[PDF] MATH1A – COURS dANALYSE 1 On sait que la fonction

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MATH1A { COURS d'ANALYSE 1

J.-Ph. Rolin. Page web : rolin.perso.math.cnrs.fr

Universite de Bourgogne, Annee 2018{2019

Le propos de ce cours est de donner l'ensemble des techniques permettant l'etude complete desfonctions

reelles. Il s'agit, etant donnee une fonction de type \usuel" (c'est a dire obtenue par composition de fonctions

\classiques" : somme, produit, quotient, exp, ln, sin, cos, tan, arcsin, arccos, cosh, sinh, ...) d'^etre capable de decrire

completement son comportement et l'allure de son graphe. Plus precisement, on se concentre sur les elements du

programme suivant :Programme general.

1.Domaine de denition: en quels points la fonction est-elle denie?

2.

Etude de leur eventuelleparite,symetrie,periodicite, en vue de la reduction du domaine d'etude : souvent,

la connaissance du graphe de la fonction sur un sous-ensemble de son domaine de denition permet de conna^tre la fonction totalement.

3.Etude de limites en tout point ou a l'inni. Nous verrons dans ce cours des techniques nouvelles par rapport

au programme de terminale permettant de calculer les limites d'une fonction en tout point ou a l'inni,

ainsi que ce qu'on appelle soncomportement asymptotique(existence eventuelle d'asymptotes, position du

graphe de la courbe par rapport aux asymptotes).

4.Deriveeetsens de variation: on decoupe le domaine d'etude en un nombre ni d'intervalles sur lesquels la

fonction est monotone (c'est-a-dire d'intervalles sur lesquels la derivee a un signe constant). Pour cela, Le

calcul systematique de la derivee d'une fonction (si cette derivee existe)est toujours possible.

5.Calcul de primitives, et etudes d'integrales: cela permet de calculer la surface delimitee par le graphe de

deux courbes entre deux points de leur domaine de denition.Table des matieres

1 Generalites sur les fonctions reelles

2

1.1 Domaine de denition, graphe et ensemble image d'une fonction reelle

2

1.2 Composition fonctions reelles

3

1.3 Reduction du domaine d'etude d'une fonction : parite, periodicite, symetrie

4

1.3.1 Fonctions paires ou impaires

4

1.3.2 Fonctions presentant des symetries

5

1.3.3 Fonctions periodiques

6

1.3.4 Cas des fonctions periodiques qui admettent des symetries

7

2 Fonctions injectives, surjectives, bijectives, applications reciproques

8

2.1 Injections, surjections, bijections

8

2.2 Fonctions reelles injectives, surjectives, bijectives, applications reciproques

8

2.3 Lien avec la resolution des equations

9

3 Limites, continuite et derivabilite des fonctions reelles

10

3.1 Limites des fonctions reelles

10

3.1.1 Denitions

10

3.1.2 Proprietes generales des limites de fonctions

12

3.1.3 Operations sur les limites de fonctions

13

3.1.4 Quelques limites classiques

14

3.1.5 Fonctions equivalentes

15 1

3.2 Continuite des fonctions reelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Denitions et premieres proprietes des fonctions continues

15

3.2.2 Le theoreme des valeurs intermediaires

16

3.3 Derivabilite des fonctions reelles

17

3.3.1 Derivabilite d'une fonction en un point

18

3.3.2 Derivee, extrema locaux et monotonie

19

4 Developpements limites, formule de Taylor, et developpements asymptotiques

20

4.1 Developpements limites et formule de Taylor

20

4.2 Methodes de calcul des developpements limites

22

4.2.1 Developpements limites de fonctions classiques.

22

4.2.2 Algebre des developpements limites

22

4.3 Tangente et position du graphe d'une courbe par rapport a sa tangente

24

4.4 Developpements limites generalises, developpements generalises a l'inni

26

5 Primitives et integrales29

5.1 A quoi sert le calcul integral?

29

5.2 Primitives d'une fonction

29

5.2.1 Primitives des fonctions usuelles

29

5.2.2 Techniques essentielles dans le calcul de primitives

30

5.2.3 Primitives des fractions rationnelles

31

5.2.4 Primitives se ramenant a des primitives de fractions rationnelles

34

5.3 Integrales et surfaces

35

1 Generalites sur les fonctions reelles

Notation.Dans tout ce cours, on adopte les notations suivantes : 1.

