Chapitre3 : Propriétés de lintégrale sur un segment dune fonction
La démonstration est immédiate en utilisant la linéarité et la positivité. II Majorations minorations d'intégrales. Théorème : Soit f continue par morceaux sur
2.2 Quelques propriétés des intégrales définies
et est notée ? f(x)dx (noter l'absence de bornes). Remarque 2.15. (conséquence de la linéarité de la dérivation). 1. Pour deux fonctions f g: [a
Chapitre 7 : Intégrales généralisées
La linéarité de l'intégrale et de la limite permettent de généraliser les propriétés élémen- taires des intégrales aux intégrales impropres.
Primitives et intégrales
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l'intégrale inégalité de la moyenne. Applications.
INTÉGRATION
Propriété : f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. Méthode : Calculer une intégrale en appliquant la linéarité.
La continuité en un point
Linéarité de l'intégrale indéfinie. Deux propriétés de l'intégrale. Anik Soulière. Professeure de mathématique. Département de mathématiques.
Intégrale de Riemann
Sep 1 2022 Propriétés des intégrales de fonctions en escalier. • (linéarité) L'application f ??. ? b a f(x)dx est une application linéaire de E([a
Théorie de lintégration de Lebesgue
L'intégrale des fonctions mesurables positives quelconques : f g: Rd ?? R+ ? {?} satisfait les six propriétés suivantes. (i) Linéarité positive : Pour tous
Calcul intégral
a- Linéarité. Propriété : Soient f et g deux fonctions continues pas morceaux sur [ab] et ? ?? alors :.
Intégrale de Lebesgue
Sep 1 2022 4.2 Propriétés de l'intégrale . ... puis par linéarité de généraliser aux fonctions étagées et par convergence monotone aux.
[PDF] 22 Quelques propriétés des intégrales définies
24 fév 2010 · (Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a b] R est intégrable sur [a b] Considérons alors une subdivision régulière a
[PDF] Chapitre 1 : Intégrales définies
Intégrale fonction de sa borne supérieure Soit f : [a ; b] ?R continue On définit la fonction G sur [a ; b] par G(x) = f t dt a x ( ) z Propriété : G
[PDF] Propriétés de lintégrale sur un segment dune fonction continue par
Ce qui ramène l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment à une somme d'in- tégrales de fonctions continues sur des segments IV Positivité
[PDF] INTÉGRATION - maths et tiques
Propriété : f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I Méthode : Calculer une intégrale en appliquant la linéarité
[PDF] Terminale S - Notion dintégrale Propriétés - Parfenoff org
Cette intégrale représente l'aire du trapèze ABCD ci-dessous : II) Propriétés des intégrales et en utilisant la linéarité de l'intégrale on a
[PDF] Chapitre 5 Intégration
Voici les principales propriétés de l'intégrale Proposition 5 1 3 Soient ? et ? deux fonctions en escaliers sur un intervalle I et soient a b ? I
[PDF] Chapitre 7 : Intégrales généralisées
La linéarité de l'intégrale et de la limite permettent de généraliser les propriétés élémen- taires des intégrales aux intégrales impropres
[PDF] CALCUL INTEGRAL ET SERIES
2 3 Propriétés de l'intégrale ram`ene donc par linéarité au calcul d'une primitive sur R d'une fonction f : R ? R définie par
[PDF] Deux propriétés de lintégrale - Linéarité de lin - Mathéma-TIC
Linéarité de l'intégrale indéfinie Deux propriétés de l'intégrale Anik Soulière Professeure de mathématique Département de mathématiques
[PDF] Intégrale de Riemann
Intégrale de Riemann Intégrabilité Exemples Propriétés Formule de la moyenne 3 Primitives Théorème fondamental de l'analyse Lien intégrale/primitive
1 Introduction
Nous avons pour le moment consid´er´e l"int´egration de fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a,b] compact. Or il existe des applications faisant intervenirdes int´egrales sur des segments non compacts ou bien sur des fonctions non continues par morceaux sur [a,b], comme par exemple 0 e-xdx? 1 0 lnxdx? -∞sinx x... On parlera d"int´egrale g´en´eralis´eeou bien d"int´egrale impropre. D´efinition 7.1.Soita < bdes bornes dansR? {+∞}(resp.R? {-∞}) et soitfune fonction continue par morceaux sur[a,b[(resp.]a,b]). On dit quefest int´egrable sur[a,b[ (resp.]a,b]) si la limite limξ→b?
a f(x)dx? resp.limξ→a? b f(x)dx? existe et est finie. On dit aussi que l"int´egrale g´en´eralis´ee ?b af(x)dxest convergente et on note cette limite?b a f(x)dx . Si l"int´egrale n"est pas convergente, on dira qu"elle est divergente. Ce statut est appel´e nature de l"int´egrale.Par d´efinition, on a la proposition suivante.
