[PDF] Math 256-Séries de Fourier La deuxi`eme égalité signifie

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Math 256-S´eries de Fourier

David Harari

2016-2017

Nous commen¸cons dans ce chapitre `a nous int´eresser `a un type parti- culier de s´eries de fonctions, appel´ees s´eries trigonom´etriques ou s´eries de Fourier. Ces s´eries sont particuli`erement adapt´ees pour l"´etude des fonctions p´eriodiques, dont nous allons commencer par ´etablir quelques propri´et´es.

1. Fonctions p´eriodiques

D´efinition 1.1SoitTun r´eel non nul. Une fonctionfdeRdansRou dans Cest ditep´eriodique de p´eriodeT(ouT-p´eriodique) si on af(x+T) =f(x) pour toutxdeR. Remarque 1.2a) SifestT-p´eriodique, elle est aussikT-p´eriodique pour toutk?Z. b) S"il y a un plus petitT >0 tel quefsoitT-p´eriodique, on dit parfois queTestlap´eriode def. C"est toujours le cas sifest continue, mais sinon il n"y pas toujours de plus petite p´eriode strictement positive (parexemple la fonction deRdansRqui vaut 0 sur les rationnels et 1 ailleurs estT- p´eriodique pour toutT?Q). Exemple 1.3a) Les fonctions sinxet cosxsont 2π-p´eriodiques. b) La fonction deRdansCqui envoiexsureixest 2π-p´eriodique. c) Pour toutxdeR, notonsE(x) la partie enti`ere dex: c"est par etE(-2,5) =-3). Alors la fonctionf(x) =x-E(x) ("partie fractionnaire dex") est 1-p´eriodique. d) Sifest une fonction d´efinie sur [0,T[, alors elle se prolonge de mani`ere unique en une fonctionT-p´eriodiquegsurR. Sifest continue sur [0,T[, la fonction correspondantegest continue surR`a condition que limx→T-f(x) = f(0). De mˆeme, une fonction continuefsur [0,T]telle quef(0) =f(T) se prolonge de mani`ere unique en une fonction continueT-p´eriodiquegsurR. 1 Proposition 1.4Soitfune fonction continue par morceaux etT-p´eriodique surR. Alors, pour tousa,b?R, on a b a f(t)dt=? b+T a+Tf(t)dt. b+T b f(t)dt=? T 0 f(t)dt. La deuxi`eme ´egalit´e signifie ici que sifest une fonctionT-p´eriodique, l"int´egrale defsur un intervalle de longueurTest la mˆeme quel que soit l"intervalle de longueurTchoisi. D´emonstration :La premi`ere ´egalit´e s"obtient en faisant le changement de variableu=t+T, et en observant quef(t-T) =f(t) pour toutt. La deuxi`eme ´egalit´e r´esulte de la premi`ere (appliqu´ee `aa= 0) et de la relation de Chasles : b+T b f(t)dt=? 0 b f(t)dt+? T 0 f(t)dt+? b+T T f(t)dt= T 0 f(t)dt+ (? b+T T f(t)dt-? b 0 f(t)dt).

2. S´eries trigonom´etriques r´eelles

Parmi les fonctions 2π-p´eriodiques, les plus courantes sont celles form´ees `a partir des fonctions cos et sin, ou encore comme sommes de telles fonctions.

Cela motive la d´efinition suivante :

D´efinition 2.1Unes´erie trigonom´etriquer´eelle est une s´erie de fonctions de la forme? n≥0fn(x), o`u chaque fonctionfn(x) est de la formefn(x) = a ncos(nx) +bnsin(nx), avecan,bn?R. Pour une telle s´erie, on a notammentf0(x) =a0, et on peut convenir que b

