Terminale S - Fonctions trigonométriques
L'ensemble des solutions de l'équation cos = cos a est : Exemples : voir cours de 1ère S Equations trigonométriques.
1 S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques (1)
- ? ? l'équation sin. –1 x = . 7 Résoudre dans [. ] 0 ; 2? l'inéquation. 3 cos.
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
= ( ). Page 6. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 6. On en déduit que la fonction f est périodique de période . 3) On pose : (
Fonctions Trigonométriques - Partie 1 Équations et inéquations
Exemple 1 : L'équation cosx=cos(??. 4. ) dans ]??;? ] a pour solutions. ??. 4 et ?. 4 . L'équation cos x= ??3. 2 dans [0;2?[ a pour solution : cos x
2 cos 2 x = ? 3 sin 2 x =
Résoudre algébriquement des équations des inéquations. Pour les exercices suivants
Trigonométrie – Exercices - Corrigé
Exercice 3. Résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s'aidant du cercle trigonométrique. (noté ). 1. a.
TRIGONOMÉTRIE
Résoudre dans R les équations suivantes : a) cosx = cos ?. 6 b) sinx = ?05 a) L'équation cosx = cos ?. 6 a pour solution ?. 6. + 2k? et ? ?. 6. + 2k? où k
Trigonométrie circulaire
L'angle 2x n'a rien à faire au milieu des calculs et par exemple tan(2x) n'existe pas pour x = ?. 4 alors que tan(x) et tan(3x) existent. Exercice 6. Calculer
Étudier une fonction trigonométrique
équation et une inéquation comme expliqué dans le chapitre précédent. bien celle-ci en s'appuyant sur des cercles trigonométriques que l'on repré-.
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
radians•. b) Quel angle a même sinus que l'angle de ?. 3 radians ?
1ère S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques (1)
Pour chaque équation ou inéquation, tracer un cercle trigonométrique assez grand* très soigneusement (au
compas !).1 Résoudre dans ; l'équation 2cos2x.
2 Résoudre dans 0 ; 2 l'équation 1cos2x.
3 Résoudre dans ; l'équation cos0x.
4 Résoudre dans ; l'équation 3sin2x.
5 Résoudre dans 0 ; 2 l'équation 2sin2x.
6 Résoudre dans ; l'équation sin-1x.
7 Résoudre dans 0 ; 2 l'inéquation 3cos 2x.
8 Résoudre dans ; l'inéquation 2sin2x.
9 Résoudre dans ; l'inéquation 21cos 4x.
10 On considère deux demi-droites [Ox) et [Oy) telles que Oxy.
Soit A un point de ]Ox), B son projeté orthogonal sur la droite (Oy) et C le projeté orthogonal de B sur la droite
(Ox).1°) On suppose que l'angle Oxy est aigu.
a) Calculer OC en fonction de OA et de cos °. b) Déterminer la valeur de pour que l'on ait 1OCOA4.Faire la figure correspondante.
2°) Reprendre la question précédente en supposant que l'angle Oxy est obtus (90180).
* Au moins 5 cm ou 5 " gros » carreaux.Réponses
1 , 44S
Remarque : dans les accolades, l'ordre n'a pas d'importance.2 24, 33S
3 , 22S
4 2, 33S
5 57, 44S
6 2S7 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique.
11 ; 66S
8 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique.
3;;44S
9 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique.
22 ; ;3333S
10 1°) a) OC = OA 2cos b) 60
2°) OC = OA 2cos b) 120
Solutions détaillées
On résout toutes les équations et inéquations trigonométriques par lecture graphique. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. Faire un cercle trigonométrique pour chaque équation ou inéquation.Classification des exercices
Équations
Équations du type cosxa : exercices 1 à 3 . Équations du type sinxa : exercices 4 à 6 .Inéquations
Inéquations du type cos x a, sin x a et toutes les variantes possibles.Exercices 7 à 9 .
Utilisation dans des situations
Exercice 10 .
1 Résolvons dans ; l'équation 2cos2x (1).
OA' A B B' 4 4 2 2 OA' A B B' OA' A B B' Soit 1S l'ensemble des solutions de (1) dans l'intervalle ; .1, 44S
4 4 2 2 4 42 Résolvons dans 0 ; 2 l'équation 1cos2x (2).
OA' A B B' 2 3 4 3 1 2 OA' A B B' OA' A B B' Soit 2S l'ensemble des solutions de (2) dans l'intervalle 0 ; 2.224, 33S
2 3 4 3 1 2 2 3 4 3 1 23 Résolvons dans ; l'équation x (3).
Il y a deux points images dans l'arc considéré.Il y a deux solutions dans l'intervalle.
OA' A B B' Soit 3S l'ensemble des solutions de (3) dans l'intervalle ;.3, 22S
+ 2 24 Résolvons dans ; l'équation 3sin2x (4).
On associe 3
2 à des valeurs du tableau des valeurs remarquables.
