Exercices de mathématiques

Intégrales Généralisées

Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? 1 Finalement l'intégrale 6 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème ...

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

(iii) En déduire la valeur de l'intégrale. Corrigé de l'exercice 3.2. (i) Posons f(x) = 4x x4−1. La fonction f est définie et continue sur ]1 ;+∞[ donc

Exercices sur les intégrales généralisées

Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x. 6. Soit I = ∞. ∫. 0 e−t − e−2t t.

Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

nature dfune intégrale généralisée. Pour la suite nous utiliserons que les [13] Pierre Meunier Analyse

Exercices corrigés

1 n2 + 1 . Solution. Préliminaire. Notons le calcul suivant d'intégrale généralisée : ∫ ∞. 0 e−

Intégration Pascal Lainé 1

Allez à : Correction exercice 16. Exercice 17. Calculer par récurrence : = ∫ (ln Montrer que est une intégrale généralisée en 0 et en 1. 5. Montrer ...

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Exercices corrigés. Licence STS. L2 Mathématiques et Économie. Université Lyon Il faut faire attention au fait que l'intégrale est une intégrale généralisée ...

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 π ln 2 . Remarque : d'autres méthodes existent moins astucieuses. Exercice 14 : Nature de l'intégrale de Gauss ∫.

[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

= 0. On en déduit que / +∞. 0 sinx x dx est une intégrale convergente et

Intégrale de Riemann

3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a

Intégrales Généralisées

Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ... Démontrer la convergence de l'intégrale ?.

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Posons f(x) = e?x. La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de

Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

proposé sans retourner au corrigé. 6.5 Intégrale des fonctions de signe quelconque . ... 6.6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre .

Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Intégration : intégrale de Riemann primitives

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 et c'est cette limite que l'on nomme intégrale de f sur I. Pour des fonctions plus ... Exercice 1 : Convergence et calcul de I(a b) = ?.

TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrer que les intégrales

dx est une intégrale généralisée convergente. Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ?. 1.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Finalement l'intégrale 6 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème en +?. 1 ? cos(.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 12 ***. 1. Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +?. 0 f(x) dx converge en +?. Montrer que / +?.

Exercices corrigés

Exo7

Intégration

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Etudier l"existence des intégrales suivantes

1) (**)

R+¥

0 x+2px

2+4x+1

dx2) (**)R+¥ 1 e1+1x x dx3) (**)R+¥

0lnxx+exdx

4) (***)

R+¥

3px+13px

px dx5) (**)R+¥ 1epx

2xdx6) (**)R+¥

0xlnxdx

7) (**)

R+¥

0sin(5x)sin(3x)x

5=3dx8) (**)R+¥

0lnxx

21dx9) (**)R+¥

¥ex2pjxjdx

10) (**)

11(1+x2)p1x2dx11) (**)R1

013 px

2x3dx12) (***)R1

01arccos(1x)dx.

Etudier l"existence des intégrales suivantes.

1) (***) I

R+¥

21x
alnbxdx(Intégrales de BERTRAND)2) (**)Rp=2

0(tanx)adx

3) (**)

R+¥

1 1+1x 1+1x abx dx4) (***)R+¥ 01x a(1+xb)dx (Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes :

1.(**)Z

0sinxx

2.(**)Z

0sinxx

adx

3.(**)Z

0eix2dx

4.(**)Z

0x3sin(x8)dx

5.(**)Z

0cos(ex)dx

6.(****)Z

011+x3sin2xdx

Existence et calcul de :

1) (** I)In=R+¥

01(x2+1)ndx2) (très long)R+¥

21(x1)3(x4+1)dx

3) (** I)R+¥

01x

3+1dx4) (***)R+¥

01(x+1)(x+2):::(x+n)dx

5)(***)

01p(1x)(1+ax)dx6) (**)R+¥

01(ex+1)(ex+1)dx

7) (**)

R+¥

015chx+3shx+4dx8) (***)R+¥

02+(t+3)lnt+2t+4dt

9) (** I)

R+¥

0xarctanx(1+x2)2dx10) (I très long)R+¥

0xlnx(x2+1)adx(calcul poura232

;2;3)

11) (***)

Rp=2

0ptanx dx12) (*** I)R+¥

0eatebtt

dt(0Deux calculs deI=Rp=2

0ln(sinx)dx.

1) (** I)En utilisantJ=Rp=2

0ln(cosx)dx, calculerI(etJ).

2) (*** I)CalculerPn=Õn1k=1sinkp2n(commencer parP2n) et en déduireI.

11t, calculerR1

0lntt1dt.

0t1lntdt(en écrivantRx

0t1lntdt=Rx

0tlntdtRx

01lntdt).