On d esignepar Rl'ensemble de nombres reels,Ql'ensemble des nombres rationnels,Cl'ensemble des nombres

complexes,Zl'ensemble des entiers relatifs et parN=fx2Z:x0gl'ensemble des entiers naturels. 2. On note egalementR+=fx2R:x0g= [0;+1[ l'ensemble des reels positifs ou nuls etR=fx2R:x0g= ]1;0] l'ensemble des reels negatifs ou nuls. 3. On note R=fx2R:x6= 0g= ]1;0[[]0;+1[ l'ensemble des reels non nuls,R+=fx2R:x >0g= ]0;+1[ l'ensemble des reels strictement positifs etR=fx2R:x <0g= ]1;0[ l'ensemble des reels stricte- ment negatifs.

1.1 Domaine de denition, graphe et ensemble image d'une fonction reelle

De facon generale, l'etude d'une fonction reelle debute par la determination de sondomaine de denition. Il

s'agit du point 1:du Programme general.Denition 1.1.1.Unefonction reellefest une relation qui a tout nombrexd'un ensembleDfRassocie

un unique nombre reel notef(x). L'ensembleDfest appele ledomaine de denitionde la fonctionf. On note : f:DfR//R x

//f(x)Remarque1.1.2.On utilise frequemment la lettrexcomme notation pour la variable etfcomme notation pour la

fonction. Comme il ne s'agit que d'une notation, on peut tres bien employer d'autres lettres. On pourra donc noter

f:y7!f(y),g:x7!g(x) ouh:t7!h(t).Denition 1.1.3.Legraphed'une fonction reellef:DfR!Rest l'ensemble f=f(x;f(x)) :x2 Dfg

R

2. SiA Df, legraphe defsurAest l'ensemblef(x;f(x)) :x2Ag Df.Exemple 1.1.4(Exemples classiques).

1. Si f= exp;sin;cos ou arctan,f:x7!xpavecp2N, ou sifest une fonctionpolyn^omex7!anxn+an1xn1+ +a0(avecan;:::;a02R), alorsDf=R. De m^eme, sif:x7!qpx=x1q avecqentier naturel impair, alors D f=R. 2

2.Si f:x7!xn=1x

navecn2N, alorsDf=R. 3.

Si f:x7!px,f:x7!qpx=x1q

, avecqentier naturel pair (non nul), alorsDf=R+. 4.

Si f:x7!xpq

=qpx p, oup;q2Nsont premiers entre eux. Alors, siqest pair (et doncpimpair),Df=R+, et siqest impair,Df=R. 5.

Si f= ln, ouf:x7!xa= ealnxaveca2RnQ, alorsDf=R+.Denition 1.1.5.Soitf:DfR!Rune fonction reelle, alors l'ensemble imagedef, notef(Df), est

l'ensembleff(x) :x2 Dfgde toutes les valeurs prises par la fonctionf.Exemple 1.1.6. 1.

Si f= ln, alorsDf= ]0;+1[ etf(Df) =R.

2.

Si f:x7!px, alorsDf= [0;+1[ etf(Df) = [0;+1[.

3. Si f= sin, alorsDf=Retf(Df) = [1;1] (voir Figure1.1.1 )Figure1.1.1 { Graphe de la fonction sin

1.2 Composition fonctions reelles

Dans la pratique, la plupart des fonctions reelles etudiees sont obtenues parcompositionde fonctions classiques,

dont le comportement sera etudie au fur et a mesure de ce cours :Denition 1.2.1.Soientf:DfR!Retg:Dgf(Df)!Rdeux fonctions reelles telles quef(Df) Dg.

