[PDF] Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

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Université des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf -Oran-

Faculté des Mathématiques et Informatiques

Département des Mathématiques

HAMDAOUI Abdenour

Polycopié

Séries et intégrales généralisées

Cours et exercices d"applications

Algérie 2016

1

Préface

Ce cours à destination des étudiants de deuxième année licence Mathématique LMD comporte le

module d"analyse 3. Il contient l"essentiel du cours avec des exemples. Des exercices d"applications

sont proposés avec des solutions en ...n de chaque chapitre pour permettre à l"étudiant de tester ses

connaissances et de se préparer aux tests et aux examens ...naux.

D"après mon expérience, lors de l"enseignement de ce module durant quelques années, j"ai décidé

de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à ce module.

Vu le programme proposé par le ministère, j"ai partagé ce modeste travail en deux parties essen-

tielles. La première partie contient les chapitres des séries numériques et la deuxième comporte le

chapitre des intégrales généralisées. J"ai commencé la présentation de cet ouvrage par un rappel sur

les suites numériques (module enseigné en L1).

Ensuite, j"ai présenté tous les autres chapitres qui sont programmés au module d"analyse 3, en

respectant le contenu et l"ordre des chapitres suivant le canevas donné par le ministère.

En...n, vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de ce module, j"ai constaté que

la majorité des étudiants ne donnent pas l"importance au cours et ils font des exercices en se basant

directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire d"abord le cours attentivement, de

faire tous les exemples cités après chaque résultat donné et en...n de passer à résoudre les exercices

proposé sans retourner au corrigé. Les solutions des exercices sont utiles uniquement pour tester le

Finalement, j"espère que ce document peut aider les étudiants qui veulent maîtriser bien cette

partie d"analyse mathématique. 2

Table des Matières

1 Rappels sur les suites numériques 6

1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 La monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Limite ...nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Limite in...nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Convergence d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Suite arithmétique et suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 Suite récurrente dé...nie par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Séries numériques 14

2.1 Dé...nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Critères générals de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Critère d"Abel pour les séries de la formeXu

nvn. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Série absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Produit des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

3 Suites de fonctions 50

3.1 Convergence simple (ponctuelle) d"une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Convergence uniforme d"une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Propriétés des suites de fonctions uniformément convergentes . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Séries de fonctions 67

4.1 Convergence simple ou ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Convergence absolue, normale et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Séries de fonctions : continuité, intégration et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Séries entières et séries de Fourier 90

5.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.1 Convergence d"une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.3 Application du Théorème de continuité, Théorème d"intégration et Théorème

de dérivation sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.4 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.1 Dé...nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2 Interprétation géométrique des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4

6 Intégrales généralisées 122

6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4 Intégrale des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 Intégrale des fonctions de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5.1 Critère d"Abel pour les intégrales de la formeZ

fg. . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6 Intégrales généralisées dépendant d"un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.6.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.6.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5

Chapitre 1

Rappels sur les suites numériques

Dé...nition 1.1On appellesuite numérique(ou suite de nombres réels) toute application dé...nie

deNà valeurs dansR;qui associe à tout entier naturelnle nombre réelu(n) =un; ( i.e.u:N!R= n7!u(n) =un). On note par(un)n2Nla suite numérique de terme généralun: Exemple 1.21.(n)n2Nest la suite de termes :0;1;2;3;4;:::

2.((1)n)n2Nest la suite qui alterne :1;1;1;1;:::

3.La suite(un)n2Ndé...nie paru0= 1; u1= 1et la relationun+2=un+1+unpourn2(suite

de Fibonacci). Les premiers termes sont1;1;2;3;5;8;13;:::chaque terme est la somme des deux précédents.