Proposition 7.2.Soita < bdes bornes dans
R=R? {±∞}et soitfune fonction
continue sur[a,b[qui admetFcomme primitive. Alors?b af(x)dxest convergente si et seulement siFadmet une limite enbet alors?b a f(x)dx= limξ→bF(ξ)-F(a) := [F(x)]ba o`u le dernier terme est une notation par convention.Le cas]a,b]est sym´etrique.
57Int´egrales g´en´eralis´ees
On notera que ces d´efinitions sont coh´erentes : sifest continue par morceaux sur [a,b] compact, alors elle est int´egrable sur [a,b] mais aussi sur [a,b[ et ]a,b]. On peut ´etendre ce principe `a une situation qui a plusieursprobl`emes.D´efinition 7.3.Soita < bdes bornes dans
R=R? {±∞}et soit
a=x1< x2< x3< ... < xp=b . Soitfune fonction continue par morceaux sur chacun des intervalles]xi,xi+1[. On dit quefest int´egrable sur]a,b[sifest int´egrable au sens g´en´eralis´e sur chaque intervalle]xi,mi]
et[mi,xi+1[avecmi?]xi,xi+1[. On notera alors?b af(x)dxla somme de chaque int´egrale g´en´eralis´ee obtenue, conform´ement `a la relation de Chasles. !Comme pour l"´etude des s´eries, il ne faut pas confondre l"objet int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxqui pourra avoir le statut de la convergence ou de la divergence et le nombre?b af(x)dxqui n"existe que si l"int´egrale converge. Le probl`eme est qu"il n"y a pas de notation diff´erente cette fois-ci et c"est donc le contexte qui d´ecidera. Quand on demande la nature d"une int´egrale comme I=? 0e -x x-1lnxdx il faut commencer par rep´erer chacun des probl`emes : soit une borne infinie soit un endroit o`u la fonction n"est pas continue par morceaux (typiquement explosion vers±∞). PourI, il y a trois soucis : 0 (explosion du log), 1 (division par 0) et+∞(borne infinie). Puis on ´etudie la convergence `a chacun des points qui pose probl`eme. Si on trouve le moindre cas dedivergence `a un de ces points, on s"arrˆete car alors l"int´egrale est divergente. Si l"int´egrale
converge en tous ces points, alors on conclut que l"int´egrale est convergente.Exemple :On voudrait consid´erer?∞
0e-xdx. Le seul probl`eme est la borne infinie car
x?→e-xest continue sur [0,+∞[. On calcule donc 0 e-xdx= [-e-x]ξ0= 1-e-ξdont la limiteξ→+∞converge et est finie. Donc l"int´egrale g´en´eralis´ee?∞
0e-xdxconverge
et 0 e-xdx= 1. Cette exemple montre que l"aire sous la courbe de la fonctione-xsur tout [0,+∞[ est finie, mˆeme si la surface n"est pas born´ee. 58Int´egrales g´en´eralis´ees
Exemple :On voudrait consid´erer?1
01xdx. Commex?→1/xest continue sur ]0,1], le seul
souci est enx= 0. On a?1 ξ1 xdx= [lnx]1ξ=-lnξ .
Quandξ→0, la limite explose vers +∞. L"int´egrale?1 01 xdxest donc divergente. On peut parfois faire l"abus de notation?1 01 xdx= +∞dans ce cas et parler d"aire infinie.Exemple :On voudrait consid´erer?∞
0cosxdx. Le seul probl`eme est la borne infinie. On
a?ξ 0 cosxdx= [sinx]ξ0= sinξ qui n"a pas de limite quandξ→+∞. Donc non seulement?∞0cosxdxest divergente, mais
on ne peut mˆeme pas parler d"aire infinie ou autre. Dans ce cas,?∞0cosxdxn"a aucun sens
possible.2 Exemples et propri´et´es fondamentales
Pour les int´egrales impropres, on va proc´eder comme pour les s´eries : on disposera d"une liste de cas types pour lesquels la nature de l"int´egrale est connue et on traitera les autres cas par des th´eor`emes de comparaisons ou des techniques plus fines.2.1 Exponentielles
Une fonction du typex?-→eλxest continue surR. Le seul cas qui pourrait donner une int´egrale impropre est quand une des bornes est infinie. Proposition 7.4.Soitλ >0etaetbdansR. L"int´egrale impropre?∞ aeλxdxest diver- gente. L"int´egrale impropre?b -∞eλxdxest convergente. D´emonstration :Il suffit de voir qu"une primitive deeλxesteλx/λ. Donc b a eλxdx=1λ?eλb-eλa?.