0= 0 puisque de toute fa¸con le termeb0sin(0.x) est nul. Bien noter que les

coefficientsan,bnne doivent pas d´ependre dex. Les propri´et´es g´en´erales des s´eries de fonctions s"appliquent `a de telles s´eries. Notons en particulier : 2 a) Si la s´erie? n≥0(ancos(nx) +bnsin(nx)) converge simplement surR, la fonctionf(x) =?+n=0∞(ancos(nx) +bnsin(nx)) est 2π-p´eriodique. En effet chaque fonctionfn(x) =ancos(nx) +bnsin(nx) est 2π-p´eriodique. b) Si cette s´erie converge uniform´ement surR, alors la fonctionf(x) ci-dessus est continue. En effet chaque fonctionfn(x) est continue. C"est notamment le cas en cas de convergence normale, donc par exemplesi la s´erie? n≥0(|an|+|bn|) converge (ou encore si les deux s´eries?anet?bn convergent absolument), puisqu"on a la majoration c) Comme d"habitude, mˆeme si la s´erie converge, pour savoir que lafonc- tion f(x) =+∞? n=0(ancos(nx) +bnsin(nx)) est d´erivable (ou encoreC1), on a besoin de plus. Cela marche par exemple si la s´erie d´eriv´ee est normalement convergente, ce qui se produit en particulier si la s´erie? n≥0n(|an|+|bn|) converge. En effet la s´erie d´eriv´ee est n≥0f?n(x), avec f ?n(x) =-nansin(nx) +nbbcos(nx)

Exemple 2.2a) La s´erie?

n≥0cos(nx) n2+ 1 converge normalement surRcar|cos(nx)

Ainsi la fonction

f(x) =+∞? n=0cos(nx) n2+ 1 est continue et 2π-p´eriodique surR. b) La s´erie? n≥1sin(nx) nconverge simplement surR. Sixest de la forme kπaveck?Z, c"est clair (car la s´erie est nulle) et pour les autresx, cela r´esulte de l"exercice 9 de la feuille de TD 3. 3

Si on posec0=a0et

?n≥1,cn= 1/2(an-ibn);c-n= 1/2(an+ibn),(1) alors on voit que formellement les nombres complexescn(d´efinis pour tout n?Z) permettent d"´ecrire la s´erie trigonom´etrique n≥0(ancos(nx) +bnsin(nx)) sous la forme plus synth´etique suivante : n?Zc neinx, grˆace aux formules cos(nx) = 1/2(einx+e-inx) et sin(nx) = 1/2i(einx-e-inx). En sens inverse, si la s´erie complexe ci-dessus est `a valeurs r´eelles, alors le conjugu´e ¯cndecndoit ˆetre ´egal `ac-npour toutn(en particulierc0?R), et on passe alors de la forme complexe `a la forme r´eelle par les formules: a

0=c0;?n≥1,an= 2Re(cn);bn=-2Im(cn).(2)

Ces observations vont maintenant motiver l"introduction de la notionde s´erie trigonom´etrique complexe.

3. S´eries trigonom´etriques complexes

D´efinition 3.1Unes´erie trigonom´etrique complexeest une s´erie de fonc- tions deRdansCde la forme? n?Zc neinx, o`u lescnsont des nombres complexes. Le cas particulier d"une s´erie trigonom´etrique r´eelle correspondau cas o`u lescnv´erifient la relation de sym´etrie ¯cn=c-npour toutn?N. Dans ce cas, la s´erie complexe correspond `a la s´erie r´eelle? n≥0(ancos(nx) +bnsin(nx)), o`u lesansont donn´es en fonction descnpar les formules (2) (attention au fait que la formule diff`ere d"un facteur 2 pourn= 0). R´eciproquement, on obtient la forme complexe `a partir de la forme r´eelle via les formules (1) (l`a encore, noter que le casn= 0 est exceptionnel). Pr´ecisons maintenant ce qu"on entend quand on consid`ere une s´erie de fonctions? n?Zcneinxdont les termes sont index´es parZet pas comme d"habitude parNouN?. 4 D´efinition 3.2a) Par convention on dira qu"une telle s´erie converge sim-

plement sur une partieIdeRsi la suite dessommes partiellesSn(x) =?nk=-nckeikxconverge simplement surI. On notera alors

S(x) =+∞?