1.1 Propriétés

1.1.1 La monotonie

Dé...nition 1.3Soit(un)nune suite numérique. i) La suite(un)nest ditecroissante(resp.strictement croissante) si pour toutn:un+1un (resp.un+1> un). ii) La suite(un)nest ditedécroissante(resp.strictement décroissante) si pour toutn: u n+1un(resp.un+1< un). ii) La suite(un)nest ditemonotone(resp.strictement monotone) si elle véri...e i) ou ii). Exemple 1.4La suite(un)ntelle queun= 2n+ 3est strictement croissante, la suite(vn)ntel que v n=en2est strictement décroissante et la suite(wn)ntelle quewn=nenn"est ni croissante, ni décroissante. 6

Remarque 1.5Si(un)n2Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seule-

ment un+1u n1;pour toutn2N:

1.1.2 Suite majorée, minorée, bornée

Dé...nition 1.6Soit(un)nune suite réelle.

i) On dit que(un)nestmajorées"il existe un nombre réelMtel que pour toutn:unM: ii) On dit que(un)nestminorées"il existe un nombre réelmtel que pour toutn:unm: iii) On dit que(un)nestbornéesi elle est minorée et majorée. Proposition 1.7La suite(un)nest bornée si et seulement s"il existe un nombre réelM(>0);tel que pour toutn:junj M: Exemple 1.81.La suite(en)n2Nest une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1 (borne atteinte pourn= 0);elle est minorée par0mais cette valeur n"est jamais atteinte.

2.La suite(un)n2Ndé...nie parun=(1)nn

n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 12 (borne atteinte pourn= 2) et minorée par1;borne atteinte enn= 1. Dé...nition 1.9(Suite Stationnaire). La suite(un)n2Nest ditestationnaires"il existe un rang n

0(2N)tel que pour toutnn0:un=(2R):

Remarque 1.10i) Un cas particulier des suites stationnaires est les suitesconstantes(un= (2R)pour toutn2N). ii) Toute suite stationnaire est bornée.

1.2 Limite d"une suite

1.2.1 Limite ...nie

Dé...nition 1.11On dit qu"une suite numérique(un)ntend versl(l2R)quandntend vers l"in...ni et on notelimn!+1un=lsi :

8" >0;9N"2N=8n2N: (nN") junlj< "):

Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut del;à partir d"un certain rang. 7

1.2.2 Limite in...nie

Dé...nition 1.12i) On dit qu"une suite numérique(un)ntend vers+1quandntend vers l"in...ni et on notelimn!+1un= +1si :

8A >0;9n0(A)2N=8n2N: (nn0(A))un> A):

ii) On dit qu"une suite numérique(un)ntend vers1quandntend vers l"in...ni et on note lim n!+1un=1si :

8A >0;9n0(A)2N=8n2N: (nn0(A))un

1.2.3 Propriétés

Proposition 1.13Soit la suite numérique(un)n2N, alors on a i)limn!+1un=1 )limn!+11u n= 0: ii)limn!+1un= 0)limn!+11junj= +1: iii)limn!+1un= +1etlimn!+1vn= +1 )limn!+1(un+vn) = +1: iv)limn!+1un=1etlimn!+1vn=1 )limn!+1(un+vn) =1: v)limn!+1un= +1etlimn!+1vn=1 )limn!+1(un+vn) = +1 1(est une forme indéterminée): Proposition 1.14Soient(un)net(vn)ndeux suites tel quelimn!+1vn= +1: i) Si(un)nest minorée, alorslimn!+1(un+vn) = +1: ii) Si(un)nest minorée par un nombre >0;alorslimn!+1(unvn) = +1: iii) Silimn!+1un= 0etun>0pournassez grand, alorslimn!+11u n= +1:

1.2.4 Convergence d"une suite

Dé...nition 1.15Silimn!+1un=l(6=1)alors la suite(un)nest diteconvergenteversl:C"est-

à-dire, la suite de terme généralunconverge si et seulement siuntend vers une limite ...niellorsque

l"entierntend vers+1: Une suite qui ne converge pas, est ditedivergente. Autrement dit : une suite(un)nestconvergentesi elle admet une limite ...nie. Elle estdivergente sinon (c"est-à-dire soit la suite tend vers1, soit elle n"admet pas de limite). Exemple 1.161.La suite de terme généralun=nsinn ;converge vers;car pournassez grand on a :nsinn +1nn 8