Alors lacomposee defpar la fonctiong, noteegf, est la fonction denie surDfpar (gf)(x) =g(f(x)).

On note :

D ff//gf ))f(Df) Dgg//R x

//f(x)//(gf)(x) =g(f(x))Remarque1.2.2.Dans la denition ci-dessus, on note l'hypothese fondamentalef(Df) Dg, qui permet de denir

la compositiongf. On note la compositiongf, bien queg\vienne apres"fdans la composition, (gf)(x) est un raccourci pourg(f(x)).

Remarque1.2.3.De facon generale le domaine de denition de la composeeh=gfest l'ensemblefx2 Df:f(x)2 Dgg,

qui est un sous-ensemble deDf.

Exemple 1.2.4.La fonctionh:x7!xpq

, avecp;q2Npremiers entre eux, est la composee de la fonction f:x7!x1q par la fonctiong:y7!yp. On sait queDf=Rsiqest impair etDf=R+siqest pair. D'autre part, puisqueDg=R, on a toujoursf(Df) Dg. DoncDh=R+siqest pair etDh=Rsiqest pair (voir Exemple 1.1.4

Exercice 1.2.5.La fonctionh:x7!px

23x+ 2 est la composee de la fonctionf:x7!x23x+2 par la fonction

g:y7!py. Bien que le domaine de denition defsoit l'ensembleDf=R, le domaine de denition deh=gf 3 est l'ensemblefx2 Df:f(x)2 Dgg=x2R:x23x+ 20. Orx23x+ 2 = (x2)(x1), qui est positif

pourx1 oux2. DoncDh=Dgf= ]1;1][[2;+1[.Remarque1.2.6.On observe deux phenomenes interessants dans l'exemple1.2.5 : le comp ortementpresque rectiligne

\a l'inni", proche des deux droites obliques en pointille, et la symetrie par rapport a une droite verticale egalement

en pointille. Cela sera etudie plus loin dans le cours.

1.3 Reduction du domaine d'etude d'une fonction : parite, periodicite, symetrie

Il est souvent possible d'utiliser certaines des proprietes d'une fonction an de reduire le domaine d'etude. On

l'etudie alors sur le domaine reduit, et on complete convenablement le dessin an d'obtenir le graphe sur tout le

domaine de denition. Cela correspond au point 2:du Programme General

1.3.1 Fonctions paires ou impairesDenition 1.3.1.On considere une fonction reelleftelle que l'oppose de tout element deDfappartienne encore

aDf. Alors : 1. La fonction festpairesi, pour toutx2 Df, on af(x) =f(x). 2. La fonction festimpairesi, pour toutx2 Df, on af(x) =f(x).Remarque1.3.2. 1. Une fonction fimpaire verie necessairementf(0) = 0. 2. La seule fonction ala fois paire et impaire est la fonction nullex7!0.

Exemple 1.3.3.

1. Les fonctions cos ; x7! jxj,x7!xpavecp2Zpair, sont des fonctions paires. 2. Les fonctions sin ;arctan,x7!xpavecp2Zimpair, sont des fonctions impaires.

Proposition 1.3.4.On a les proprietes suivantes :

1.L'inverse d'une fonction paire est une fonction paire. L'inverse d'une fonction impaire est une fontion impaire.

2.Le produit de deux fonctions paires est une fonction paire.

3.Le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.

4.Le produit de d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.

5.La somme de deux fonctions paires est une fonction paire, la somme de deux fonctions impaires est une

fonction impaire.

Remarque1.3.5.

4

1.Dans la prop ositionpr ecedente,les propri etesv erieespar le pro duitde deux fonctions son t egalementv eriees

par le quotient de deux fonctions. 2. On ne p eutrien dire de parti culierde la som med'une fonction paire est d'une fonction impaire.