n=-∞c neinx la limite quandntend vers +∞deSn(x). b) On a une d´efinition analogue pour la convergence uniforme. Ainsi, la situation est similaire aux s´eries index´ees parN, `a part que la suite des sommes partielles qu"on consid`ere est de la forme?nk=-n...au lieu de?nk=0.... c) On dira que la s´erie converge normalement (ce qui implique qu"elle con- verge uniform´ement) sur une partieIdeRsi la s´erie des modules? n?Z|cn| converge, ce qui revient `a dire que la suitesn:=?nk=-n|ck|est convergente (ou encore est major´ee, puisque c"est une suite croissante). Remarque 3.3Quand on consid`ere des s´eries trigonom´etriques (r´eelles ou complexes), il suffit d"avoir convergence simple (resp. uniforme) sur [0,2π] (ou encore sur tout intervalle ferm´e de longueur 2π) pour avoir cette mˆeme propri´et´e surR, puisque chaque terme de la s´erie est une fonction 2π- p´eriodique. On d´eduit des th´eor`emes g´en´eraux sur la convergence normale d"une s´erie de fonctions le r´esultat suivant :

Theor`eme 3.4Soit?

n?Zcneinxune s´erie trigonom´etrique complexe avec? n?Z|cn|convergente. Alors la fonction

S(x) =+∞?

n=-∞c neinx est continue surR.

Par exemple le th´eor`eme s"applique sicn=1

n2+1. De mˆeme si la s´erie? n?Z|ncn|converge, la fonctionS(x) estC1et sa d´eriv´ee est S ?(x) =? n?Zinc neinx, par application du th´eor`eme sur la d´erivabilit´e de la somme d"une s´erie de fonctions. Noter que dans l"exemple pr´ec´edent, cette hypoth`ese plus forte n"est pas v´erifi´ee et on ne peut donc pas conclure queSest d´erivable. 5

4. Coefficients de FourierLa notion de coefficient de Fourier vient du th´eor`eme suivant :Theor`eme 4.1Soit?

n?Zcneinxune s´erie trigonom´etrique complexe qui converge uniform´ement surR(c"est par exemple le cas si la s´erie num´erique? n?Z|cn|est convergente). Posons f(x) =+∞? n=-∞c neinx. Alors les coefficientscnsont donn´es par la formule : ?n?Z,cn=1

2π?

2π 0 f(x)e-inxdx. Notons que d"apr`es la proposition 1.4, on pourrait prendre l"int´egrale sur n"importe quel intervalle de longueur 2πau lieu de [0,2π], par exemple Pour d´emontrer le th´eor`eme, on utilise le

Lemme 4.2Soitk?Z. Alors sik?= 0, on a :

2π 0 eiktdt= 0.

Sik= 0, l"int´egrale vaut2π.

D´emonstration :Pourk= 0, c"est imm´ediat car la fonction sous l"int´egrale est constante ´egale `a 1. Supposons donck?= 0. Alors une primitive de la fonctiont?→eiktestt?→eikt ikd"o`u : 2π 0 eiktdt= [eikt ik]2π0, qui vaut bien 0 puisqueeiktprend la mˆeme valeur ent= 0 et ent= 2π. 6 Preuve du th´eor`eme 4.1 :Fixonsn?Z. Comme la s´erie converge uni- form´ement, on peut intervertir l"int´egrale et la somme infinie; ce qui donne : 2π 0 f(x)e-inxdx=? k?Zc k? 2π 0 ei(k-n)tdt. D"apr`es le lemme, dans la somme, seul le terme correspondant `ak=nest non nul (et il vaut 2πck), ce qui donne 2π 0 f(x)e-inxdx= 2πcn comme on voulait. Par analogie, on est alors amen´e `a associer en sens inverse des nombres complexescn`a une fonction 2π-p´eriodiquefet `a se demander ensuite si la s´erie trigonom´etrique associ´ee converge versf. C"est un probl`eme en g´en´eral compliqu´e, que nous aborderons dans les prochains paragraphes. Pour l"instant, on commence par poser une d´efinition : D´efinition 4.3Soitfune fonction 2π-p´eriodique deRdansC, continue par morceaux (i.e.fest born´ee et n"a qu"un nombre fini de points de dis- continuit´es sur [0,2π]). On d´efinit, pour toutn?Z, len-i`eme coefficient de

Fourier complexe defpar la formule :

c n=1

2π?