1) (** I)Trouver un équivalent simple quandxtend vers+¥deex2R+¥

xet2dt.

2) (***)Montrer queR+¥

acosxx dxa!0lna.

3) (*)Montrer queR1

01x

3+a2dxa!+¥1a

2. x1lntdt.

R+¥

1(1)E(x)x

dx. 2

1.Montrer que xf(x)tend vers 0 quandxtend vers+¥.

Existence et calcul de

R+¥

1x(f(x+1)f(x))dx.

0f(x)dxconverge en+¥. Montrer

queR+¥

0f0(x)dxconverge en+¥si et seulement sif(x)tend vers 0 quandxtend vers+¥.

2. (a) On suppose que fest une fonction de classeC2surR+à valeurs dansRtelle quefetf00admettent des limites réelles quandxtend vers+¥. Montrer quef0tend vers 0 quandxtend vers+¥. (b)

En déduire que si les intégrales R+¥

0f(x)dxetR+¥

0f00(x)dxconvergent alorsftend vers 0 quand

xtend vers+¥. intégrable surRet queR+¥

¥f02(x)dx26R+¥

¥f2(x)dxR+¥

¥f002(x)dx. Cas d"égalité ?

Correction del"exer cice1 N1.Pour x>0,x2+4x+1>0 et donc la fonctionf:x7!x+2px

2+4x+1 est continue sur[0;+¥[.

Quandxtend vers+¥,x+2px

2+4x+1=3x+2+px

2+4x+132x. Comme la fonctionx7!32xest

positive et non intégrable au voisinage de+¥,fn?est pas intégrable sur[0;+¥[. 2.

Pour x>1, 1+1x

est défini et strictement positif. Donc la fonctionf:x7!e1+1x xest définie et continue sur[1;+¥[.

Quandxtend vers+¥,1+1x

x=exln(1+1x )=e112x+o(1x )=ee2x+o1x puisf(x)x!+¥e2x. Puisque la

fonctionx7!e2xest positive et non intégrable au voisinage de+¥,fn"est pas intégrable sur[1;+¥[.

3. La fonction f:x7!lnxx+exest continue et positive sur]0;+¥[. • En 0, lnxx+exlnxet doncf(x) =x!0o1px . Comme12 <1, la fonctionx7!1px est intégrable sur un voisinage de 0 et il en est de même de la fonctionf. • En+¥,f(x)lnxe x=o1x

2. Comme 2>1, la fonctionx7!1x

2est intégrable sur un voisinage de+¥

et il en est de même de la fonctionf.

Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.

La fonction x7!3px+13pxest continue et strictement positive sur[0;+¥[. Donc la fonctionf:x7!3px+13px

est continue sur[0;+¥[.

En+¥, ln3px+13px

=13 lnx+ln1+1x 1=31 =13 lnx+ln13x+O1x 2=23 lnxln3+ O1x . Par suite,pxln3px+13px =23 pxlnxln3px+o(1).

Maisalorsx2f(x) =x!+¥exp23

pxlnxln3px+2lnx+o(1)etdonclimx!+¥x2f(x)=0. Finalement f(x)est négligeable devant1x

2en+¥etfest intégrable sur[0;+¥[.

La fonction f:x7!epx

2xest continue sur[1;+¥[.

Quandxtend vers+¥,x2f(x) =exp

2x+2lnx

=exp(x+o(x))et doncx2f(x)!x!+¥0.f(x) est ainsi négligeable devant 1x

2au voisinage de+¥et doncfest intégrable sur[1;+¥[.

La fonction f:x7!xlnxest continue sur]0;+¥[.

• Quandxtend vers 0,xlnx=eln2x!0. La fonctionfse prolonge par continuité en 0 et est en particulier intégrable sur un voisinage de 0. • Quandxtend vers+¥,x2f(x) =expln2x+2lnx!0. Doncfest négligeable devant1x

2quandx

tend vers+¥etfest intégrable sur un voisinage de+¥.

Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.

La fonction f:x7!sin(5x)sin(3x)x

5=3est continue sur]0;+¥[.

• Quandxtend vers 0,f(x)5x3xx

5=3=2x

2=3>0. Puisque23

<1, la fonctionx7!2x

2=3est positive et

intégrable sur un voisinage de 0 et il en est de même de la fonctionf. • En+¥,jf(x)j62x

5=3et puisque53

>1, la fonctionfest intégrable sur un voisinage de+¥.

Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.

La fonction f:x7!lnxx

21est continue sur]0;1[[]1;+¥[.

