[PDF] Exercices sur les intégrales généralisées

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Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees

1.Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes :

a)∞ 0dx (1 +ex)(1 +e-x)b)∞ 0e x ⎷xdx c)1 0 lnxdx d)∞ 1lnx x2dx e)1

0lnx(1 +x)2dx f)∞

0 x ne-xdx(n?N) g)∞

0arctanx

1 +x2dx h)∞

adxx(x+r)(a >0, r >0)i)π/2?

0cos2xdx⎷sin2x

2.Montrer que les int´egrales suivantes convergent :

a)∞ 01 ⎷xe-⎷ x2+x+1dx b)π/2? -π/2ln(1 + sinx)dx c)∞ 0 e -t2dt d)∞

01 + sint

1 +⎷t3dt .

3.D´eterminer pour quelles valeurs du couple (α,β)?R2les int´egrales suivantes sont conver-

gentes. (On dessinera dans le plan l"ensemble des couples (α,β) pour lesquels il y a convergence).

a)∞ 0dx xα(1 +xβ)b)∞

0ln(1 +xα)xβdx c)∞

0(1 +t)α-tαtβdt .

4.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleI(n) =∞

1lnx xndxconverge et calculerI(n) dans ce cas.

5.SoitI(λ) =∞

0dx (1 +x2)(1 +xλ). Montrer queI(λ) converge pour tout r´eelλet calculer cette int´egrale en utilisant le changement de variablet= 1/x.

6.SoitI=∞

0e -t-e-2t tdt. a) Montrer queIest convergente. b) Pourε >0, ´etablir, en posantx= 2t, la relation∞ εe -t-e-2t tdt=2ε? εe -ttdt . c) En d´eduire la valeur deI.

7.SoitJ=π/2?

0 lnsinxdx. 1 a) Montrer queJest convergente et que l"on aJ=π/2? 0 lncosxdx. b) Montrer que 2J=π/2? 0 lnsin2x

2dx, et en d´eduire la valeur deJ.

8.Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes :

a)∞

πcosx

⎷xdx b)∞ -1cos(x2)dx(poseru=x2)c)∞ x

2sin(x4)dx .

9.Soitfune fonction deRdansRcontinue et p´eriodique dont l"int´egrale∞

0 f(x)dxest conver- gente. Montrer quefest la fonction nulle. (Raisonner par l"absurde : supposer quef(c)?= 0 pour un certain r´eelc, et montrer que le crit`ere de Cauchy est alors contredit).

10.Soitfune fonction uniform´ement continue de [a,∞[ dansR, telle que l"int´egrale

a f(x)dxconverge. Montrer que limx→∞f(x) = 0 (montrer que sinon le crit`ere de Cauchy se- rait contredit).

11.Soitfune fonction de classe C1deRdansRtelle que, quandxtend vers±∞, on ait

f ?(x) =O?1 x2? a) D´emontrer que les limitesLet?defen +∞et-∞respectivement existent.

12.Soitfune fonction d´ecroissante de [a,∞[ dansR+.

a) Montrer que si l"int´egrale a f(t)dtconverge, alors limx→∞xf(x) = 0. x f(t)dt). b) Montrer par un contre-exemple que la r´eciproque est fausse.

13.D´eterminer la limite des suites (an) d´efinies ci-dessous :

a)an=∞

0arctan(nx)

n(1 +x2)dx , b)an=1

0dx1 +xn, c)an=+∞?

1dx1 +xn, d)an=+∞?

0arctan

?n+1 nx?

1 +x2dx .

14.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleJn=∞

0dx (x3+ 1)nconverge. CalculerJ1, puis montrer que sin≥2, on aJn+1=3n-1

3nJn. En d´eduireJnsin≥1.

2

Corrig´e1.a) On a

1 (1 +ex)(1 +e-x)=ex(1 +ex)2. Cette expression est de la formeu?/(1 +u)2et admet comme primitive-1/(1 +u). Donc 0dx (1 +ex)(1 +e-x)=? -11 +ex?

0=12-limx→∞11 +ex=12.

b) Une primitive dee-⎷ x/⎷xest-2e-⎷x, donc 0e x ⎷xdx=? -2e-⎷ x?∞0= 2(limx→0e-⎷x-limx→∞e-⎷x) = 2. c) Une primitive de lnxestxlnx-x. Donc 1 0 lnxdx=? xlnx-x? 1

0=-1-limx→0(xlnx-x) =-1,

car la limite dexlnxest nulle en 0. d) En int´egrant par parties ?lnx x2dx=-lnxx+?dxx2=-lnxx-1x, donc 1lnx x2dx=? -lnxx-1x?

1= limx→∞?

-lnxx-1x? + 1 = 1. e) En int´egrant par parties ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+?dxx(1 +x).

