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Exercice 5 (Convergence locale de la méthode de Newton). Soit f : [a b] ?? R une fonction de classe C2 admettant un unique zéro ? ?]a

Résolution numérique déquations. (avec T.D.3 et T.P.2) 1

Exercice 1. On consid`ere l'équation f(x)=3x5 ?5x3 +1 = 0. Etudier les variations de f et en déduire le

Analyse Numérique - Exercices Corrigés

Exercice 4. Soit l'equation F(x)=2x3 ? x ? 2 . Il est clair que F est continue et dérivable sur R. On a F(1) = ?1F(2) = 12

Analyse Numérique

4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . 5 Résolution numérique d'équations di érentielles ... résoudre des équations non linéaires du type : f (x)=0.

Chapitre 1: Résolution déquations à laide de méthodes

Naturellement il faudra choisir la première approximation x

EXAMEN 1 - Corrigé

4) Nous ne répondrons à aucune question concernant ces exercices sauf si nous On veut calculer l'unique racine positive r de l'équation f(x)=0 où.

Analyse Numérique

Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique. Le Résolution de f(x)=0 par la méthode de dichotomie :.

Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires

En combinant (2) et (3) on voit qu'on peut prendre f(xi)=1 si li(x) ? 0 et f(xi) Exercice 4.10 On s'intéresse à la résolution numérique de l'équation ...

Corrigé du TD no 11

Passons à la résolution de l'exercice proprement dit. f (x)=3x2 + 2 est strictement positive sur R. Par conséquent f est strictement croissante sur R

Corrigé du TD : Résolution des équations non-linéaires f(x)=0

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le point fixe est répulsif 2 Soit f : R ? R donnée par f(x) = x3 ? 4x + 1 On se propose de résoudre numériquement l'équation f(x)=0(E)

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Par suite d'apr`es l'exercice 1 la convergence de la méthode de Newton est quadratique pour l'équation x = e?x x ? [0+?[ 3 2 Montrer que l'équation x =

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La méthode de Newton-Raphson est une procédure classique pour résoudre des équations du type f(x) = 0 par un processus itératif Ce type de résolution est très

1 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATION F ( X ) = 0

CHOKRI, BEKKEY; ZOUHAIER, HELALI

Ce document, destiné à des étudiants de L3, explique quelques méthodes permettant de trouver

numériquement les zéros de fonctions d"une variable réelle.

TABLE DES MATIÈRES

1. Introduction

1.1. Préambule

1.2. Exemple motivant : équation d"état d"un gaz

1.3. Rappels d"analyse

1.4. Critère d"arrêt pour la résolution numérique de f(x) = 0

2. Méthode de dichotomie

2.1. Principe6

2.2. Etude de la convergence

2.3. Test d"arrêt

3. Méthode de point fixe

3.1. Principe8

3.2. Point attractif

3.3. Point répulsif

3.4. Point douteux

3.5. Ordre de convergence

3.6. Test d"arrêt

4. Méthode de Newton

4.1. Principe et convergence

4.2. Illustration graphique

4.3. Méthode de Newton modifiée

4.4. Théorème de convergence globale

4.5. Test d"arrêt

5. Méthode de Lagrange

5.1. Principe

5.2. Interprétation géométrique

5.3. Convergence

6. Bibliographie

7. Exercices

Index25

1. INTRODUCTION

1.1.Préambule.L"étude générale des fonctions à variables réelles nécessite de temps à autre la

résolution d"équations de typef(x) =0. Autrement dit, nous sommes amenés à trouver les zéros de1. Ce travail a été réalisé à l"occasion d"un projet Tempus, action JEP-31147-2003, impliquant d"une part l"université

Paris-Sud, l"université de Lille (USTL) et l"université de Delft (TU Delft) et d"autre part l"université de Monastir (ISM et

FSM) et l"université de Sousse (ISITC)

2 CHOKRI, BEKKEY; ZOUHAIER, HELALI

fonctions non linéaires, c"est-à-dire les valeurs réellesatelles que f(a) =0; ou, ce qui est équivalent, à résoudre une équation de type g(x) =x:

1.2.Exemple motivant : équation d"état d"un gaz.On veut déterminer le volumeVoccupé par un

gaz de températureTet de pressionp. L"équation d"état (c"est-à-dire l"équation qui liep;VetT) est :

[p+aNV 2 ](VNb) =kNT

oùaetbsont deux coefficients dépendants de la nature du gaz,Nle nombre de molécules contenues

dans le volumeVetkla constante de Boltzmann. Il faut donc résoudre une équation non linéaire

d"inconnueV. Ceci revient à trouver les zéros de la fonction : f(V) = [p+aNV 2 ](VNb)kNT:

Dans le cas le plus général, il s"agit de résoudre une équation non linéaire dont on n"est pas capable

de trouver une solution exacte. Dans ce cas, on dispose de quelques méthodes numériques exécutables

sur des logiciels commeMatlab, Maple, Octave, Scilabpour approximer la solution exacte. Ces mé-

thodes numériques sont toutes basées sur la construction d"une suite(xn)n2Nconvergeant vers un réel

avérifiantf(a) =0.