• En 0,f(x) lnx=o1px . Doncfest intégrable sur un voisinage de 0 à droite. • En 1,f(x)lnx2(x1)12 . La fonctionfse prolonge par continuité en 1 et est en particulier intégrable sur un voisinage de 1 à gauche ou à droite. 4 • En+¥,x3=2f(x)lnxpx =o(1). Doncf(x)est négligeable devant1x

3=2quandxtend vers+¥et donc

intégrable sur un voisinage de+¥.

Finalement,fest intégrable sur]0;1[[]1;+¥[.

La fonction f:x7!expjxjest continue sur]¥;0[[]0;+¥[et paire. Il suffit donc d"étudier l"intégrabilité

defsur]0;+¥[. fest positive et équivalente en 0 à droite à1px et négligeable devant1x

2en+¥d"après un théorème de

croissances comparées.

fest donc intégrable sur]0;+¥[puis par parité sur]¥;0[[]0;+¥[. On en déduit queR+¥

¥expjxjdx

existe dansRet vaut par parité 2R+¥

0expjxjdx.

10.

La fonction f:x7!1(1+x2)p1x2est continue et positive sur]1;1[, paire et équivalente au voisinage de

1 à droite à

12 p2 p1x.fest donc intégrable sur]1;1[. 11.

La fonction f:x7!13

2x3est continue et positive sur]0;1[, équivalente au voisinage de 0 à droite à1x

2=3 et au voisinage de 1 à gauche à

1(1x)1=3.fest donc intégrable sur]0;1[.

12. La fonction f:x7!1arccos(1x)est continue et positive sur]0;1]. En 0, arccos(1x) =o(1). Donc arccos(1x)sin(arccos(1x)) =p1(1x)2=p2xx2p2 px.

Doncf(x)x!01p2

etfest intégrable sur]0;1[.Correction del"exer cice2 N1.Pour tout couple de réels (a;b), la fonctionf:x7!1x

alnbxest continue et positive sur[2;+¥[. Etudions l"intégrabilité defau voisinage de+¥.

1er cas.Sia>1,x(a+1)=2f(x) =1x

(a1)=2lnbx!x!+¥0 cara12 >0 et d"après un théorème de croissances comparées. Doncf(x) =x!+¥o1x (a+1)=2 . Commea+12 >1, la fonctionx7!1x (a+1)=2est intégrable sur un voisinage de+¥et il en est de même def. Dans ce cas,fest intégrable sur[2;+¥[.

2ème cas.Sia<1,x(a+1)=2f(x) =x(1a)=2ln

bx!x!+¥+¥car1a2 >0 et d"après un théorème de croissances comparées. Doncf(x)est prépondérant devant1x (a+1)=2en+¥. Commea+12 <1, la fonctionx7!1x (a+1)=2

n"est pas intégrable sur un voisinage de+¥et il en est de même def. Dans ce cas,fn"est pas intégrable

sur[2;+¥[.

3ème cas.Sia=1. PourX>2 fixé , en posantt=lnxet doncdt=dxx

on obtient R X

21xlnbdx=RlnX

ln2dtt b.

Puisque lnXtend vers+¥quandXtend vers+¥et que les fonctions considérées sont positives, f est

intégrable sur[2;+¥[si et seulement sib>1.

En résumé ,

la fonctionx7!1x

alnbxest intégrable sur[2;+¥[si et seulement sia>1 ou (a=1 etb>1).(En particulier, la fonctionx7!1xlnxn"est pas intégrable sur voisinage de+¥bien que négligeable devant

1x en+¥). 5

2.Pour tout réel a, la fonctionf:x7!(tanx)aest continue et strictement positive sur0;p2

. De plus, pour tout réelxde0;p2 , on afp2 x=1f(x).

•Etude en0à droite.f(x)x!0xa. Doncfest intégrable sur un voisinage de 0 à droite si et seulement

sia>1. •Etude enp2

à gauche.f(x) =1f

(p2 x)x!p2 p2 xa. Doncfest intégrable sur un voisinage dep2 gauche si et seulement sia<1.

En résumé,fest intégrable sur0;p2

si et seulement si1Pour x>1, 1+1x est défini et strictement positif. Donc pour tout couple(a;b)de réels, la fonction f:x7!1+1x 1+1x abx est continue sur[1;+¥[.

En+¥,1+1x

ln1+1x =1+1x 1x +O1x 2=1x +O1x

2. Donc

f(x) =x!+¥(1a)+1bx +O1x 2. • Sia6=1,fa une limite réelle non nulle en+¥et n"est donc pas intégrable sur[1;+¥[. • Sia=1 etb6=1,f(x)x!+¥1bx . En particulier,fest de signe constant sur un voisinage de+¥et n"est pas intégrable sur[1;+¥[. • Sia=b=1,f(x) =x!+¥O1x

2et dans ce cas,fest intégrable sur[1;+¥[.

