[PDF] SOLUTIONNAIRE : DUAL EXERCICES 1 Formulation du dual

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SOLUTIONNAIRE : DUAL

EXERCICES

1 Formulation du dual

(1) PROBLÈME-PPL : Maximiserz=x1+ 7x2sujet aux contraintes x -2x x oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : Le nombre de variables est déterminé par le nombre de contrainte du primal : il y a donc 3 variables dans le modèledual.Le nombre de contraintes dans le dual est égal au nombre de variables dans le primal : il y a deux contraintes. DUAL : Minimiser w= 8y

1+ 6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1-2y2+y3≥1

y

1+ 3y2-y3≥7

avecy i≥0pouri= 1,2,3. -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (2) PROBLÈME-PPL : Maximiserx

1-3x2=zsujet aux contraintes

x -2x

1+ 3x2≥6

x oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : Le modèle n'est pas sous forme canonique : il est plus simple de considérer la forme canonique pour construire le dual. FORME CANONIQUE DU PPL : Maximiserx1-3x2=zsujet aux contraintes x 2x x oùx

1≥0etx2≥0.

-Il y a 3 contraintes dans le PPL donc il y a 3 variables dans ledual -Il y a 2 variables de décision dans le PPL donc il y a deux contraintes dans le dual.

DUAL : Minimiser

w= 8y

1-6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1+ 2y2+y3≥1

y

1-3y2-y3≥ -3

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (3) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x -2x x avecx i≥0 Le problème est déjà sous forme canonique. -Il y a 3 contraintes dans le PPL donc 3 variables dans le modèledual -Il y a deux variables de décision dans le PPL donc deux contraintes dans le dual.

DUAL : Minimiser

w= 8y

1+ 6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1-2y2+y3≥6

y

1+ 3y2-y3≥5

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (4) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 5x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x -2x

1+ 3x2≥6

x oùx

1≥0etx2≥0.

Le modèleprimalsous sa forme canonique est donné par :

Maximiserz= 5x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x 2x x oùx

1≥0etx2≥0.

-Il y a 3 variables dans le modèledual(nombre de contraintes dans le PPL) -Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL).

DUAL : Minimiser

w= 8y

1-6y2+ 2y3

sujet aux contraintes y

1+ 2y2+y3≥5

y

1-3y2-y3≥5

avecy

1≥0,y2≥0ety3≥0.

-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x

1a comme

coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour

la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y

1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)

et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (5) PROBLÈME - PPL : Maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux contraintes

x

1+x2≥8

-2x

1+ 3x2≥6

x

1-x2≥2

oùx

1≥0etx2≥0.

DUAL : La forme canonique du modèleprimalest de maximiserz= 6x

1+ 5x2sujet aux

contraintes -x 2x -x oùx1≥0etx2≥0. -Il y a trois variables dans le modèledual -Il y a deux contraintes dans le modèle dual.

DUAL : Minimiser

w=-8y

1-6y2-2y3

sujet aux contraintes -y

1+ 2y2-y3≥6

-y

1-3y2+y3≥5

avecy i≥0, pouri= 1,2,3... -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x

1) dans

chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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