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COURS D"ECHANTILLONNAGE ET

ESTIMATIONS

Chapitre : EstimationLicence fondamentale en Sciences Economiques et Gestion

Année universitaire 2016-2017

F.P.Tétouan

COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 1 Plan

Estimation

1 :L"estimation ponctuelle2 :L"estimation par intervalleF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 2

Estimation :Généralités sur l"estimation

Principe de l"estimation.

L"objectif de l"estimation est de donner une valeur approché à un paramètre (moyenne, variance, fréquence,...) d"une population à partir d"un échantillon, et ce avec une précision la plus élevée possible.Définition de l"estimation. L"estimation est l"évaluation d"un paramètre inconnude la population par une ou plusieurs valeurs possibles.Remarque : L"éstimation du paramétreest une varaible aléatoire^dont la distri- bution de probabilité s"appelle la distribution d"échantillonnage du pa- ramétreL"estimation ^admet donc une esperance mathématiqueE(^)et une va-

rianceV(^).F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 3

Estimation :Généralités sur l"estimation

Types d"estimation

Quand on estimepar une valeur unique, on parled"estimation ponc- tuelle.Quand on estimepar tout un intervalle de valeurs, on parled"estimation par intervalle de confiance.Définition de l"estimateur Un estimateur d"un paramètred"une population est une fonction des valeurs X

1;X2;:::;Xnobservées susceptibles de servie à estimer.On écrit :

T n=f(X1;X2;:::;Xn)On appelle estimation par intervalle de confiance au risquetout intervalle ^1;^2]tel que la probabilité que cette intervalle contienne la valeur du para- mètresoit égale à 1. C-à-d :

P(2]^1;^2[) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 4

Estimation : Généralités sur l"estimation

Qualité d"un estimateur

Estimateur sans biais :

Soit Tnun estimateur de. On dit queTnest un estima- teur sans biais de, si on a :

E(Tn) =Exemple :

Xest un estimateur sans biais de m; en effetE(X) =m.fest un estimateur sans biais de p; en effetE(f) =p.La varaince empirique calculée sur un échantillon de taille n donnée par :

S 2=P n i=1(xix)2n est un estimateur avec biais de la variance de la popula- tion2=P N s=1(xsm)2N , puisqueE(S2) = (n1n )2. où(n1n

)le Biais.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 5

Estimation : Généralités sur l"estimation

Qualité d"un estimateur

Estimateur efficace :Tnest un estimateur efficace desi c"est un estimateur sans biais deet qui a une variance minimale parmi tous les estimateurs sans biais de. En effet : Soient1et2deux estimateurs sans biais et convergents d"un meme paramétre, le plus efficace est celui qui a la variance la plus faible car ses valeures sont en moyennes plus proches de la quantité estimée :

V() =E[E()]2minimale

Ainsi, si nous constatons par exemple que :V(1)V(2), nous dirons alors que l"estimateur1est meilleur ou plus efficace que l"estimateur2car sa va- riance est plus fible. Cela traduit le fait que à prioi on a plus de chance d"ob- tenir, sur un échantillon aléatoire, une estimation proche deen considérant

l"estimateur1.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 6

Estimation : Généralités sur l"estimation

Exemple :

Pour l"estimateur sans biais deXdu paramétre m, on constate que :V(X) =2n dans le cas d"un tirage avec remise (T.A.R);V(X) =2n

NnN1dans le cas d"un tirage sans remise (T.S.R);

Nous dirons alors que l"estimateurXdans le cas d"un tirage sans remise est meilleur ou plus efficace que l"estimateurXdans le cas d"un tirage avec remise car sa variance est plus faible. En effit : (V(X)T:S:R)(V(X)T:A:R))(2n

NnN1)T:S:R(2n

)T:A:RF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 7

Estimation :Généralités sur l"estimation

Qualité d"un estimateur

Estimateur de faible disperstion :

Estimateur convergent :

F.P.Tétouan

COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 8

Estimation :Généralités sur l"estimation

Objectifs

Dans ce qui suit, nous allons étudier trois cas particuliers. Il s"agit de l"estima-

tion de :d"une proportionp,d"une moyennem=,d"une variance2.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 9