32 est une valeur remarquable du sinus associé à la famille des " 3
On peut placer les quatre points de la famille des " 3 » puis éventuellement tracer le rectangle formé par ces points.Comme le sinus est négatif, les points images des solutions se situent dans le demi-cercle au-dessous de l'axe
des abscisses. OA' A B B' 2 3 3 OA' A B B' OA' A B B' Soit 4S l'ensemble des solutions de (5) dans l'intervalle ; .42, 33S
2 3 3 2 3 3 3 25 Résolvons dans 0 ; 2 l'équation 2sin2x (5).
OA' A B B' OA' A B B' 5 4 7 4 5 4 7 4 OA' A B B' Soit 5S l'ensemble des solutions de (5) dans l'intervalle 0 ; 2.557, 44S
5 4 7 4 2 26 Résolvons dans ; l'équation x (6).
On cherche les points du cercle trigonométrique dont l'ordonnée est égale à - 1.Il y a donc un seul point image : B' (seul point du cercle trigonométrique qui a pour ordonnée - 1).
Il y a une seule solution dans l'intervalle ; .
OA' A B B' Soit 6S l'ensemble des solutions de (6) dans l'intervalle ; . 62S2 - 1
7 Résolvons dans 0 ; 2 l'inéquation 3cos 2x (7).
Utilisation du cercle trigonométrique
32 est une valeur remarquable du cosinus associée à la famille des " 6
On cherche les points dont l'abscisse est strictement inférieure à 3 2. O C B A' A B' Les solutions sont représentées par l'arc rouge (grand arc de cercle).Les extrémités sont obtenues par constructions au compas ou en utilisant les milieux des segments [OB] et
[OB]. O C B A' A B' 6 0 2 11 6 3 2 6 0 2 11 6 Soit 7S l'ensemble des solutions de (7) dans l'intervalle 0 ; 2.711 ; 66S
On peut aussi faire apparaître les extrémités des arcs par des crochets.8 Résolvons dans ; l'inéquation 2sin2x (8).
Utilisation du cercle trigonométrique.
On cherche les points du cercle trigonométrique dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 2
2. O C A B A' B' 2 2 Les solutions sont représentées par le grand arc rouge (extrémités comprises).Pour placer les extrémités, on utilise les bissectrices des angles AOB' et A'OB' (ce qui est aisé si l'on travaille
sur papier quadrillé) ; les extrémités de l'arc rouge sont les milieux des arcs AB' et A'B'.
3 4 4 O C A B A' B' Soit 8S l'ensemble des solutions de (8) dans l'intervalle ; .83;;44S
L'ensemble 8S est la réunion de deux intervalles.9 Résolvons dans ; l'inéquation 21cos 4x (9).
1ère étape : se débarrasser du carré
(9) 11cos22x (En effet, 214X 11
22X)Autre façon de faire :
(9) 21cos2x (car la fonction " racine carrée » est strictement croissante sur )1cos2x
11cos22x
3 4 4On a une double inéquation.
On peut donc séparer en deux inéquations simples ou bien on adapte la méthode graphique étudiée dans le
cours en utilisant le cercle trigonométrique.2e étape : utiliser un cercle trigonométrique
O C B A' A B' Soit 9S l'ensemble des solutions de (9) dans l'intervalle ; .922;;3333S
L'ensemble 9S est la réunion de deux intervalles. 2 3 3 1 2 1 2 2 3 310 Il n'y a pas à faire de cercle trigonométrique dans cet exercice.
1°) Oxy avec 090
A ]Ox)
B : projeté orthogonal de A sur la droite (Oy)
C : projeté orthogonal de B sur la droite (Ox)
On commence par faire une première figure avec une valeur quelconque de .C A
B Ox y a) Calculons OC en fonction de OA et de cos °. Dans le triangle OAB, rectangle en B, on a : OBcosOA. Dans le triangle OBC, rectangle en C, on a : OCcosOB.On a donc OBOAcos et OCOBcos.
Par suite,
2OCOAcos
b) Déterminons pour que 1OCOA4 (1). (1) 21cos41cos2 ou 1cos2
60 (090, utilisation du cercle trigonométrique)
Figure correspondante (en utilisant le rapporteur) On refait une figure avec la valeur exacte de trouvée précédemment c'est-à-dire 60. C A B Ox y2°) Oxy avec 90180
A ]Ox)
B : projeté orthogonal de A sur la droite (Oy)
C : projeté orthogonal de B sur la droite (Ox)
On commence par faire une première figure avec une valeur quelconque de . C A B Ox y Dans le triangle OAB, rectangle en B, on a : OBcos180OA soit OBcosOA. Dans le triangle OBC, rectangle en C, on a : OCcos180OB soit OCcosOB.On a donc OBcosOA et OCcosOB.
Par suite,
2OCOAcos
b) Déterminons pour que 1OCOA4 (1). (1) 21cos41cos2 ou 1cos2
120 (90180, utilisation du cercle trigonométrique)
180C A B Ox yquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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