2π 0 f(t)e-intdt. Remarque 4.4a) On peut remplacer dans l"int´egrale l"intervalle [0,2π] par n"importe quel intervalle de longueur 2π. b) Attention `a ne pas oublier le signe-dans la d´efinition decn. c) On ne consid`ere cette notion que pour des fonctions 2π-p´eriodiques. Quandfest de plus `a valeurs r´eelles, on d´efinit ses coefficients de Fourier r´eels `a partir des coefficients complexes par les mˆemes formules que pour les s´eries trigonom´etriques, les formules (2). Cela donne : D´efinition 4.5Soitfune fonction 2π-p´eriodique deRdansR, continue par morceaux. On d´efinit pourn?Nsescoefficients de Fourier r´eelspar a

0=c0=1

2π?

2π 0 f(t)dt;b0= 0. 7 ?n≥1,an= 2Re(cn) =1π? 2π 0 f(t)cos(nt)dt. ?n≥1,bn=-2Im(cn) =1 2π 0 f(t)sin(nt)dt. Remarque 4.6a) L`a encore, on peut remplacer [0,2π] par tout intervalle de longueur 2πpour calculer l"int´egrale. b) Attention ici au facteur 2 de diff´erence (dans le coefficient devant l"int´egrale) entre la d´efinition pourn= 0 et pourn >0. c) On ne parle de coefficients de Fourier r´eels que sifest `a valeurs r´eelles. Proposition 4.7Soitfune fonction2π-p´eriodique deRdansR, continue par morceaux. Alors : a) Ses coefficients de Fourier complexes v´erifient la sym´etrie¯cn=c-n. b) Sifest paire, les coefficientsbnsont tous nuls. c) sifest impaire, les coefficientsansont tous nuls.

D´emonstration :a) On acn=?2π

0f(t)e-intdtetc-n=?2π

0f(t)eintdt.

Commefest `a valeurs r´eelles, le conjugu´e def(t) estf(t), et celui dee-int= cos(nt)-isin(nt) est bieneint= cos(nt) +isin(nt). Le r´esultat en d´ecoule

(rappelons que par lin´earit´e de l"int´egrale, l"int´egrale de la conjugu´ee ¯gd"une

fonctiongest bien le conjugu´e de l"int´egrale deg). Noter que ceci est aussi coh´erent avec les formules permettant de passer des coefficients de Fourier r´eels aux coefficients de Fourier complexes. b) On a (d"apr`es la remarque 4.6 a) : πb n=? -πf(t)sin(nt)dt=? 0 -πf(t)sin(nt)dt+? 0 f(t)sin(nt)dt. En effectuant le changement de variablet=-udans la premi`ere int´egrale, on trouve 0 -πf(t)sin(nt)dt=? 0 -f(-u)sin(-nu)du=-? 0 f(u)sin(nu)du carfest paire et sinus est une fonction impaire. Finalement on trouve πb n= 0 doncbn= 0. c) C"est exactement similaire `a b) en utilisant cette fois-ci quefest impaire et que cosinus est une fonction paire. 8