Estimation de la moyenne d"une population

Estimation ponctuelle

Etant donné une population de moyenne m, l"estimateur sans biais de m est donné par :X=1n n X i=1X iLa variance de cet estimateur est :

V(X) =2n

où2est la variance de la populationF.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 10

Estimation de la moyenne d"une population

Remarque : On suppose que le tirage est non exhaustive dans tous les cas.Estimationparintervalledeconfiance:Casd"unepopulationnor-

maleEtant donné une population normale de moyennemet de variance2, c"est- à-dire la variable aléatoire concernéeXde la population suit la loi normale

N(m;).F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 11

Estimation de la moyenne d"une population

maleL"estimateur par intervalle de confiance de m consiste à déterminer les bornesx1etx2de l"intervalleI, pour lesquellesIa un niveau de confiance,

appelé probabilité 1, de contenirm.est appelé risque d"erreur.Les bornesx1etx2sont telles que :

P(x1mx2) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 12

Estimation de la moyenne d"une population

maleCas d"écart type connu :

P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1

P(Xx2pn

Xmpn Xx1pn ) =P(Xx2pn

TXx1pn

) =1 ou :

T=Xmpn

Donc :

T=Xmpn

,!N(0;1)F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 13

Estimation de la moyenne d"une population

maleSoitZ12 la valeur de la variable normaleN(0;1), appelé quartile, lue dans la table, c"est-à-dire : P(Z12 TZ12 ) =1On a:8 :P(Xx2pn

TXx1pn

) =1; P(Z12 TZ12 ) =1;F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 14

Estimation de la moyenne d"une population

maleAlors:8 >:Xx2pn =Z12 ;Xx1pn =Z12

Donc :x1=XZ12

:pn etx2=X+Z12 :pn

D"ou :

I c(m) = [XZ12 :pn ;X+Z12 :pn ]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 15

Estimation de la moyenne d"une population

maleCas d"écart type inconnu :

Taille d"échantillon den<30 :Dans le cas où la variance est inconnue, on utilise la quasi-variance

comme estimation de la variance.L"intervalle de confiance de la moyenneIc(m)est définie comme suit :

P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 16

Estimation de la moyenne d"une population

maleP(Xx2^ Spn Xm^ Spn Xx1^ Spn ) =1 ou : S=rn n1V(X)

CommeX,!N(m;)etest inconnue alors :

T=Xm^ Spn ,!Tn1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 17

Estimation de la moyenne d"une population

maleSoitt12 la valeur de la variable Student à n-1 degré de liberté lue à partir de la table de , c"est-à-dire : P(t12 Tt12 ) =1On a:8 :P(t12 Tt12 ) =1;

P(Xx2^

Spn TXx1^ Spn ) =1;F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 18

Estimation de la moyenne d"une population

Estimation par intervalle de confiance

Alors:8

>:Xx2^ Spn =t12 ;Xx1^ Spn =t12

Donc :x1=Xt12

Spn etx1=X+t12 Spn

D"ou :

I c(m) =Ic= [Xt12 Spn ;X+t12 Spn ]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 19

Estimation de la moyenne d"une population

Estimation par intervalle de confiance

Cas d"une population de loi quelconque etn30 :L"intervalle de confiance de la moyenneIc(m)est définie comme suit :

P(x1mx2) =P(Xx2XmXx1) =1

P(Xx2pn

Xmpn Xx1pn ) =P(Xx2pn

TXx1pn

) =1 ou :

T=Xmpn

,!N(0;1)

Donc :

I c(m) = [XZ12 :pn ;X+Z12 :pn

Remarque :Siest inconnue alors on remplacepar^S.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 20

Estimation

Exemple 1 : Estimation d"une moyenne, dans le cas où la variance

2est connueUne machine produit en grande série des objets de masse théorique 180g. On

admet que la variable aléatoire qui associe à un objet sa masse a pour ecart- type 0,92g. On préléve un échantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, on obtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de risque de 1%, de la masse d"un objet.

