[PDF] Exercices de travaux dirigés avec correction

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Faculté des Sciences et Techniques Errachidia

Module . Méthodes numériques (M148)

S4, Parcours . MIPExercices de travaux dirigés avec correctionA.U. ?019/?0?0

Annee U. : 2019/2020

Module : M148

Serie n

01

Exercice 1:

On considere (n+ 1) points distinctsfx0;x1;;xng.

1. Mon trerque les p olyn^omesfligi=0,...,nde Lagrange forment une base dePn(l'espace vec- toriel des polyn^omes de degren), verientli(xk) =i,koui,k=8 :1 sii=k

0 sii6=k

2.

Mon trerque 80mnon a :nX

i=0l i(x)xmi=xm:

Exercice 2:

On considere une fonctionf2Cn+1([a;b]), (n+ 1) noeuds distinctsf(xi;yi)gi=0,...,navec (yi:=f(xi)), et on note!i(x) =i1Y j=0(xxj), le polyn^ome de degreiassocies aux points fxjgj=0,...,i1. 1. Mon trerque le p olyn^omequi in terpolefaux noeudsf(xi;yi)gi=0,...,n, s'ecrit P n(x) =nX i=0! n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)yi: 2. Mon trerque : 8x2[a;b],9x2[a;b] tel queEn(x) :=f(x)Pn(x) =f(n+1)(x)Qn i=0(xxi)(n+ 1)!:

Exercice 3:

1. D eterminerle p olyn^omed'in terpolationde Lagrange relatif au tableau suiv ant: 1 0235
-12987 2. Retrouv erce p olyn^omed'in terpolation,en utilisan tcette fois la m ethodede Newton.

Exercice 4:

On veut interpolerf(x) = ln(x) par un polyn^ome aux pointsx0= 1; x1= 2; x2= 3; x3= 4 et x 4= 5: 1. T rouverune express ionalg ebriquede ce p olyn^omeen utilisan tla m ethodede Newton. 2. Estimer la v aleurde f(6:32) avec le polyn^ome trouve en 1 puis calculer l'erreur absolue.

Exercice 5:

Soient2]0;1[ etfune fonction de classeC3(0;1]). On notea=f(0) etb=f(1).

1. Determiner le polyn^ome de NewtonP?qui interpolefaux points 0; et 1.

2. Montrer que pour toutxdans l'intervalle [0;1]

lim ?!1P?(x) = (ab+f0(1))x2+ (2b2af0(1))x+a=P(x):

3. Verier que le polyn^omePest l'unique polyn^ome de degre 2 qui verie

P(0) =f(0); P(1) =f(1) etP0(1) =f0(1).

4. Pourx2]0;1[ xe, on considere la fonction sur [0;1] denie par

(t) =f(t)P(t)f(x)P(x)x(x1)2t(t1)2:

Verier que (0) = (1) = (x) = 0 et que 0(1) = 0.

5. En deduire qu'il existex2]0;1[ tel que (3)(x) = 0 et que

f(x)P(x) =f(3)(x)6 x(x1)2: 2 ?? ???? (n+1)? ????fx0;x1;;xng? ??? ??? ??? ???? fligi=0;:::;n?? ??? ?? ??? ???? ??Pn???? ???? ??? ???? ?? n??? ???li(xk) =i;k?? i;k=1??i=k

0??i6=k

dim(Pn) =n+ 1 =card(flig)? ????i= 0;1;:::;n?? ???? ?? ?? ??? ?? ??fligi=0;::;n??? ? ????i2K?K=R??C?? ???? n X i=0 ili(x) = 0() 8k= 0;1;:::;n:nX i=0 ili(xk) = 0 =) 8k= 0;1;:::;n:nX i=0 ii;k= 0 =) 8k= 0;1;:::;n:k= 0: ???? ???? ??? ?? ??fligi=0;::;n??? ?? ??? ??? ??? ???? ?? P n? ?? ???? ?? ?? ? ? ??? ? ??f2Cn+1([a;b])???? ? f(x) =P(x) +En(x) =nX i=0l i(x)f(xi) +f(n+1)(x)(n+ 1)!n Y i=0(xxi): ???? ??? ??? ?? ??? ??? ? ???f(x) =xm? ??? ??? ?? ??? ?? ?C1????R?? ??? x m=nX i=0l i(x)xmi+f(n+1)(x)(n+ 1)!n Y i=0(xxi): ??f(n+1)0???mn? ????nX i=0l i(x)xmi=xm8x2R? ?? ????(n+ 1)? ????f(xi;yi)gi=0;:::;n? ?? ?? ????!i(x) =i1Y j=0(xxj)? ?? ??? ?? i??? ??? ?fxjgj=0;:::;i1? ??? ??? ?? ? ? ???? ?? ????f(xi;yi)gi=0;:::;n? ?? P n(x) =nX i=0! n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)yi ?? ???? ?? ?? ???8i= 0;:::;n l i(x) =!n+1(x)(xxi)!0n+1(xi) ??li??? ??i? ?? ?? ???? ?? ???? ??? ? l i(x) =nY j= 0 j6=i(xxj)(xixj) ?? ?!0n+1(xi) = limx7!xi! n+1(x)!n+1(xi)xxi? ??!n+1(xi) = 0? ??? ???(xxi)? ?? ??