Dans ce document, nous allons traiter quatre méthodes : la méthode de dichotomie, de point fixe,

de Newton et de Lagrange. Pour le faire, nous avons besoin de quelques rappels d"analyse.

1.3.Rappels d"analyse.Une équation de typef(x) =0 peut être écrite d"une manière équivalente

sous la forme deg(x) =x. La fonctiongest une fonction dépendante defnon unique comme le montre l"exemple suivant : Exemple 1.Sif(x) =sin(2x)1+x=0;la fonctiongpeut être g(x) =1sin(2x);x2R ou g(x) =12 arcsin(1x);0x1: Les instructionsMatlabsuivantes permettent de tracer les représentations graphiques de ces fonc- tions, y compris celle de la droitey=x:

Code Matlab 1.x= 0:0.001:1;

f inline sin (2x)1+ x ");g1= inline ( "1sin(2x)");g2= inline ( "1/2(asin(1x))");h= inline ( "x"); plot x f x

" .b",x ,g1 (x)," .b",x ,g2 (x)," b",x ,h (x),"b");legend("f"," y=1sin(2x)"," y=1/2(Arcsin(1x))"," y=x");gridon ;

ylabel y x xlabel x RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATION F ( X ) = 0 3 On voit bien quefadmet un unique zéroa2[0;1]et que les graphes des fonctions y=x;y=1sin(2x);ety=1=2(arcsin(1x)) se coupent en(a;a).

1.3.1.Point fixe.

Définition 1.Un réell2[a;b]est ditpoint fixed"une fonctiong:[a;b]!Rsi g(l) =l

1.3.2.Multiplicité d"une racine, fonction contractante.

Définition 2.Soitpun entier etfune fonctionpfois dérivable. (1) On dit que aest un zéro defde multiplicitépsi f(a) =f(1)(a) =:::=f(p1)(a) =0 etf(p)(a)6=0: (2) Un zérodemultiplicité1(respectivement2)estappeléunzérosimple(respectivementdouble). Définition 3.Soitk2]0;1[. Une fonctiong:[a;b]!Rest ditefonction contractantede rapportk si

8x;y2[a;b];jg(x)g(y)j kjxyj

Remarque 1.(1)Soit g2C1([a;b]). Si

jg0(x)j<1;8x2[a;b]; alorsgest contractante sur[a;b]. (2)

Une fonction contractante est c ontinue.

1.3.3.Théorème de point fixe.

Théorème 1.Soit g:[a;b]![a;b]une fonction contractante de rapport k. Alors g admet un unique point fixe l2[a;b].

De plus, pour tout choix de x

02[a;b];la suite définie par xn+1=g(xn);8n0converge vers l quand

n!+¥. Démonstration.Etape 1 :Existence de l et convergence de la suite Remarquons d"abord queg([a;b])[a;b]ce qui implique que la suite(xn)est bien définie. Soitx0 dans[a;b]etxn+1=g(xn);8n0. Nous allons montrer :

4 CHOKRI, BEKKEY; ZOUHAIER, HELALI

(1)(xn)est de Cauchy (donc convergente, car[a;b]est complet) (2)xn!lquandn!+¥;oùlest un point fixe deg.

Par hypothèse, on sait que

8n1;jxnxn+1j=jg(xn1)g(xn)j kjxn1xnj:

Par récurrence surn;on obtient :

jxnxn+1j knjx0x1j;8n0:

Soitn0 etp1;on a donc :

jxn+pxnj jxn+pxn+p1j++jxn+1xnj på q=1jxn+qxn+q1j ()på q=1kn+q1jx1x0j jx1x0jkn1+k++kp1 jx1x0jkn1k!0 quandn!+¥cark<1 La suite(xn)est donc de Cauchy dans[a;b]qui est complet et par conséquent(xn)converge vers une limitelquandn!+¥. Comme la fonctiongest contractante, elle est continue, et doncg(xn)!

g(l)quandn!+¥. En passant à la limite dans l"égalité :xn+1=g(xn);on en déduit quel=g(l);

c"est à dire quelest un point fixe deg.

Etape 2 :Unicité

Soientl1etl2deux points fixes deg;doncl1=g(l1)etl2=g(l2);alorsjg(l1)g(l2)j=jl1l2j kjl1l2j; commek<1;ceci est impossible sauf sil1=l2. Remarque 2.Sigest une application vérifiantg([a;b])[a;b] jg0(x)j<1;8x2[a;b] alors la suite définie parxn+1=g(xn);8n0 converge vers l"unique point fixeldegsur[a;b]pour tout choix dex02[a;b]. De plus en faisant tendrepvers l"infini dans()et en gardantn;on obtient : jxnlj jx1x0jkn1k;8n2Naveck=maxx2[a;b]jg0(x)j

1.3.4.Fonctions convexes.