F.P.Tétouan

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Estimation

Exemple 1 : Estimation d"une moyenne, dans le cas où la variance

2est connueSoitXi, la v.a qui renvoit la masse de l"objet i de l"échantillon. On cherche

un intervalle de confiance de=E(Xi)On sait qu"avec proba 1,X nupn X n+upn =0;01 donne unu=2;58 .(table de la loi normale centrée réduite)D"ou,

179;932;580;92p100

179;93+2;580;92p100

i.e :

A vecpr oba0,99 on a , 2[179;69;180;17].F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 22

Estimation

Exemple 2 :Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance

2est inconnue.Le chiffre d"affaire mensuel d"une entreprise suit une loi normale de moyenne

et d"écart-typeinconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d"affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000 euros.

Donner une estimation depar intervalle de confiance au niveau 0,98.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 23

Estimation

Exemple 2 :Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance

2est inconnue.SoitXile chiffre d"affaire de l"entreprise le mois i.On sait queT=p11

S 12(X

12)suit une loi de Student (11).A l"aide de la table de la loi de Student, on trouve :

t =t0;02'2;718tel que P(jTj 2;718) =0;98Donc,jp11 S 12(X

12)j 2;718 avec proba=0;98

i.e :2[X

122;718S12p11

;X

12+2;718S12p11

]Avec :X12=10000 etS12=2000, on obtient :

2[8360;9;11639;02];avec proba0;98F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 24

Estimation de la variance d"une population

Estimation ponctuelle

Etant donné un population de variance2On a :E(^S2) =2alors^S2=nn1S2=nn1P n i=1(xiX)2est unestimateur sans biais de 2.Cet estimateur est appelé quasi-variance. La variance de cet estimateur est :

V(^S2) =2n14F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 25

Estimation de la variance d"une population

Estimation par intervalle de confiance

Soit une population normale de variance2. L"estimateur par intervalle de confiance de2consiste à déterminer les bornesx1etx2d"un inter-

valle qui aun niveau de confiance, appelé probabilité 1, de contenir2.Les bornesx1etx2sont telles que :

P(x12x2) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 26

Estimation de la variance d"une population

Estimation par intervalle de confiance

Donc :

I c(2) =Ic= [1k 12 n X i=1(xiX)2;1k 2 n X i=1(xiX)2] ouk2 etk12 sont les quantiles d"ordre2 et 12

de la loi2n1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 27

Estimation

Exemple 1 :

Au controle de la qualité d"un institut de beauté, on analyse le PH d"un certain parfum. On sait que ce facteur maintient un aspect normal de moyenne 2,8. Afin de connaitre sa variance, on effectue un prélèvement de 25 unités de ce parfum dont on mesure le PH.

Pour certain échantillon, la valeur dePn

i=1(xim)2(ou m=2,8 ) est de 0,0625. B ^atir un intervalle de confaince qui permettra d"estimer la varaince du PH de

ce parfum avec un degré de certitude de 95%.F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 28

Estimation

Exemple 1 :Solution

La moyenne de la population est connue :

m==2;8 ,P(xim)2

2,!2251=0;95)2

=0;025)12 =0;975,P(P(xim)2

2x2) =2

=0;025!x2=40;64P(P(xim)2

2x1) =12

=0;975!x1=13;12 I

c(2) = [0;062540;64;0;062513;12] = [0;0015;0;004]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 29

Estimation

Exemple 2 :

La consomation d"essance en(L=100km)d"un certian modèle d"automobile est modèle. On obtient une moyenne d"échantillon de 8;7L=100kmet un écart-type corrigé d"échantillon de 0;09L=100km.Estimer la variance de la population par

intervalle avec 90%F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 30

Estimation

Exemple 2 :

La moyenne est inconnue :

(n1)^S2

2,!2241=0;9)2

=0;05)12 =0;95P((n1)^S2

2x2) =2

=0;05!x2=36;42P((n1)^S2

2x1) =12

=0;95!x1=13;58I c(2) = [(n1)^S2x

2;(n1)^S2x

1] I

c(2) = [24(0;09)236;42;24(0;09)213;85] = [0;0053;0;012]F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 31

Estimation

Exemple 3 :

Une entreprise comporte un grand nombre d"employés avec un système de pointage des heures d"arrivée. Chaque employé doit arriver à 8h. On a relevé le retard d"un échantillon de 25 employés. On a obtenu un retard moyen de

6,47 min pour un écart-type moyen 1,12 min.

