comme1ln10>0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y=logx?x=10y
ainsi : log10 1=1, log102=2, ..., log10n=n
On a la représentation ci-dessous : log?x=1xln10 12 -1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11logx O PAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
5.2 Applications
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale
Un nombreN?1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10. Soit alors : 10
p?N<10p+1 Dans ce cas,Npossèdep+1 chiffres.
Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log10 p?logN2012=2012log2011?6 646,465
On conclut par :S=?
-12;1-e2e?
2 Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1 Relation fonctionnelle
Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=bOrelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.Exemple :ln2+ln3=ln6
2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée
Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lnaPAULMILAN4 TERMINALES
2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Démonstration :
Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.On aelna
b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb Pour la deuxième propriété, on faita=1 La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit.Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du
produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5
On a 12=22×3 donc ln⎷
12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3
Déterminer l"entierntel que 2n>10 000
On a donc : ln2
n>ln104soitnln2>4ln10On obtient alors :n>4ln10
ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6?On a alors
12[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)
soit lnx(2x-3) =2ln(6-x)L"équation revient à :
x?Dfetx(2x-3) = (6-x)22x2-3x=x2-12x+36
x2+9x-36=0
On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+152=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df
on conclut par :S={3}PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Étude de la fonction logarithme népérien
3.1 Dérivée
Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : limX→lnaX-A
eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: limX→lnae
X-eAX-A=elna=a
Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : limX→lnaX-A
eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x.3.2 Limite en 0 et en l"infini
Théorème 6 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M.Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞.PAULMILAN6 TERMINALES
3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x.Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1X=limX→+∞-lnX=-∞
3.3 Tableau de variation et courbe
On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln0+∞
1 0 e 1On a alors la courbe représentative ci-
contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O3.4 Des limites de référence
Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1
Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1Théorème 8 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :
x→+∞alorsX→+∞Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x?On a alors :
limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0?????Par somme et produit, on a :
lim x→+∞x-lnx= +∞3.5 Dérivée de la fonctionlnu
Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive surR, donc la fonctionfest dérivable surRet :
f ?(x) =2x 1+x2PAULMILAN8 TERMINALES
4. APPLICATIONS
4 Applications
4.1 Approximation de e
On pose, pourn?1,un=?
1+1 n? n Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite?Calculonsvn:vn=ln?
1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+On peut ainsi calculer la limite :
lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1On en déduit alors que : lim
n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée.On trouve alors :
N=1 359 etU?2,717
La vitesse de convergence est donc
très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réelEntrées et initialisation
2→U
1→I
Traitement
tant que|U-e|>10-3 faireI+1→I?
1+1 I? I →U finSorties: Afficher :I,U
4.2 Étude d"une fonction
Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx1) Étudier les limites defen 0 et+∞
PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.
4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près
des solutions de l"équationf(x) =0.1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :
lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞Par somme, on a : lim
x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0Par produit et somme, on a donc : lim
x→+∞f(x) = +∞2) On calcule la dérivée :
f ?(x) =2x-4-4 x=2x2-4x-4x=2(x2-2x-2)x f ?(x) =0?x2-2x-2=0 avecx>0On calculeΔ=4+8=12= (2⎷
3)2, on obtient comme racines :
x1=2+2⎷
32=1+⎷3 etx2=1-⎷3<0 non retenu
signe def(x) =signe de(x2-2x-2)avecx>0 on obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)01+⎷3+∞
-0+ ? -7,48? -7,48 α1 0 α2 03) D"après le tableau de variation, sur les intervalles I
1=]0;1+⎷
3]et I2= [1+⎷
3;+∞[la fonctionfest continue, strictement monotone et change
designedonc,d"aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x) =0 admet deux solutionsα1etα2(une dans chaque intervalle)4) À l"aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs
approchées suivantes :0,600<α1<0,601 et 5,261<α2<5,262
PAULMILAN10 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
À titre indicatif, voici la courbe de la fonctionf. 246-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 OC f ?α1 ?α2
5 Le logarithme décimal
5.1 Définition
Définition 2 :On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur]0;+∞[par :logx=lnx ln10Remarque :
On a : logx=1ln10×lnx. Comme1ln10>0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommesy=logx?x=10y
ainsi : log101=1, log102=2, ..., log10n=n
On a la représentation ci-dessous : log?x=1xln10 12 -1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11logx OPAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
5.2 Applications
5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale
Un nombreN?1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10.Soit alors : 10
p?N<10p+1Dans ce cas,Npossèdep+1 chiffres.
Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log10 p?logNOn en déduit alors que 2011
2012possède 6 647 chiffres!
5.2.2 En chimie
L"acidité d"une solution est mesurée par son pH : pH=-log[H+] Lorsque la concentration en[H+]est multipliée par 10, le pH diminue de 1. En effet : -log?10×[H+]?=-(log10+log[H+]) =-1-log[H+] =pH-1 Si une étiquette d"une eau minérale d"eau gazeuse indique pH=6,3, on a : pH=-log[H+]donc[H+] =10-pH [H+] =10-6,3?5×10-7mol/l5.2.3 En acoustique
Le niveau sonoreL(en décibels) d"un son d"intensitéIest donnée par :L=10logI
I0 oùI0=10-12W.m-2correspond au seuil d"audibilité en dessous duquel aucun son n"est perçu. Par exemple le niveau sonoreLd"une conversation normale qui correspond àI=105I0est de :
L=10log105=10×5=50 décibels
PAULMILAN12 TERMINALES
5. LE LOGARITHME DÉCIMAL
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