Mais en d´ecomposant la fraction rationnelle

1 x(1 +x)=1x-11 +x, on obtient ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+ lnx-ln(1 +x) =xlnx1 +x-ln(1 +x). Alors 1 0lnx (1 +x)2dx=?xlnx1 +x-ln(1 +x)? 1

0=-ln2-limx→0?

xlnx1 +x-ln(1 +x)? =-ln2. 3 f) PosonsIn=∞ 0 x ne-xdx. Puisque les fonctions int´egr´ees sont positives, la fonctionFnd´efinie par F n(α) =α 0 x ne-xdx , est croissante et poss`ede une limite finie ou non `a +∞.

En int´egrant par parties, sin≥1.

x ne-xdx=-xne-x+? nx n-1e-xdx . Mais limx→∞xe-x= 0.

Il en r´esulte que

lim 0 x ne-xdx=nlimα→∞α 0 x n-1e-xdx , et donc I n=nIn-1.

Mais, d"apr`es b),

I

0=∞

0 e -xdx= 1, donc l"int´egraleInconverge et I n=n(n-1)···1·I0=n!. g) Comme arctanxa pour d´eriv´ee 1/(1 +x2), on a ?arctanx

1 +x2dx=12(arctanx)2,

et

0arctanx

1 +x2dx=?12(arctanx)2?

0= limx→∞12(arctanx)2=π28.

h) La fraction rationnelle se d´ecompose facilement, puisque 1 x(x+r)=1r?

1x-1x+r?

et admet sur [a,∞[ la primitive1 rlnxx+r. Donc adr x(x+r)=?1rlnxx+r? a=1r? lna+ra+ limx→∞lnxx+r? =1rlna+ra. i) Une primitive de cos2x/⎷ sin2xest⎷sin2x, donc

π/2?

0cos2xdx

⎷sin2x=?⎷sin2x?

π/2

0= limx→π/2⎷sin2x-limx→0⎷sin2x= 0.

4

2.a) Au voisinage de 0 on a

1 ⎷xe-⎷ x2+x+1≂e-1⎷x, donc l"int´egrale 1 01 ⎷xe-⎷ x2-x+1dxconverge par comparaison `a1 0dx x1/2.

Lorsquex >1,1

⎷xe-⎷

Et l"int´egrale

11 ⎷xe-⎷ x2+x+1dxconverge par comparaison `a∞ 1 e -xdx. b) Cherchons un ´equivalent de ln(1+sinx)dxau voisinage de-π/2. Posonsu=x+π/2. Alors ln(1 + sinx) = ln(1-cosu) = ln?u2

2+◦(u2)?

= 2lnu?

1 +ln(1/2 +◦(1))2lnu?

≂2lnu .

Mais l"int´egrale

1 0 lnuduconverge (Voir ex 1c) et lnuest n´egative. Donc l"int´egraleπ/2? -π/2ln(1 + sinx)dx converge. c) On peut donner deux arguments montrant la convergence de l"int´egrale.

1) Lorsquet >1, on at2> t, donce-t2< e-t, et l"int´egrale∞

e -t2dtconverge par comparaison `a l"int´egrale e -tdt.

2) Lorsquettend vers l"infinit2e-t2admet 0 comme limite, donc est major´e par 1 sur un intervalle

e -t2dtconverge par comparaison `a l"int´egrale∞ ?dt t2. d) On a, sit >0, et l"int´egrale ?1 + sint

1 +⎷t3dtconverge par comparaison `a l"int´egrale∞

?dtt3/2.

3.a) Cherchons un ´equivalent simple en 0 et en +∞de la fonctionfd´efinie sur ]0,∞[ par

f(x) =1 xα(1 +xβ).

Le r´esultat d´epend du signe deβ. On peut r´esumer ce que l"on obtient dans le tableau suivant:

5 condition decondition de ≂f(x) en 0≂f(x) en +∞convergence deconvergence de 1?

0f(x)dx∞?

1f(x)dx

β >01

xα 1 xα+βα <1α+β >1

β= 01

2xα

1

2xαα <1α >1

β <01

xα+β 1 xαα+β <1α >1 L"ensemble des couples (α,β) pour lesquels l"int´egrale∞ 0 f(x)dxest le domaine du plan limit´e par les droites d"´equationα+β= 1 etα= 1 (exclues). On ne peut jamais avoirβ= 0.

α+β= 1

α1β

b) Mˆeme m´ethode. Les ´equivalents d´ependent du signe deαcette fois. Remarquons que siα >0,xαtend vers 0 en 0 donc ln(1 +xα)≂xα, et siα <0, on peut ´ecrire ln(1 +xα) = ln(xα) + ln(1 +x-α) =αlnx?

1 +ln(1 +x-α)

αlnx?

6 et donc ln(1 +xα)≂αlnx .

On a des r´esultats invers´es en +∞. On peut r´esumer ce que l"on obtient dans le tableau suivant:

condition decondition de ≂f(x) en 0≂f(x) en +∞convergence deconvergence de 1?quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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