Exemple 1.3.6.

1. Une fonction p olyn^omedon ttous les degr esson tpairs est u nefonction paire. Ex : x7!x4+ 3x2+ 1. 2. Une fonction p olyn^omedon ttous les degr esson timpairs est u nefonction impaire. Ex : x7!2x5+x34x. 3.

Une fonction p olyn^omequi con tientdes termes de degr epair et des termes de degr eimpair n 'estni paire ni

impaire. Ex :x7!x3x2+x1. 4.

La fonction tan : x7!tanx=sinxcosx, qui est le quotient de la fonction impaire sin et de la fonction paire cos,

est une fonction impaire. Son domaine de denition est l'ensemblefx2R: cosx6= 0g=Rnn2 +Zo L'etude des fonctions paires ou impaires est simpliee gr^ace a la proposition suivante : Proposition 1.3.7.Soitf:DfR!Rune fonction reelle. Alors :

1.Sifest paire, le graphe defs'obtient en completant le graphe defsurDf\R+par symetrie par rapport a

l'axe des ordonneesOy.

2.Sifest impaire, le graphe defs'obtient en completant le graphe defsurDf\R+par symetrie par rapport

a l'origine.

Cette proposition permet donc de restreindre le domaine d'etude d'une fonction paire ou impaire aux valeurs

positives de la variable.

1.3.2 Fonctions presentant des symetries

Cette notion importante, qui generalise celle parite d'une fonction, permet egalement la reduction de l'intervalle

d'etude. Elle se resume a la proposition suivante : Proposition 1.3.8.Soitf:DfR!Rune fonction reelle. On suppose qu'il existea2 Dftel que sia+u2 Df, alorsau2 Df(ou encore tel que six2 Df, alors2ax2 Df). On a :

1.f(au) =f(a+u)pour toutu2Rtel quea+u2 Df(ou encore sif(2ax) =f(x)pour toutx2 Df),

alors le graphefdefest symetrique par rapport a la droite verticale d'equationx=a. 2.

On p oseb=f(a). Sif(a+u) +f(au)2

=bpour toutu2Rtel quea+u2 Df(ou encore si f(2ax) = 2bf(x)pour toutx2 Df), alors le graphefdefest symetrique par rapport au point (a;b) = (a;f(a)).

Remarque1.3.9.

1. La propri ete1 :signie que la fonctiong:u7!f(a+u) est une fonction paire. 2. La propri ete2 :signie que la fonctionh:u7!f(a+u)best une fonction impaire. Elle exprime quebest le milieu du segment [f(au);f(b+u)]. 3.

Ces deux propri etesp ermettentde restreindre l' etudede f\a droite dea", c'est a dire sur le domaineDf\

[a;+1[. Exemple 1.3.10.On reprend la fonctionhde l'exemple1.2.5 , donnee parh:x7!px

23x+ 2. On posea=32

On constate que :

h 232
x =h(3x) =q(3x)23(3x) + 2 p96x+x29 + 3x+ 2 =px

23x+ 2 =h(x):

Ainsi le graphe

hdehest symetrique par rapport a la droite verticale d'equationx=32

La proposition precedente prend la forme suivante pour des fonctions denies sur des intervalles bornes :

5 Proposition 1.3.11.Soitf: [;]R!Rune fonction reelle. On notea=+2 , etb=f+2 . On a :

1.Sif(+u) =f(u)pour toutu2[0;](ou encore sif(+x) =f(x)pour toutx2[;]),

alors le graphefdefest symetrique par rapport a la droite verticale d'equationx=+2

2.Sif(+u) +f(u)2

=bpour toutu2[0;](ou encore sif(+x) = 2bf(x)pour tout x2[;]), alors le graphefdefest symetrique par rapport au point(a;b) =+2 ;f+2 Exemple 1.3.12.On considere la fonction sin: [0;]R!R. Ici= 0 et=. On a :quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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