En résumé,fest intégrable sur[1;+¥[si et seulement sia=b=1. 4. Pour tout couple (a;b)de réels, la fonctionf:x7!1x a(1+xb)est continue et positive sur]0;+¥[. •Etude en0. -Sib>0,f(x)x!01x a, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia<1, -sib=0,f(x)x!012xa, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia<1, -sib<0,f(x)x!01x a+b, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia+b<1. •Etude en+¥. -Sib>0,f(x)x!01x a+b, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia+b>1, -sib=0,f(x)x!012xa, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia>1, -sib<0,f(x)x!01x a, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia>1. En résumé,fest intégrable sur]0;+¥[si et seulement si ((b>0 eta<1) ou (b<0 eta+b<1)) et ((b>0 eta+b>1) ou (b60 eta>1)) ce qui équivaut à (b>0 eta+b>1 eta<1) ou (b<0 eta>1 eta+b<1).

Représentons graphiquement l"ensemble des solutions. La zone solution est la zone colorée.1 2 3-1-2

12 -1 -2 ab 6

Correction del"exer cice3 N1.Soient eetXdeux réels tels que 0 sont de classeC1 sur le segment[e;X]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient R X esinxx dx=1cosxx X 1+RX e1cosxx

2dx=1cosXX

1cosee

+RX e1cosxx 2dx. •Lafonctionx7!1cosxx

2estcontinuesur]0;+¥[, estprolongeableparcontinuitéen0carlimx!01cosxx

2= 12 et donc intégrable sur un voisinage de 0, est dominée par1x

2en+¥et donc intégrable sur un voisinage

de+¥. La fonctionx7!1cosxx

2est donc intégrable sur]0;+¥[etRX

e1cosxx

2dxa une limite réelle quand

etend vers 0 etXtend vers+¥. •1cosXX 61X
et donc limX!+¥1cosXX =0.

1cosee

e!0e2 et donc lime!e1cosee =0.

On en déduit que

R+¥

0sinxx

dxest une intégrale convergente et de plus R

0sinxx

dx=R+¥

01cosxx

2dx=R+¥

02sin2(x=2)x

2dx=R+¥

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[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

Intégration

I : Incontournable

1) (**)

R+¥

2+4x+1

0lnxx+exdx

4) (***)

R+¥

3px+13px

2xdx6) (**)R+¥

0xlnxdx

7) (**)

R+¥

0sin(5x)sin(3x)x

5=3dx8) (**)R+¥

21dx9) (**)R+¥

¥ex2pjxjdx

10) (**)

11(1+x2)p1x2dx11) (**)R1

2x3dx12) (***)R1

01arccos(1x)dx.

Etudier l"existence des intégrales suivantes.

1) (***) I

R+¥

0(tanx)adx

3) (**)

R+¥

1.(**)Z

0sinxx

2.(**)Z

0sinxx

3.(**)Z

0eix2dx

4.(**)Z

0x3sin(x8)dx

5.(**)Z

0cos(ex)dx

6.(****)Z

011+x3sin2xdx

Existence et calcul de :

1) (** I)In=R+¥

01(x2+1)ndx2) (très long)R+¥

21(x1)3(x4+1)dx

3) (** I)R+¥

3+1dx4) (***)R+¥

01(x+1)(x+2):::(x+n)dx

5)(***)

01p(1x)(1+ax)dx6) (**)R+¥

01(ex+1)(ex+1)dx

7) (**)

R+¥

015chx+3shx+4dx8) (***)R+¥

02+(t+3)lnt+2t+4dt

9) (** I)

R+¥

0xarctanx(1+x2)2dx10) (I très long)R+¥

0xlnx(x2+1)adx(calcul poura232

11) (***)

0ptanx dx12) (*** I)R+¥

0eatebtt

0ln(sinx)dx.

1) (** I)En utilisantJ=Rp=2

0ln(cosx)dx, calculerI(etJ).

2) (*** I)CalculerPn=Õn1k=1sinkp2n(commencer parP2n) et en déduireI.

11t, calculerR1

0lntt1dt.

0t1lntdt(en écrivantRx

0t1lntdt=Rx

0tlntdtRx

01lntdt).

1) (** I)Trouver un équivalent simple quandxtend vers+¥deex2R+¥

2) (***)Montrer queR+¥

3) (*)Montrer queR1

3+a2dxa!+¥1a

R+¥

1(1)E(x)x

1.Montrer que xf(x)tend vers 0 quandxtend vers+¥.

Existence et calcul de

R+¥