FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a) ln x = 2 ...
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif l'unique solution de l'équation = . On la note ln . La fonction logarithme
Exponentielle et logarithme
ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction ln(x). Équations et d'inéquations avec des exponentielles.
FONCTION LOGARITHME
Par convention on note ce nombre ln(a) que l'on appelle logarithme népérien logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ? à valeurs dans. 0;+????? . D'après le théorème des valeurs intermédiaires
Fonction Logarithme népérien 1. De lexponentielle au logarithme
iv) Pour x = 5 par définition de la fonction ln
Fonction logarithme népérien
graphique de la fonction exponentielle avec la droite d'équation y = x. Propriété 10.3 (admise). La fonction logarithme népérien est strictement croissante
La fonction logarithme népérien
On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles.
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 logarithme népérien et exponentielle. ... On veillera à mettre l'équation ou l'inéquation sous la forme ci-dessus et à.
Exponentielle et logarithme népérien
la fonction donnant l'unique solution de l'équation y e =x pour. 0 x > . D'où ssi ln comportant un exponentielle ou un logarithme népérien :.
Chapitre 10
Fonction logarithme népérien
cours de T aleES I.Antécédent d"un nombre par la f onctione xponentiellePropriété 10.1(admise)Quel que soit le nombre réel strictement positifa,
l"équationex=aadmet une unique solution surR.Définition 10.1 La solution de l"équation précédente s"appellelogarithme népériende aet se notelna.Remarque 10.1 : On peut aussi exprimer la propriété précédente ainsi : " Quel que soit le nombre réel strictement positifa, il admet un unique anté- cédent surRpar la fonction exponentielle. » Alors la définition s"écrirait plutôt : "lnaest l"unique antécédent deapar la fonction exponentielle. »1 10xy y= exa lnaOn peut traduire cela par la propriété suivante :Propriété 10.2(démontrée ci-dessous)íPour tout nombre réel strictement positifa, on aelna=a.
íPour tout nombre réelb, on alneb=b.DémonstrationíConséquence de la définition
íPar définition,lnebest l"unique antécédent deebpar la fonction exponentielle. Or, il est clair quebest cet unique
antécédent donc on a bienlneb=b.Remarque 10.2 :
lne= 1 ln1 = 0EXERCICE10.11)Calculereln(2)ln(e3) ln1e2)Résoudre l"équationex= 5.
3)Résoudre l"équation2ex+1= 01
T aleES CHAPITRE 10. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENM CERISIER - Mme ROUSSENALY LGT Mansart - 2015-16II.La f onctionlogarithme népérienDéfinition 10.2
On appellefonction logarithme népérienla fonction définie surR+ parx7!lnx.Remarque 10.3 : On obtient sa représentation graphique par symétrie de la représentationgraphique de la fonction exponentielle avec la droite d"équationy=xPropriété 10.3(admise)La fonction logarithme népérien est strictement croissante surR+.Remarque 10.4 :
Sia >1alorslna >0Si0< a <1alorslna <0J
IOy= exy= lnxy=xb
aa bPropriété 10.4 :Pour résoudre des équations et des inéquations(Corollaire de la propriété précédente)Pour tous nombres réels strictement positifsaetb, on a les équivalences :
lna= lnb()a=b lna3)Etudier le signe de la fonction définie surR+parf:x7!ln(x)2x23x2III.Relation f onctionnelle
Remarque 10.5 :
On a construit les fonctions exponentielles à l"aide d"une relation fonctionnelle : " Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits. » En particulier, si on notefla fonction exponentielle définie surRparf:x7!ex, on a la relation :Pour tous nombres réelsxety, on af(x+y) =f(x)f(y), qui s"écrit aussiex+y= exeyPropriété 10.5 :Relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien(démontrée ci-dessous)Pour tous nombres réels strictement positifsaetb, on alnab= lna+ lnbDémonstration
Quels que soient les nombres réels strictement positifsaetb, on a :elna+lnb= elnaelnb=abOraetbsont strictement positifs donc leur produitabaussi etln(ab)existe. On peut donc écrire :ab= eln(ab)
En reprenant le calcul précédent :elna+lnb= eln(ab) Et comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on en déduit :ln(ab) = lna+ lnb 2 T aleES CHAPITRE 10. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENM CERISIER - Mme ROUSSENALYLGT Mansart - 2015-16Remarque 10.6 :
De manière analogue à la remarque 10.5, la propriété 10.5 peut s"exprimer : " La fonctionlntransforme les produits en sommes. »Ainsi, si on notegla fonction logarithme népérien définie surR+parg:x7!lnx, on a la relation :
Pour tous nombres réels strictement positifsaetb, on ag(ab) =g(a) +g(b)Propriété 10.6(démontrée page 137 du manuel)Pour tous nombres réels strictement positifsaetb, et pour tout entier natureln, on a :
ln ab = lnalnbln1b =lnblnan=nlnalnpa=12 lnaEXERCICE10.31)Exprimer en fonction deln(3)etln(5):A= ln352272)Exprimer à l"aide d"un seul logarithme :B= 3ln(10) + ln(0;08)5ln(2)EXERCICE10.41)Résoudre l"équationx5= 3
2)Déterminer le plus petit entier naturelntel que101;03n14>0IV.Dériv ation
Propriété 10.7(admise)La fonction logarithme népérien est continue et dérivable surR+et sa dérivée est la fonction inversex7!1x
Remarque 10.7 :
Alors une primitive de la fonction inverse surR+est la fonction logarithme népérien.Remarque 10.8 :
On retrouve que la fonction logarithme népérien est strictement croissante surR+. En effet, surR+sa dérivée, la fonction inverse
est strictement positive.EXERCICE10.5Soit les fonctionfetgdéfinies et dérivables surR+par : f:x7!3x3ln(x)g:x7!2x + 4x3ex41)Déterminer la fonction dérivéef0.
2)Déterminer l"ensemble des primitives deg.Propriété 10.8(démontrée ci-contre)La fonction logarithme népérien est concave surR+.3
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