0n+1(xi) = limx7!xin

Y j= 0 j6=i(xxj) =nY j= 0 j6=i(xixj) ?? ?? ???x!Q(xxj)??? ??? ? ?? !0n+1(xi)??? ?? ? ??? ?? ???? n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)=li(x): ?? x=xiEn(x) = 0?? ???? ??? ?? ??? ???? ???x6=xi8i= 0;1;:::;n?? ? ????x2[a;b]??? ?? ??? g? ???g(t) =En(t)R(t)R(x)En(x);????R(x) =Qn i=0(xxi)? ?? ??? g2Cn+1([a;b])?? ??? ??(n+2)? ??? ?? ???? ? ???? ?x?? x i????i= 0;1;:::;n?? ?? ??? ?? ? ???g0(n+ 1)?? ????[a;b]? ?? ???? ??? ??? ?? ?? ??g? ?? ??? g (n+1) ?? ??? ? ????[a;b]? ????x ?? ?? ?

0 =g(n+1)(x) =f(n+1)(x)(n+ 1)!R(x)En(x);

????En(x) =f(n+1)(x)(n+ 1)!R(x): ??? ?(n+ 1)!??? ?? ?? ??(n+ 1)?? ??? ???R(t):

0 =x02 =x13 =x25 =x31 =y02 =y19 =y287 =y3?? ?4?? ???? ?? ???p ???? ?? 3

P

3(x) =3X

i=0l i(x)yi??li(x) =3Y j= 0 j6=i(xxj)(xixj) ?? ? ???li ?l0(x) =(x2)(x3)(x5)30?l1(x) =x(x3)(x5)6 ?l2(x) =x(x2)(x5)6?? l

3(x) =x(x2)(x3)30

? ????P3(x) =5330 x37x2+25330 x1 f[x0;x1]?f[x0;x1;x2]? ??f[x0;x1;x2;x3] P

3(x) =f[x0] + (xx0)f[x0;x1] + (xx0)(xx1)f[x0;x1;x2] + (xx0)(xx1)(x

x

2)f[x0;x1;x2;x3]

x

0f(x0)

x

1f(x1)f[x0;x1]

x

2f(x2)f[x1;x2]f[x0;x1;x2]

x

3f(x3)f[x2;x3]f[x1;x2;x3]f[x0;x1;x2;x3]

01

22 3=2

39 7 11=6

587 39 32=3 53=30

?? ???? ??? ?? ??? ?? ??P3(x) =1+x32 +x(x2)116 +x(x2)(x3)5330 ?? ?? ? ?? ???P3(x) ==5330 x37x2+25330 x1: ??? ? ??? ????f(x) = lnx??? ?? ???? ??? ???? ??? ?? ? ? ? ? ???? ?? ?? ??? ???4:?? ??? ?? ? ??? ??? ? p n(x) =a0+a1(xx0) +a2(xx0)(xx1) ++ +an(xx0)(xxn1) ??ai=f[x0;;xi]??? ?? ???? ???? ??? ???? ??? ???? f[xi;xi+1] =f(xi+1)f(xi)x i+1xi f[xi;xi+1;xi+2] =f[xi+1;xi+2]f[xi;xi+1]x i+2xi f[x0;;xn] =f[x1;;xn]f[x0;;xn1]x nx0 p

4(x) =a0+a1(xx0) +a2(xx0)(xx1) +a3(xx0)(xx1)(xx2)

+a4(xx0)(xx1)(xx2)(xx3) =f(x0) +f[x0;x1](xx0) +f[x0;x1;x2](xx0)(xx1) +Z [x0;x1;x2;x3](xx0)(xx1)(xx2) +f[x0;x1;x2;x3;x4](xx0)(xx1)(xx2)(xx3) =0;6931471806(x1)0;1438410361(x1)(x2) + 0;02831650597(x1)(x2)(x3)0;004860605018(x1)(x2)(x3)(x4) pquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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