2.Étudier la nature de la suite de terme généralun=qn:

lim n!+1qn=8 >>>>>:+1siq >1

1siq= 1

0si1< q <1

@siq 1; ainsi la suite de terme généralun=qnest convergente si et seulement siq2]1;1]: Proposition 1.17Toute suite convergente admet une limite ...nie et unique. Proposition 1.18Toute suite convergente est bornée. Théorème 1.19i) Toute suite croissante et majorée est convergente. ii) Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Exemple 1.20La suite de terme général

u n= 1 +12 2+13 2+14

2+:::+1n

2; est convergente. b) Montrons par récurrence que pour tout entier natureln1 :un21n

Pourn= 1;on aun= 1211

= 1:Fixonsnpour lequel on supposeun21n ;alors u n+1=un+1(n+ 1)2; et comme

1(n+ 1)21n(n+ 1)=1n

1n+ 1:Donc

u n+1=un+1(n+ 1)221n +1n 1n+ 1 = 21n+ 1; ce qui montre que la propriétéun21n est vraie pourn+ 1:Ainsi la proposition "pour tout entier natureln1 :un21n " est vraie. D"où la suite(un)nest majorée par 2.

D"après a) et b) la suite(un)nest convergente.

Remarque 1.21i) Une suite croissante et qui n"est pas majorée tend vers+1: ii) Une suite décroissante et qui n"est pas minorée tend vers1: 9 Proposition 1.22Soit(un)nune suite qui converge versl1et(vn)nune suite convergeant versl2; alors i) la suite(junj)nconverge versjl1j; ii) la suite(un+vn)nconverge versl1+l2; iii) la suite(unvn)nconverge versl1l2; iv) pour toutk2R;la suite(kun)nconverge verskl1; v) sil16= 0;alors la suite1u n n converge vers1l 1: Exemple 1.23Si la suite(un)nconverge verslalors la suite de terme généralj5un1ju

2n+ 3converge

vers j5l1jl 2+ 3: Proposition 1.24Si la suite(un)nest bornée etlimn!+1vn= 0;alorslimn!+1unvn= 0: Exemple 1.25Si(un)nest la suite donnée par :un= cos(n)et(vn)nest celle donnée parvn= 1n

22;alorslimn!+1unvn= 0:

Proposition 1.26i) Soient(un)net(vn)ndeux suitesconvergentestelles que :

9N2N;8n2N: (nN)unvn);alors

lim n!1unlimn!1vn: ii) Soient(un)net(vn)ndeux suites telles que :limn!+1un= +1et9N2N;8n2N: (nN)unvn); alors lim n!1vn=1:

Théorème 1.27(Théorème des gendarmes ou bien théorème de trois suites). Soient(un)n;

(vn)net(wn)ntrois suites numériques telles que i)8n2N:vnunwn et ii) limn!+1vn= limn!+1wn=l2R; alors la suite(un)nest convergente etlimn!+1un=l: Dé...nition 1.28(Suite de Cauchy). La suite(un)nest dite deCauchysi

8" >0;9N"2N=8p;q2N: (p > qN") jupuqj< "):

10

Remarque 1.29Soit(un)nune suite réelle, alors

(un)nest de Cauchy,(un)nconverge:

En général on utilise cette remarque pour étudier la convergence d"une suite numérique sans savoir

aucune information sur sa limite.

Exemple 1.30La suite de terme généralSn=nX

k=11k n"est pas de Cauchy. (Sn)nn"est pas de cauchy, 9" >0;8n2N=9p;q2N: (p > qnetjSpSqj "):

Pourp= 2n; q=non a

jSpSqj=jS2nSnj= 2nX k=n+11k n12n=12 donc il su¢ t de prendre"=12 :Ainsi(Sn)nn"est pas de Cauchy et par conséquent n"est pas convergente. Dé...nition 1.31(Sous suite ou bien suite extraite). Pour toute application':N!Nstricte-

ment croissante, la suite de terme généralu'(n)est appeléesous suiteou biensuite extraitede la

suite(un)n:

Remarque 1.32D"après l"unicité de la limite d"une suite convergente, toute sous suite d"une suite

convergente converge vers la même limite. Ainsi par la contraposée, s"il existe deux sous suites con-

Exemple 1.33Pour la suite de terme généralun= (1)n;on au2n= 1!n!+11etu2n+1=

1!n!+11:Ainsi(un)ndiverge.

