[PDF] Intégrale de Lebesgue Sep 1 2022 4.2

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Int egrale de Lebesgue

L3 Mathematiques

Jean-ChristopheBreton

Universite de Rennes 1

Septembre{Decembre 2016version du 8 fevrier 2021

Table des matieres

1 Tribus (-algebres) et mesures1

1.1 Rappels ensemblistes

1

1.2 Algebres et-algebres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Mesure

9

1.4 Proprietes des mesures

1 2

1.5 Classe monotone

13

1.6 Tribu complete

1 7

2 Mesure de Lebesgue

20

2.1 Construction de la mesure de Lebesgue

2 0

2.2 Proprietes de la mesure de Lebesgue

2 2

2.3 Regularite de la mesure de Lebesgue

2 4

2.4 Mesure de Lebesgue completee

26

3 Fonctions mesurables

28

3.1 Mesurabilite de fonction

29

3.2 Proprietes des fonctions mesurables

30

3.3 Limite de fonctions mesurables

3 2

3.4 Fonctions etagees (simples)

3 5

4 Integrales des fonctions mesurables positives

38

4.1 Integrale des fonctions positives

3 8

4.2 Proprietes de l'integrale

4 0

4.3 Convergence monotone

4 3

4.4 Lemme de Fatou

48

5 Integrales des fonctions mesurables de signe quelconque

50

5.1 Denition et proprietes

5 0

5.2 Formule de transfert

52

5.3 Ensembles negligeables

54

5.4 Convergence dominee et applications

55
i

Table des matieresii

6 Lien avec l'integrale de Riemann

59

6.1 Fonctions en escalier

5 9

6.2 Fonctions continues de [a;b]!R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 0

6.3 Fonctions Riemann-integrables

61

6.4 Cas des integrales de Riemann impropres

6 6

7 Integrale de Stieltjes

68

7.1 Mesure de Lebesgue-Stieltjes

6 8

7.2 Fonctions a variation nie

7 1

7.3 Integrale de Stieltjes

7 4

8 Integrale multiple

76

8.1 Tribu produit

76

8.2 Mesure produit

7 8

8.3 Theoremes de Fubini

8 1

8.4 Changement de variables

8 3

8.4.1 Rappel : integrale de Riemann

8 5

8.4.2 Changement de variables lineaire

8 5

8.4.3 Preuve de 1) dans le Theoreme

8 .15 87

8.4.4 Preuve de 2) dans le Theoreme

8 .15 92

8.4.5 Coordonnees polaires et spheriques

9 3

9 EspacesLp96

9.1 Convexite

9 6

9.2 EspaceLp(X;A;). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8

9.3 EspacesLp(X;A;). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9

9.4 Inegalites de convexite

10 0

10 Convolution

107

10.1 Denition et proprietes

10 7

10.2 Normes des convolutions

1 08

10.3 Derivation des convolutions

1 13

10.4 Approximation et regularisation

1 15

11 Absolue continuite

122

11.1 Mesure signee

1 22

11.2 Decompositions de Hahn et de Jordan

12 3

11.3 Integrale par rapport a une mesure signee

12 7

11.4 Absolue continuite et singularite

1 30

11.5 Theoreme de Radon-Nikodym

1 31

Introduction a la theorie de la mesure

Historiquement, comme l'indique le nom, le but de cette theorie est de mesurer des en- sembles. Sans s'en rendre compte, plusieurs types de"mesures»ont deja ete rencontrees : Le c ardinald 'unen sembled iscret,p arex emplel eca rdinald ef1;2;3;4gest 4, celui def1;9;26;74;106gest 5, celui deNest +1. La l ongueur,l 'aire,l ev olumed 'uneco urbe,d 'une gurep lane,d 'unso lideen d i- mension 3. Par exemple, la longueur de l'intervalle [3;5] est 5(3) = 8, l'aire du disque D(0;R) estR2, le volume du cylindre de baseD(0;R) et de hauteurhestR2h. La p robabilited 'un evenement: p are xemplesi o nl anceu nd e equilibrel ap robabilite d'avoir un quatre est 1=6, celle d'avoir une face impaire est 1=2, celle de gagner au loto (au premier rang) est 1=49

55;24107.

Ces mesures sont des cas particuliers d'une notion plus generale de mesure, outil de base pour une nouvelle theorie de l'integration, dite integrale de Lebesgue (1902). Elle generalise la notion deja vue de l'integrale de Riemann (cf. [

JCB-Riemann

]),d oncce qu i est deja connu avec Riemann n'est pas perdu mais generalise. Cependant, cette nouvelle theorie s' applique au necl assed efo nctionsb eaucoupp lusg rande( lesfo nctionsmesurables); a d est heoremesd eco nvergenceb eaucoupp lusp uissants: t heoremed eco nvergence monotone, theoreme de convergence dominee pour avoir des resultats du type lim n!+1Z f n(x)dx=Z lim n!+1fn(x)dx ou X n1Z f n(x)dx=ZX n1f n(x)dx; tr aitesa nsd icultel esi ntegralesm ultiples( theoremesd eF ubini-Tonelliet d eF u- bini); u niel esd ierentesfa consd em esurer,p are xemplel ecal culd 'unees peranced e variables aleatoires, d'une serie, d'une integrale classique sont des cas particuliers d'integrales au sens de Lebesgue. Cette theorie uniante eclaire les analogies souvent constatees en L1, L2 entre les resultats lies aux series et aux integrales de Riemann. De plus, cette theorie sert de cadre pour une theorie des probabilites moderne due a Kolmogorov (cf. [

JCB-proba

iii

©JCB { L3 math { Universite de Rennes 1iv

Remarque :Notons qu'une mesure est toujours associee a une famille d'ensembles a me- surer. On appelera bient^ot ces familles destribusou des-algebres.

