TD 5 Programmation linéaire et optimisation Dualité Exercice 1
2x1 + x2 ? 25 x1 x2 ? 0. Corrigé: Exercice 2. Dans le cas d'un problème de programmation linéaire (minimisation) possédant une solution optimale.
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Dualité
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174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
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Option 3A
Optimisation 1
1 PlanDualité lagrangienne (rappels)
Programmation linéaire et dualité
DĠfinition du dual d'un programme linĠaire
Théorème de dualité forte
Algorithmes primal et dual du simplexe
Annexes
Interprétation des variables duales
Théorème des écarts complémentaires
2 3Dualité lagrangienne
Dualité lagrangienne
avec ܴܺProblème Primal
Fonction de Lagrange
Fonction duale
Problème Dual
4Dualité lagrangienne
Théorème de dualité
Soit ݔܺכ
et כǡכ tels que:Corollaire
5 6Programmation Linéaire et dualité
796coût
unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g
Il lui faut au moins
25 unités de vitamine A
60 unités de vitamine B
15 unités de vitamine C
Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires 896coût
unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g
Il lui faut au moins
25 unités de vitamine A
60 unités de vitamine B
15 unités de vitamine C
Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires tt t t t 00 15105602030
25520s.c. 96min
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xx xx xx xx xx
Quelques solutions
x1 = 3, x2 = 0, z = 18 x1 = 2, x2 = 1, z = 21 Ce sont des solutions sous-optimales donc majorantsde la valeur optimale z* zΎ ч 18Comment obtenir des minorants?
͍ ч zΎ
9Majorants et minorants
3/10 ×la contrainte vit.A7,5 ч 6 dž1+ 3/2 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 7,5 ч zΎ
3/20 ×vit.A+ 1/10 ×vit.B75ͬ20 н 6 ч 6 dž1+ (15/20 + 2) x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 3,75 н 6 с 9,75 ч zΎ
2/10 ×la contrainte vit.B12 ч 6 dž1+ 4 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z
Donc 12 ч zΎ
On sait dèjàque 12 ч zΎ ч 18
Peut-on faire mieux ?
10Généralisons cette approche
Introduisons les variables
yAш0 , yBш0 , yCш025 ч 20 dž1+ 5 x2×yA60 ч 30 dž1+ 20 x2×yB15 ч 5 dž1+ 10 x2×yC
25 yA+ 60 yB+ 15 yCч dž1(20 yA+ 30 yB+ 5 yC) + x2(5 yA+ 20 yB+ 10 yC)
On impose
20 yA+ 30 yB+ 5 yCч 6(1)
5 yA+ 20 yB+ 10 yCч 9(2)
On a alors
25 yA+ 60 yB+ 15 yCч 6 dž1+ 9 x2= z
maximiser 25 yA+ 60 yB+ 15 yCsous contraintes (1) , (2) et avec yAш0 , yBш0 , yCш0 11Résumons
Problème primal (P)
s.c. ൝σୀଵܽݔܾProblème dual (D)
s.c. ൝σୀଵܽݕܿ tt t t t 00 15105602030
25520s.c. 96min
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