Théorème 1.34(Théorème de Bolzano-Weierstrass). Toute suite bornée admet une sous-suite

convergente.

1.2.5 Suite arithmétique et suite géométrique

Dé...nition 1.35Soit(un)nune suite réelle.

i) Si pour toutn2N:un+1=un+a(a2R);la suite(un)nest dite suitearithmétiquede raison a. De plus la somme de sesn+ 1premier termes est S nA=nX k=0u k=n+ 12 (u0+un): 11 ii) Si pour toutn2N:un+1=qun(q2R);la suite(un)nest dite suitegéométriquede raison q. De plus la somme de sesn+ 1premier termes est S nG=8 >:n X k=0u k=u01qn+11qsiq6= 1 (n+ 1)u0siq= 1: Il est clair que pour toutn2N:un=qnu0;ainsi la suite(un)nest convergente si et seulement si q2]1;1]: Une condition nécessaire et su¢ sante pour que la suite(SnG)nsoit convergente estjqj<1:

1.2.6 Suites adjacentes

Dé...nition 1.36(Suites adjacentes). Deux suites numériques(un)net(vn)nsont ditesadjacentes si : i) l"une est croissante et l"autre décroissante, Proposition 1.37Si(un)net(vn)nsont deux suites adjacentes, alors ces deux suites convergent vers la même limite.

Exemple 1.38Les suites(un)net(vn)ntelles que

u n=nX k=11k

2= 1 +12

2+13 2+14

2+:::+1n

2etvn=un+2n+ 1

sont adjacentes. convergent donc vers une même limitel...nie (i.e.l2R).

1.2.7 Suite récurrente dé...nie par une fonction

Dé...nition 1.39Soitf:R!Rune fonction. Une suiterécurrente(un)nest dé...nie par son premier termeu0et une relation permettant de calculer les termes de proche en proche : u n+1=f(un)pourn0: 12

Une suite récurrente est donc dé...nie par deux données : un terme initialu0, et une relation de

récurrenceun+1=f(un). La suite s"écrit ainsi : u

0; u1=f(u0); u2=f(u1) =f(f(u0)); :::

Exemple 1.40Soitf(x) = 1 +px. Fixonsu0= 2et dé...nissons pourn0:un+1=f(un).

C"est-à-direun+1= 1 +pu

n. Alors les premiers termes de la suite sont :

2;1 +p2;1 +q1 +

p2;1 +r1 + q1 + p2;1 +s1 + r1 + q1 + p2; :::

La proposition suivante donne la règle essentielle pour calculer la limite d"une suite récurrente.

Proposition 1.41Sifest une fonction continue et la suite récurrente(un)ndé...nie par la relation

u n+1=f(un)pourn0;converge versl. Alorslest une solution de l"équation : f(l) =l: Remarque 1.42Si on arrive à montrer que la limite d"une suite récurrente(un)nexiste, alors la Proposition précédente permet de calculer les valeurs possible de cette limite. Proposition 1.43Sif: [a;b]![a;b]est une fonction continue et croissante, alors quel que soit u

02[a;b];la suite récurrente(un)ndé...nie par la relationun+1=f(un)pourn0;est croissante et

converge versl2[a;b];véri...antf(l) =l: 13

Chapitre 2

Séries numériques

2.1 Dé...nitions et généralités

Dé...nition 2.1Soit(un)n0une suite réelle.

L"expressionu0+u1+:::+un+:::=X

n0u nest appellée une serie numérique de terme généralun; et l"on note Xu nouX nu n:

La suite(Sn)n0oùSn=nX

k=0u k=u0+u1+:::+un, est appelée suite des sommes partielles de la série Xu n.

Dé...nition 2.2On dit que la sérieXu

nconverge(resp.diverge), si la suite de ses sommes partielles(Sn)nconverge (resp. diverge). Si la sérieXu nconverge, la limite de(Sn)nnotée+1X k=0u k=

Sest appelée la somme de la sérieXu

n.

Exemple 2.31.La sériegéométriqueX

n0q nest convergente si et seulement sijqj<1: siq6= 1;alorsSn=1qn+11qqui admet une limite ...nie si et seulement sijqj<1:

2.Soit la sérieX

n0uquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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