Une reference classique pour ce cours est [

Rud ].D 'autresr eferencesso nt[ ACMR

Bouyssel

BP ]et [ LCP ] (en anglais), dont la partie

00theorie de la mesure00a inspire une partie de ces

notes.

Chapitre 1

Tribus (-algebres) et mesures

Dans ce chapitre, on introduit les notions clefs de theorie de la mesure : les tribus (appelees aussi-algebre) en Section1 .2et l esm esuresen S ection1. 3.O np resentel es principales proprietes des mesures en Section 1 .4 . On presente egalement la notion de classe monotone, a la base de l'argument du m^eme nom en Section 1 .5 . On montre comment completer une tribu en Section 1 .6 . O nco mmencece c hapitrep arr appelerl eso perations ensemblistes de base en Section 1 .1

1.1 Rappels ensemblistes

Dans toute la suite, on considere un ensemble de baseXdont on considere des sous- ensemblesE;F;:::et des familles de sous-ensembles. On rappelle queP(X) designe la famille de tous les sous-ensembles deX. Par exemple siX=f1;2;3galors

P(X) =;;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;X=f1;2;3g:

En general si card(X) =nalors card(P(X)) = 2n. En eet, cela se voit facilement par recurrence : sin= 0 alorsX=;etP(X) =f;gest de cardinal 20= 1. Si le resultat est acquis lorsque card(X) =nalors consideronsX0=X[ fx0gde cardinaln+ 1 et notons que les sous-ensembles deX0sont de deux types : ceu xn econ tenantp asx0, ce sont alors exactement des sous-ensembles deX, en nombre 2 n(hypothese de recurrence); ceu xc ontenantx0et ils sont alors exactement de la formeE[fx0gouEest un des 2 nsous-ensembles deX; Finalement,X0a 2n+ 2n= 2n+1sous-ensembles, ce qui acheve la recurrence.

Operations ensemblistes

On rappelle maintenant les principales operations ensemblistes sur des sous-ensembles

E;Fd'un ensemble de baseX:

u nion: E[F=fx2X:x2Eoux2Fg; 1 Chapitre 1.©JCB { L3 math { Universite de Rennes 12 i ntersection: E\F=fx2X:x2Eetx2Fg; d ierence( ensembliste): EnF=fx2E:x62Fg; d ierencep ropre: EnFlorsqueFE; d ierencesy metrique: EF= (EnF)[(FnE); com plementaire: Ec=XnE=fx2X:x62Eg.

On rappelle quelques regles :

com mutativite: E[F=F[E,E\F=F\E; ass ociativite: ( E[F)[G=E[(F[G), (E\F)\G=E\(F\G); d istributivite: ( E[F)\G= (E\G)[(F\G), (E\F)[G= (E[G)\(F[G); i nvolution: ( Ec)c=E; l oisd eMor gan: ( E\F)c=Ec[Fc, (E[F)c=Ec\Fc; |EnF=E\Fc.

On dit queEetFsontdisjointssiE\F=;.

On rappelle que pour montrer une egalite ensemblisteE=F, le plus simple est de montrer la double inclusionEFetFE. Noter enn qu'en mathematiques le"ou»est un ouinclusifalors que dans le langage usuel il s'agit d'un ou exclusif (the ou cafe? C'est l'un ou l'autre mais pas les deux alors que le"ou»mathematique autorise a prendre les deux). Les operations sur les ensembles peuvent faire intervenir plus de deux ensembles. Ainsi si (Ei)i2Iest une famille quelconque d'ensemble indexee parIalorsS i2IEiest l'ensemble desx2Xqui sont dans au moins un desEipouri2I. De m^emeT i2IEiest l'ensemble desx2Xqui sont dans tous lesEipouri2I.