A partir de c esinformations,

donner un intervalle de confiance au seuil de 0,9 pour l"écart-type du temps de retard.

F.P.Tétouan

COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 32

Estimation

Exemple 3 :

SoitXile temps de retard de l"employé i. On aX25=6;47 etS25=1;12 On cherche une estimée de2=Var(Xi).On sait queZ=25S2 25

22(24)A l"aide de la table de la loi d"un2, on détermine :

m '13;848 etM'36;415 tels que :

P(ZM) =0;05et P(Zm) =0;05:on obtient22[25S2

2536;415;25S2

2513;848]avec proba 0,9 :

ie :2[0;927;1;505]avec proba 0,9F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 33

Estimation de la proportion d"une population

Estimation ponctuelle

Soit une population dont les individus possèdent un caractère A avec une pro- babilité p. On cherche à déterminer cette probabilité inconnue en prélevant un échantillon de taille n dans cette population. On constate que k parmi les n individus possèdent le caractère A. L"estimation ponctuelle sans biais ^pde la proportion p est donnée donc p=kn

F.P.Tétouan

COURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 34

Estimation de la proportion d"une population

Estimation ponctuelle

Etant donné une population de proportion p.

On a :E(fn) =palors^p=fnalors est un estimation sans biais de p.La variance de cet estimateur est :

V(fn) =p(1p)n

et fn=rp(1p)n

F.P.Tétouan

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Estimation de la proportion d"une population

Estimation par intervalle de confiance

L"estimation par intervalle de confiance d"une proportion p consiste à déterminer les bornesx1etx2d"un intervalle I qui a niveau de confiance, appelé probabilité 1, de contenir p.Les bornesx1etx2sont telles que :

P(x1px2) =1F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 36

Estimation de la proportion d"une population

Estimation par intervalle de confiance

Sin30 etnfn5

Alors :

I c(p) = [fnZ12 rf n(1fn)n ;fn+Z12 rf n(1fn)n Z 12 la valeur de la variable normaleN(0;1)appelé quartile, lue dans la table de la loi normale centrée réduite.

P(N(0;1)Z) =F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 37

Estimation

Exemple 1 : Intervalle de confiance de la moyenne et de l"écart typeDans une entreprise produisant un article déterminé on veut estimer sa durée de vie en heures. À cette fin on a observé un échantillon aléatoire et simple de

16 unités dont les résultats sont (en 1000 heures) :

1,10 1,05 1,25 1,08 1,35 1,15 1,30 1,25

1,30 1,35 1,15 1,32 1,05 1,25 1,10 1,15

L"estimation ponctuelle de la moyenne de la population est : m=x=P 16 i=1xi16 =1;2 L"estimation ponctuelle de l"écart type de la population de la population est : ^=sP 16

i=1(xix)2161=0;11F.P.TétouanCOURS D"ECHANTILLONNAGEETESTIMATIONS,Chapitre:Distribution d"échantionnage| 38

Estimation

L"intervalle de confiance de la moyenne a un niveau de confiance de 95%:La distribution de la population parent étant inconnue et la taille de l"échan- tillon inférieure à 30, l"intervalle de confiance de la moyenne est défini par :XT12 ^pn

La valeur deT12

à 15 degrés de liberté est :t0;975=2,131. l"intervalle de confiance est :XT12 ^pn =1;22;1310;11p16 X

1=1;22;1310;11p16

=1;14etX

2=1;2+2;1310;11p16

=1;26 L"intervalle[1;14;1;26]a une probabilité de 95%de contenir la vraie valeur de la moyenne de la population.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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