INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES PDF Corrigé de l'exercice 1.

Intégrales Généralisées

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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

(iii) En déduire la valeur de l'intégrale. Corrigé de l'exercice 3.2. (i) Posons f(x) = 4x x4−1. La fonction f est définie et continue sur ]1 ;+∞[ donc

Exercices sur les intégrales généralisées

Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x. 6. Soit I = ∞. ∫. 0 e−t − e−2t t.

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nature dfune intégrale généralisée. Pour la suite nous utiliserons que les [13] Pierre Meunier Analyse

Exercices corrigés

1 n2 + 1 . Solution. Préliminaire. Notons le calcul suivant d'intégrale généralisée : ∫ ∞. 0 e−

Intégration Pascal Lainé 1

Allez à : Correction exercice 16. Exercice 17. Calculer par récurrence : = ∫ (ln Montrer que est une intégrale généralisée en 0 et en 1. 5. Montrer ...

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

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TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 π ln 2 . Remarque : d'autres méthodes existent moins astucieuses. Exercice 14 : Nature de l'intégrale de Gauss ∫.

[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

= 0. On en déduit que / +∞. 0 sinx x dx est une intégrale convergente et

Intégrale de Riemann

3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a

Intégrales Généralisées

Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ... Démontrer la convergence de l'intégrale ?.

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Posons f(x) = e?x. La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de

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proposé sans retourner au corrigé. 6.5 Intégrale des fonctions de signe quelconque . ... 6.6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre .

Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Intégration : intégrale de Riemann primitives

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 et c'est cette limite que l'on nomme intégrale de f sur I. Pour des fonctions plus ... Exercice 1 : Convergence et calcul de I(a b) = ?.

TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrer que les intégrales

dx est une intégrale généralisée convergente. Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ?. 1.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Finalement l'intégrale 6 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème en +?. 1 ? cos(.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 12 ***. 1. Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +?. 0 f(x) dx converge en +?. Montrer que / +?.

Exercices corrigés

Mathématiques 3 (L2) - Quelques exercices supplémentaires

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. - Calcul d"intégrales généralisées par primitivation . . . . . . . 1 § 2. - Nature d"intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 3. - Exercices complémentaires (plus diciles) . . . . . . . . . . .6

§ 1. -

Calcul d"intégrales généralisées par primiti vationExercice 1.1.Convergence et calcul des intégrales suivantes.(i)Z

+1 0 exdx. (ii)Z +1 1dxx 2. (iii)Z 1 0dxpx .(iv)Z +1

1dx1+x2.

(v)Z +1 0 xex2dx. (vi)Z +1 0 xex.(vii)Z +1 0e arctanx1+x2dx. (viii)Z +1 2dxx 21.
(ix)Z 4

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

etarctanA!A!12 .Corrigé de l"exercice 1.1. (i)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Si

A>0, on aZA

0 exdx=[ex]A

0=1eA!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 exdx=1. (ii)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. SiA>1, on aZA 1dxx 2=" 1x A 1 =11A !A!+11; 1 donc l"intégrale est convergente et Z +1 1dxx 2=1. (iii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;1] donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Si 0< " <1, on aZ 1 "dxpx =h2px i 1 "=22p"!"!02; donc l"intégrale est convergente et Z 1 0dxpx =2. (iv)Posonsf(x)=11+x2. La fonctionfest continue sur ]1;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1et de

1. SiA>0>B, on a

Z A

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

arctanB B!+12 2 donc l"intégrale est convergente et Z +1

1dx1+x2=.

(v)Posonsf(x)=xex2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

u0eu, elle se primitive en12 euet donc : Z A 0 xex2=" 12 ex2#A 0 =12 12 eA2!A!+112 donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex2dx=12 (vi)Posonsf(x)=xex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

grantex: Z A 0 xex=[xex]A 0+Z A 0 exdx=AeA+[ex]A

0=AeAeA+1!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex=1. (vii)Posonsf(x)=earctanx1+x2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit A>0. Puisquef(x) est de la formeu0euelle se primitive eneu: Z A 0e arctanx1+x2dx=hearctanxiA

0=earctanA1!A!+1e=21;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0e arctanx1+x2dx=e=21. 2 (viii)Posonsf(x)=1x

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21
1x

21=(+)+()x

21
()(+=0 =1()(= 2=1 ()=12 et=12 et donc 1x 21=12
1x112

1x+1; par suite :

Z A 2dxx 21=12
Z A

2dxx112

Z A

2dxx+1=12

[lnjx1j]A 212
[lnjx+1j]A 2 12 (ln(A1)ln1)12 (ln(A+1)ln3)=12 lnA1A+1+12 ln3

A!+112

ln3; car

A1A+1=11A

1+1A !A!+11 donc lnA1A+1!A!+1ln1=0. Par suite, l"intégrale converge etZ+1 2dxx 21=12
ln3. (ix)Posonsf(x)=cosxpsinx. La fonctionfest continue sur ]0;4 ] (car sinx>0 sur ]0;2 [) donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Soit 0< " <4 . La fonctionfest de la formeu0pu avecu(x)=sinxdonc sequotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Corrigé de l'exercice 1.

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. -

1dx1+x2.

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

A>0, on aZA

0=1eA!A!+11;

1. SiA>0>B, on a

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

1dx1+x2=.

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

0=AeAeA+1!A!+11;

0=earctanA1!A!+1e=21;

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21=(+)+()x

1x+1; par suite :

2dxx112

2dxx+1=12

A!+112

A1A+1=11A