Daniel Alibert

Intégrales Généralisées

Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? 1 Finalement l'intégrale 6 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème ...

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

(iii) En déduire la valeur de l'intégrale. Corrigé de l'exercice 3.2. (i) Posons f(x) = 4x x4−1. La fonction f est définie et continue sur ]1 ;+∞[ donc

Exercices sur les intégrales généralisées

Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x. 6. Soit I = ∞. ∫. 0 e−t − e−2t t.

Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

nature dfune intégrale généralisée. Pour la suite nous utiliserons que les [13] Pierre Meunier Analyse

Exercices corrigés

1 n2 + 1 . Solution. Préliminaire. Notons le calcul suivant d'intégrale généralisée : ∫ ∞. 0 e−

Intégration Pascal Lainé 1

Allez à : Correction exercice 16. Exercice 17. Calculer par récurrence : = ∫ (ln Montrer que est une intégrale généralisée en 0 et en 1. 5. Montrer ...

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Exercices corrigés. Licence STS. L2 Mathématiques et Économie. Université Lyon Il faut faire attention au fait que l'intégrale est une intégrale généralisée ...

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 π ln 2 . Remarque : d'autres méthodes existent moins astucieuses. Exercice 14 : Nature de l'intégrale de Gauss ∫.

[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

= 0. On en déduit que / +∞. 0 sinx x dx est une intégrale convergente et

Intégrale de Riemann

3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a

Intégrales Généralisées

Allez à : Correction exercice 1 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ... Démontrer la convergence de l'intégrale ?.

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Posons f(x) = e?x. La fonction f est continue sur [0 ;+?[ donc pour étudier la conver- gence de l'intégrale il suffit de

Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

proposé sans retourner au corrigé. 6.5 Intégrale des fonctions de signe quelconque . ... 6.6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre .

Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Intégration : intégrale de Riemann primitives

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 et c'est cette limite que l'on nomme intégrale de f sur I. Pour des fonctions plus ... Exercice 1 : Convergence et calcul de I(a b) = ?.

TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrer que les intégrales

dx est une intégrale généralisée convergente. Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ?. 1.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Finalement l'intégrale 6 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème en +?. 1 ? cos(.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 12 ***. 1. Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +?. 0 f(x) dx converge en +?. Montrer que / +?.

Intégration : intégrale de Riemann, primitives, intégrales généralisées. Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l"une de ses bornes. Savoir calculer une primitive, une intégrale de Riemann. Savoir étudier une intégrale généralisée (ou impropre).

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte trois parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2.

Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires)

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Intégrale de Riemann ...................................... 7

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 11

1-3 Intégrales généralisées .................................. 21

2 Pour Voir ....................................................................... 25

2-1 Intégrale de Riemann .................................... 25

2-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

Primitives .............................................................. 59

2-3 Intégrales généralisées .................................. 88

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97

3-1 Énoncés des exercices ................................... 97

3-2 Corrigés des exercices ................................. 109

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Intégrale de Riemann

Définition

On appelle subdivision de [a , b] une famille finie :

L = (a = a0, a1,..., an = b)

On pose Li = [ai-1 , ai], et mes(Li) = ai - ai-1.

Ce nombre est la mesure du segment Li. Par convention, l"ensemble vide a une mesure égale à 0. La mesure d"un segment est un nombre réel positif ou nul.

Définition

Soit f : [a , b] --. R une fonction, on dit que f est une fonction en escalier, s"il existe une subdivision L telle que f soit constante sur chaque partie ]ai-1 , ai[, lorsque ce segment n"est pas vide. Dans ce cas, on note, par abus d"écriture, f(Li) la valeur de cette constante. La fonction f et la subdivision sont dites adaptées.

Proposition et

Définition

Soit f une fonction en escalier sur [a , b]. Le nombre : fLi( ) i=1 i=n∑ai-ai-1() est indépendant du choix de la subdivision adaptée L. Il s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], on le note : f a,b[ ]∫.

Proposition

La somme de deux fonctions en escalier sur le même segment est une fonction en escalier, et l"intégrale sur ce segment de la somme de deux fonctions est la somme de leurs intégrales. Le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier, mais l"intégrale d"un produit n"est pas égale, en général, au produit des intégrales.

Proposition

Si f est une fonction en escalier à valeurs positives ou nulle, son intégrale est positive ou nulle. Si f et g sont des fonctions en escalier sur le même segment [a , b], et si pour tout x de [a , b], f(x) ≥ g(x), alors l"intégrale de f est supérieure ou

égale à l"intégrale de g.

A partir de la définition de l"intégrale d"une fonction en escalier, on construit l"intégrale d"autres fonctions.

Soit f : [a , b]

→ R une fonction bornée.

On note E

-(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] inférieures à f, et E +(f) l"ensemble des fonctions en escalier sur [a , b] supérieures à f.

On note :

S -(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E-(f)}, et : S +(f) = {g a,b[ ]∫ / g Î E+(f)}. On notera que ces ensembles ne sont pas vides, puisque f est bornée. Tout élément de l"ensemble S+(f) est supérieur à tout élément de l"ensemble S -(f).

Définition

Soit f : [a , b] → R une fonction bornée, on dit que f est intégrable (au sens de Riemann) si sup(S-(f)) = inf(S+(f)). Ce nombre s"appelle l"intégrale de f sur [a , b], et se note fa,b[ ]∫. Il existe des fonctions qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann.

Théorème

Soit f : [a , b] → R une fonction continue, alors la fonction f est intégrable sur [a , b].

Proposition

1) Si f, f1 et f2 sont intégrables sur [a , b], alors f1 + f2 et lf (l réel

quelconque) sont également intégrables.

2) On a les égalités :

f1+f2()=a,b[ ]∫f1()+a,b[ ]∫f2(),a,b[ ]∫ lf( )=lf( )a,b[ ]∫a,b[ ]∫.

Proposition

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[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Organisation, mode d"emploi

Ce livre comporte trois parties.

3 - 2.

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Intégrale de Riemann ...................................... 7

1-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

1-3 Intégrales généralisées .................................. 21

2 Pour Voir ....................................................................... 25

2-1 Intégrale de Riemann .................................... 25

2-2 Intégrale fonction de la borne supérieure -

2-3 Intégrales généralisées .................................. 88

3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97

3-1 Énoncés des exercices ................................... 97

3-2 Corrigés des exercices ................................. 109

1 A Savoir

1-1 Intégrale de Riemann

Définition

L = (a = a0, a1,..., an = b)

On pose Li = [ai-1 , ai], et mes(Li) = ai - ai-1.

Définition

Proposition et

Définition

Proposition

Proposition

égale à l"intégrale de g.

Soit f : [a , b]

On note E

On note :

Définition

Théorème

Proposition

1) Si f, f1 et f2 sont intégrables sur [a , b], alors f1 + f2 et lf (l réel

2) On a les égalités :

Proposition