5. Convergence de la s´erie de Fourier d"une

fonction Pour faire le lien entre les deux paragraphes pr´ec´edents, on estamen´e `a introduire la d´efinition suivante. D´efinition 5.1Soitf:R→Cune fonction 2π-p´eriodique, continue par morceaux. Soit (cn)n?Zla famille de ses coefficients de Fourier complexes. On appelles´erie de Fourier complexedefla s´erie de fonctions? n?Zcneinx. Attention, cette s´erie ne converge pas toujours (bien qu"il soit difficile de trouver un contre-exemple), et mˆeme si elle converge?+∞ n=-∞cneinxpeut diff´erer def(x) (on verra un peu plus tard un cas o`u cela se produit). Par contre, le th´eor`eme 4.1 nous dit que si la s´erie converge uniform´ement vers une fonctiong, alors les coefficients de Fourier degsont bien lescn(et on verra que dans ce casg(x) =f(x) pour toutx). Quandfest de plus `a valeurs r´eelles, on peut aussi poser : D´efinition 5.2Soitf:R→Rune fonction 2π-p´eriodique, continue par morceaux. Soientanetbn(pourn≥0) ses coefficients de Fourier r´eels. La s´erie de Fourier r´eelledefest la s´erie de fonctions n≥0(ancos(nx) +bnsin(nx)). Bien entendu, pourf`a valeurs r´eelles, la s´erie de Fourier r´eelle est bien la s´erie trigonom´etrique r´eelle associ´ee `a la s´erie de Fourier complexe, comme il r´esulte des formules reliant lescnauxanet auxbn. La question de savoir si la s´erie de Fourier d"une fonction 2π-p´eriodique converge est en g´en´eral tr`es compliqu´ee. Avant de donner des r´esultats g´en´eraux, on va voir sur un exemple le genre de ph´enom`enes qui peut se produire. Exemple 5.3D´efinissons une fonction 2π-p´eriodique en posantf(t) =t pourt?[0,2π[. Observons qu"en particulierf(2kπ) = 0 pour toutk?Z, et fest discontinue en tout r´eel de la formex0= 2kπaveck?Z: en effet en un telx0, la limite `a gauche defest 2πet sa limite `a droite est 0. De fa¸con explicite, on peut aussi d´efinirfpar la formule f(x) = 2π(x

2π-E(x2π))

9 o`uEest la partie enti`ere, c"est-`a-dire quef(x) est la partie fractionnaire de x

2πmultipli´ee par 2π(cf. l"exemple 1.3, c).

Calculons les coefficients de Fourier r´eels def. On a

2πa0=?

2π 0 tdt= [t2

2]2π0= 2π2,

d"o`ua0=π. Pourn≥1, on a, via une int´egration par parties : πa n=? 2π 0 tcos(nt)dt= [tsin(nt) n]2π0-? 2π

0sin(nt)ndt= 0-0 = 0.

Rappelons en effet que

?2π

0sin(nt)

ndtest la partie imaginaire de?2π

0eintdt, qui

est 0 d"apr`es le lemme 4.2. Ainsian= 0 sin >0. On calcule de mˆeme πb n=? 2π 0 tsin(nt)dt= [-tcos(nt) n]2π0-? 2π

0-cos(nt)ndt=

(-2π n)-0 =-2πn, ce qui donnebn=-2 n. Ainsi la s´erie de Fourier defest

π-2?

n≥1sin(nx) n.(3) (on peut aussi calculer les coefficients de Fourier complexescn; on trouve c

0=πetcn=i/nsin?= 0, ce qui donne la s´erieπ+?

n?Z,n?=0i neinx. On v´erifiera que cela donne le mˆeme r´esultat qu"en faisant le calculavec les coefficients r´eels, en regroupant ensuite le terme ennet en-npour chaque n >0). Observons que sixest de la formex0= 2kπaveck?Z, l"expression (3) converge clairement versπcar tous les termes dans la somme sont nuls. Pourtantπn"est pas la valeur de la fonctionfenx0puisquef(x0) = 0. Ce ph´enom`ene vient de ce que la fonctionfn"est pas continue enx0, et que la s´erie prend en quelque sorte en compte les valeurs defau voisinage dex0 aussi bien `a droite qu"`a gauche. Ici la s´erie converge en un telx0non pas versf(x0) mais vers la moyenne de la limite `a gauche et de la limite `a droite defenx0, soit2π+0

2=π. Ce ph´enom`ene est g´en´eral, comme on va le voir

maintenant. Le th´eor`eme suivant, ditth´eor`eme de convergence simple de Dirichletest sans doute le plus important de toute la th´eorie des s´eries de Fourier. Ses hypoth`eses sont un peu techniques, mais seront le plus souvent v´erifi´ees en pratique. 10 Theor`eme 5.4Soitfune fonction continue par morceaux et2π-p´eriodique deRdansC(ou dansR). Soitx0?R. On suppose que :quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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