Denombrabilite

Dans la suite de ce cours, la denombrabilite est une notion fondamentale. De nombreuses proprietes feront intervenir des familles denombrables. Denition 1.1 (Denombrabilite)On rappelle qu'un ensembleEest denombrable s'il peut ^etre mis en bijection avec (une partie de)N, ie. il existe une injectionfdeEdansN. Concretement, un ensembleEest denombrable si on peut enumerer tous ses elements. L'ensembleN, bien s^ur, est denombrable maisZ,Qle sont aussi. Une reunion denombrable d'ensembles denombrables reste denombarable. Par contre [0;1] ouRne le sont pas, niNN ou de facon plus exotique le Cantor non plus, cf. Remarque??. D'ordinaire, le terme denombrable est utilise pour les parties innies denombrables, mais bien s^ur, les ensembles nis sont aussi denombrables. En general, les familles denombrables ou les proprietes qui s'expriment en termes de denombrabilite sont notees avec le prexe pour temoigner de leur caractere denombrable (exemples :-algebre,-additivite). Chapitre 1.©JCB { L3 math { Universite de Rennes 13

Limites d'ensembles

Denition 1.2 (Suite monotone d'ensembles)|U nesuite (Ei)i1est dite croissante si pour touti1, on aEiEi+1. On note alorslimiEi=S i1Ei. U nesuite (Ei)i1est dite decroissante si pour touti1, on aEiEi+1. On note alorslimiEi=T i1Ei. De facon generale, on peut denir les limites inferieure et superieure d'une suite d'ensembles (Ei)i1deX.

Denition 1.3 (Limites inferieure et superieure)

Etant donnee une suite d'evenements(Ei)i1,

on denit la limite superieure :limsup i!+1Ei=\ i1[ j>iE j et la limite inferieure :liminfi!+1Ei=[ i1\ j>iE j:

Noter que

liminfi!+1Eilimsup i!+1Ei:(1.1)

En eet

T k>nEkEqpour toutq > n. On a doncT k>nEkS q>pEqpour toutpet toutn.

On a alors pour toutn:

k>nE k\ p1[ q>pE q= limsup n!+1En:

Finalement

n1\ k>nE klimsup n!+1En; c'est a dire l'inclusion ( 1.1 De plus, les regles elementaires sur lesS,Tetc(lois de Morgan) donnent sans diculte : limsup n!+1En c = liminfn!+1Ecn: Denition 1.4 (Suite convergente d'ensembles)Une suite(Ei)i1est dite convergente si liminf i!+1Ei= limsupi!+1Ei. Lorsque (Ei)i1est croissante alors liminfi!+1Ei= limsupi!+1Ei=S i1Eiet lorsque (Ei)i1est decroissante alors liminfi!+1Ei= limsupi!+1Ei=T i1Ei. Dans les deux cas, il s'agit evidemment de suites convergentes. L'inter^et des limites inferieure et superieure provient notamment de l'interpretation sui- vante qui permet de"traduire»en langage ensembliste une assertion logique : Chapitre 1.©JCB { L3 math { Universite de Rennes 14 Proposition 1.5SoitEi,i1, une collection innie d'ensembles. Alors |"A partir d'un certain rang,xest dans tous lesEi»s'ecrit x2[ i1\ j>iE j= liminfn!+1En: |"xest dans une innite deEi»s'ecrit x2\ i1[ j>iE j= limsup n!+1En:

Demonstration :

Pour le premier point : Soitxqui, a partir d'un certain rang, est dans tous lesEi. On traduit cela de la facon suivante : il existe un rangptel que pour tout rangq > p,xest dansEq. D'apres la signication des symboles8;9;\;[, cela revient a ecrire x2[ p1|{z} il existep1\ q>p |{z} pour toutq>pE q|{z} xestdansEq: Pour le second point, dire quexest dans une innite deEiest equivalent a dire que "pour toutp, il existeq > pavecxdansEq.» En eet, si tel est le cas,xest bien dans une innite deEicar, d'apres cette propriete, a vecp= 0, il existep1> ptel quexest dansEp1, a vecp=p1, il existep2> p1tel quexest dansEp2, a vecp=p2, il existep3> p2tel quexest dansEp3, a vecp=pn, il existepn+1> pntel quexest dansEpn+1, et nalement,xest dans chaqueEpn,n1, c'est a dire dans une innite deEi. Recipro- quement, s'il est dans une innite deEi, alors pour toutp, on trouveq > ptel quex2Eq, sinon, ce serait qu'il existeptel que pourq > p,xn'est pas dansEq. Ou encore :xne peut appartenir qu'auxEid'indiceip, c'est a dire seulement a un nombre ni d'entre eux, ce qui est faux. Donc, pour ce deuxieme point, pour toutp, on trouveq > p, tel quex2Eq, en langage

8;9, cela s'ecrit

x2\ p1|{z} pour tout p1[ q>p |{z} il existeq>pE q|{z} xestdansEq: Chapitre 1.©JCB { L3 math { Universite de Rennes 15

1.2 Algebres et-algebres

On considere dans la suiteXun ensemble xe (des exemples typiques auxquels penser sontX=NetX=R). Denition 1.6 (Algebre)Une familleAde sous-ensembles deXest une algebre si

1.X2 A;

2.Aest stable par complementaire : siA2 AalorsAc2 A;

3.Aest stable par reunion (nie) : siA;B2 AalorsA[B2 A.

Remarque 1.7

N ecessairement,l 'ensemblev ide; 2 Apuisque;=Xc.

On p eutr emplacerX2 AparAnon vide car alors siE2 A, on a aussiEc2 Aet

X=E[Ec2 A.

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