Sib→+∞, alorseλbtend vers +∞et l"int´egrale diverge vers +∞. Sia→ -∞, alorseλa
tend vers 0 et l"int´egrale converge vers 1λeλb.?
Bien entendu, on fera attention au signe deλ. Par la sym´etriex?→ -x, on obtient que 59Int´egrales g´en´eralis´ees
Proposition 7.5.Soitλ >0etaetbdansR. L"int´egrale impropre?∞ ae-λxdxest conver- gente. L"int´egrale impropre?b -∞e-λxdxest divergente.Pour r´esum´e, si on int`egre une exponentielle, le seul soucis est en±∞. Soit c"est le
cˆot´e o`u l"exponentielle diverge et alors l"int´egrale diverge ´evidemment, soit c"est le cˆot´e o`u
l"exponentielle tend vers 0 et tout va bien. Notons aussi qu"une int´egrale du type?Rexdx=?∞
-∞exdxest forc´ement divergente puisque fait intervenir les deuxextr´emit´es.2.2 Puissances
On veut int´egrer une fonction du typeP(x)/Q(x) o`uPetQsont deux polynˆomes. On peut rencontrer deux types de probl`emes : une borne de l"int´egrale est infinie ou bien la fonction n"est pas d´efinie en un pointx0carQ(x0) = 0. Pour comprendre ce cas, on ne retiendra que les comportements types donn´es par les cas suivants. Proposition 7.6.Soitα >0et soita >0. L"int´egrale impropre a1 xαdx est convergente si et seulement siα >1. D´emonstration :Il suffit de voir que, siα?= 1, b a1 xαdx=11-α?1bα-1-1aα-1?
Pourα <1, 1/bα-1=b1-αavec 1-α >0 et donc l"int´egrale explose quandb→+∞. A l"inverse, siα >1, 1/bα-1tend vers 0 et l"int´egrale converge.Siα= 1, on a?b
a1 xαdx= lnb-lna qui tend vers +∞quandbtend vers +∞.? On s"aper¸coit que la bornea >0 n"a pas d"importance. On pourra juste parler d"int´e- grabilit´e ou non pr`es de+∞. Proposition 7.7.Soitα >0et soitb >0. L"int´egrale impropre b 01 xαdx est convergente si et seulement siα <1. 60Int´egrales g´en´eralis´ees
D´emonstration :C"est la mˆeme que la proposition pr´ec´edente sauf qu"on regarde cette fois la limite quandatend vers 0. Dans ce cas,a1-αconvergera si et seulement siα <1.Le log divergera toujours.?
En r´esum´e : 1/xest toujours le cas critique et n"est jamais int´egrable. Pour les autres, il faut se demander ce qui est mieux ou pire que 1/x. Par exemple 1/x2converge plus vitevers 0 que 1/xen +∞donc est int´egrable pr`es de +∞. A l"inverse, il tend plus vite vers
+∞quandxtend vers 0+donc il n"est pas int´egrable pr`es de 0. !Seule l"int´egrabilit´e proche de +∞se comporte comme les s´eries de Rie- mann par le th´eor`eme de comparaison s´erie/int´egrale. Bien se rappeler que le probl`eme de l"int´egrabilit´e pr`es de 0 est quasiementl"inverse.Par translation ou sym´etrie, on obtient les autres cas d"int´egrabilit´e de fonctions puis-
sances. Par exemple : -1 -∞1 x2dxest convergente -5 -∞1 xdxest divergente 2 11 ⎷x-1dxest convergente 2 11 x-2dxest divergente 3 01 (x-3)2dxest divergente2.3 Le log
Dans le cas du log, comme il tend vers +∞en +∞, on s"attend `a avoir une aire infiniesous la courbe. Du cˆot´e de 0, il faut voir qu"il tend vers +∞moins vite que tout puissance
dexet est donc logiquement int´egrable (nous allons voir ce genre de th´eor`eme bientˆot).Proposition 7.8.Soitaetbstrictement positifs.