Définition 4(fonction convexe).SoitIun intervalle deR. Une fonctionf:I!Rest diteconvexe sur I si Si l"inégalité est stricte,fest ditestrictement convexe. Proposition 1.Si I= [a;b];a2]a;b[et f:I!Rconvexe, alors la fonction F a:x!Fa(x) =f(x)f(a)xa est croissante sur Infag. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATION F ( X ) = 0 5 Proposition 2.Si f:IR!Rest deux fois dérivable, alors : f (2)0=)f convexe f (2)>0=)f strictement convexe Définition 5.On dit quef:IR!Restconcavesur I si(f)est convexe surI.

1.3.5.Vitesse de convergence d"une suite.

Définition 6.Soit(xn)n2Nune suite convergente versa. On appelleordre de convergencede la suite (xn)le réel fini ou infinir>0 défini par : r=sup s2R+tel que limn!+¥jxn+1ajjxnajs<¥ (1) Si r=2, on dit que la convergence de(xn)estquadratique. (2) Si r=3, on dit que la convergence de(xn)estcubique. (3) Supposons que l"ordre de con vergencede la suite (xn)estr=1 et que : lim n!+¥jxn+1ajjxnaj=k1 (a) Si 0 1.4.Critère d"arrêt pour la résolution numérique de f(x) = 0.Une fois construite la suite(xn)

convergeant verslvérifiantg(l) =l;quand peut-on arrêter les itérations de l"algorithme numérique si

l"on désire déterminer une valeur approchée delavec une toléranceefixée à l"avance. Un bon critère

d"arrêt est lecontrôle de l"incrément: (1) On constate la con vergence: les résul tatsnumériques se stabilisent. (2) On s"arrête à l"itération n0si on peut montrer théoriquement que :

8nn0;jxn+1xnj
6 CHOKRI, BEKKEY; ZOUHAIER, HELALI
Exemple 3.Soitf(x) =x34x+1. On vérifie quefadmet 3 racines réellesl12[2:5;2]l22 [0;0:5]etl32[1:5;2]en posant g(x) =xx34x+13x24=2x313x24
Un simple calcul donne les valeurs suivantes :x
0-202 x
1-2.1250.251.875
x
2-2.1149754500.2540983011.860978520
x
3-2.1149075450.2541016881.860805877
x
4-2.1149075410.2541016881.860805853
x
5-2.1149075410.2541016881.860805853
x 6x 7x
8On constate que les valeurs numériques se stabilisent et on a alors les valeurs approchées del1;l2et
l
3à environ 109près.

2. MÉTHODE DE DICHOTOMIE

2.1.Principe.Considérons une fonctionfcontinue sur un intervalle[a;b]. On suppose quefadmet
une et une seule racineadans]a;b[et quef(a):f(b)<0. On note c=a+b2 le milieu de l"intervalle. (1) Si f(c) =0;c"est la racine defet le problème est résolu. (2)
Si f(c)6=0;nous regardons le signe def(a):f(c).
(a)
Si f(a):f(c)<0;alorsa2]a;c[
(b)
Si f(c):f(b)<0;alorsa2]c;b[
On recommence le processus en prenant l"intervalle[a;c]au lieu de[a;b]dans le premier cas, et
l"intervalle[c;b]au lieu de[a;b]dans le second cas. De cette manière, on construit par récurrence
surntrois suites(an),(bn)et(cn)telles quea0=a;b0=bet telles que pour toutn0, (1)cn=an+bn2 (2)
Si f(cn):f(bn)<0 alorsan+1=cnetbn+1=bn.
(3)
Si f(cn):f(an)<0 alorsan+1=anetbn+1=cn.
L"algorithme ci-dessus s"appelle l"algorithme dedichotomie.
2.2.Etude de la convergence.

Théorème 2.Soit f une fonction continue sur[a;b];vérifiant f(a):f(b)<0et soita2[a;b]l"unique

solution de l"équation f(x) =0. Si l"algorithme de dichotomie arrive jusqu"à l"étape n alors on a
l"estimation : jacnj ba2 n+1: Par conséquent, la suite(cn)converge versa. C"est aussi vrai si(cn) =a.
Démonstration.Il suffit de remarquer qu"à chaque itération, on divise l"intervalle par deux.
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATION F ( X ) = 0 7
2.3.Test d"arrêt.Pour que la valeur decnde la suite à lan-ième itération soit une valeur approchée
deaàe>0 près, il suffit quenvérifie :ba2 n+1e
On a alors :
jacnj ba2 n+1equotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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