L"int´egrale
a lnxdxest divergente.L"int´egrale
b 0 lnxdxest convergente. D´emonstration :Il suffit de voir qu"une primite du log estxlnx-x. Quandbtend vers +∞,blnb-b=b(lnb-1) tend vers +∞. Quandatend vers 0, le termealnatend aussi 61Int´egrales g´en´eralis´ees
vers 0 (un polynˆome l"emporte sur le log) et donc la primite abien une limite quanda tend vers 0.?2.4 Propri´et´es ´el´ementaires
La lin´earit´e de l"int´egrale et de la limite permettent deg´en´eraliser les propri´et´es ´el´emen-
taires des int´egrales aux int´egrales impropres. Voici des exemples d"´enonc´es (qu"on pourra
transposer de fa¸con ´evidente aux autres cas). Proposition 7.9.Soita?Ret soitb?]a,+∞]. Soitfetgdeux fonctions continues par morceaux sur[a,b[telles que les int´egrales impropres?b af(x)dxet?b ag(x)dxsoient conver- gentes et soientλetμdeux complexes. Alors?b aλf(x) +μg(x)dxest aussi convergente et?b aλf(x) +μg(x)dx=λ?
b a f(x)dx+μ? b a g(x)dx .D´emonstration :Il suffit de voir que
limξ→b?
aλf(x) +μg(x)dx=λlimξ→b?
a f(x)dx+μlimξ→b? a g(x)dx . De fa¸con classique on obtient le corollaire suivant. Corollaire 7.10.Soita?Ret soitb?]a,+∞]. Soitfetgdeux fonctions continues par morceaux sur[a,b[telles que l"int´egrale impropre?b af(x)dxest convergente et l"int´egrale?b ag(x)dxest divergente. Alors?b af(x) +g(x)dxest divergente. D´emonstration :Si l"int´egrale def+g´etait convergente, alors celle deg=f-(f+g) le serait aussi d"apr`es le r´esultat pr´ec´edent.? La d´efinition de la convergence des int´egrales impropres ayant plusieurs singularit´es donne directement que la relation de Chasles se g´en´eralise.Proposition 7.11.Soienta < b < ctrois bornes de
Ret soitfune fonction telle que
les int´egrales g´en´eralis´ees?b af(x)dxet?c bf(x)dxconverge. Alors l"int´egrale?c af(x)dx converge aussi et?c a f(x)dx=? b a f(x)dx+? c b f(x)dx . 62Int´egrales g´en´eralis´ees
Idem pour la monotonie de l"int´egrale.
Proposition 7.12.Soita?Ret soitb?]a,+∞]. Soitfetgdeux fonctions continues par morceaux sur[a,b[telles que les int´egrales impropres?b af(x)dxet?b ag(x)dxsoient convergentes. Sif≥gsur[a,b[alors?b af(x)dx≥?b ag(x)dx. D´emonstration :On ´ecrit d"abord la monotonie des int´egrales entreaetξ < bpuis on faitξ→b.? Notons aussi que par d´efinition de la limite dans les complexes et par d´efinition de l"int´egrale d"une fonction `a valeurs complexes, on a la proposition suivante. Proposition 7.13.Soitfune fonction continue par morceaux sur]a,b[`a valeurs com- plexes. Alorsfest int´egrable sur]a,b[si et seulement si ses parties r´eelles et imaginaires le sont. On a alors b a f(x)dx=? b aRef(x)dx+i?
b aImf(x)dx .
3 Fonctions localement de signe constant
Dans cette partie, nous allons voir des th´eor`emes nous permettant de nous ramener aux exemples fondamentaux par des comparaisons. Exactement comme pour les s´eries, cesth´eor`emes ne pourront ˆetre appliqu´es que pour les fonctions positives (ou n´egatives) pr`es de
la zone posant probl`eme. Nous allons ´ecrire les r´esultatspour le cas de fonctions localement
positives et pour une borne posant probl`eme `a droite. Par sym´etries, les r´esultats seront encore valables dans le cas de fonctions localement n´egatives ou bien si on consid`ere la borne de gauche. !Redisons-le : comme pour les s´eries, il faudra toujours penser `a justifier que le signe est constant avant d"appliquer les r´esultats suivants. Proposition 7.14.Soita?Retb?]a,+∞]. Soitfune fonction continue par morceauxquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] changement d'heure maroc 2017
[PDF] changement heure maroc octobre 2017
[PDF] changement horaire maroc 2017
[PDF] heure d'été maroc 2017
[PDF] l'heure au maroc aujourd'hui
[PDF] changement heure maroc 2017
[PDF] résumé le salaire du sniper
[PDF] passages d'enfer
[PDF] questionnaire de lecture le salaire du sniper
[PDF] le salaire du sniper séquence
[PDF] le salaire du sniper audio
[PDF] nf e85-015
[PDF] hauteur moyenne d'un étage
[PDF] chute de hauteur définition