Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
formule de Newton qui consiste à écrire le polynôme Pn aux points x0 kf. Lnk1 c n2 et donc que fn converge uniformément vers f lorsque n tend vers l'infini ...
Exercices de travaux dirigés avec correction
Retrouver ce polynôme d'interpolation en utilisant cette fois la méthode de Newton. Interpolation polynômiale : Correction de la série 1. Exercice 1 : 1. On ...
Chapitre II Interpolation et Approximation
2 1). FIG. II.2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation. Dans tous ces calculs
Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale
Exercice 1. ∑. ∏ . On veut démontrer que pour i = 0
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Q(X) = 2(X − 1)(X +1)+(X − 1)(X + 1)(X − 2). Exercice 10. (partiel 2003). 1. Rappeler l'expression de la base de Newton de R5[X] associée aux noeuds
Exercices dentraınement : Eléments de réponse
FIN DE LA CORRECTION. 6. Page 7. Th`eme - 2 Interpolation de Lagrange : Rappel sur la méthode de Newton. Soit donnés une fonction f de classe Cn+1 et n + 1
Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5
i = 0 à 4. (b) Ecrire le polynôme d'interpolation R4 construit à l'aide de la formule de Newton régressive : interpolation polynomiale pour obtenir des ...
Analyse Numérique
Exercices du chapitre 1 ... INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE satisfasse (3.17) aux points.
Table des matières
17 avr. 2021 Interpolation polynomiale intégration numérique
Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercice 3. Avec quelle précision peut-on calculer √115 `a l'aide de l'interpolation de Lagrange si on prend les points : x0 = 100
Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Interpolation polynomiale. Exercice 1. formule de Newton qui consiste à écrire le polynôme Pn aux points x0 ...
Exercices dentra?nement : Eléments de réponse
Th`eme - 1 Interpolation polynomiale : Apprentissage du cours. Exercice-1-1 : Calcul de P2 par utilisation de la base de Newton.
Analyse Numérique
3 Interpolation et approximation polynômiale Si on revient à l'algorithme 2.3 de Newton on voit qu'il s'agit en fait d'un algorithme.
Analyse
Jul 2 2010 Exercice ƒ : interpolation polynomiale [2 pt] . ... [2 pt] Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f ...
Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale
Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale. Exercice 1. ?. ? . On veut démontrer que pour i = 0
Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5
Ecrire le polynôme d'interpolation de f noté P4
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Q(X) = 2(X ? 1)(X +1)+(X ? 1)(X + 1)(X ? 2). Exercice 10. (partiel 2003). 1. Rappeler l'expression de la base de Newton de R5[X] associée aux noeuds
Exercices de travaux dirigés avec correction
Exercice 1 : Déterminer le polynôme de Newton P? qui interpole f aux points 0 ? et 1. ... Interpolation polynômiale : Correction de la série 1.
Réponses aux exercices du chapitre 5
Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : a) Trouver une expression algébrique de ce polynôme en utilisant la méthode de Newton.
Exercices de mathématiques - Exo7
Tous les exercices. Table des matières 324 450.00 Interpolation polynomiale ... Exercice 224. En utilisant la formule du binôme de Newton montrer que.
L2EcoMaths/InfoMaths/Maths
Math209Analyse & Simulations
Universit
´e Paris-Sud Ann´ee20192020©Jean-Baptiste APOUNG KAMGAExercices d"entra
ˆınement :El ´ements de r´eponseTh
`eme -1Interpolation polynomiale : Apprentissage du coursExercice-1-1:Familiarisation avec le r´esultat principal du coursSoitfde classeCn+1sur]a;b[etPnson polynˆome d"interpolation de Lagrange aux points deux`a deux distincts
x0;:::;xn. On a l"estimation d"erreur suivante :
8< :8x2[a;b];9tx2]a;b[tel que E n(x) = (xx0):::(xxn)f(n+1)(tx)(n+ 1)!(1) Ce r ´esultat a´et´e d´emontr´e en cours.Exercice-1-2:Calcul
`a la main des polynˆomes d"interpolationOn se place dans le cas particulier suivant : f(x) =4x a= 1; b= 4; n= 2;x0= 1;x1= 2;x2= 4(2)Q-2-1:Calcul deP2par utilisation de la base de LagrangeOn construit la base de Lagrange, i.e les 3 polyn
ˆomesli(x);i= 0;1;2tels queli(xj) =1sij==i
0sinon
ix iy i=f(xi)l i(x)014(x2)(x4)(12)(14)122(x1)(x4)(21)(24)241(x1)(x2)(41)(42)Et on d ´efinitP2(x) =y0l0(x) +y1l1(x) +y2l2(x). Et apr`es calculs,P2(x) = 772 x+12x2Calcul deP2par utilisation de la base de Newton(Nous n"avons pas fait cette interpolation en cours: voir donc Th`eme2 en fin de ce document pour rappels)
La base de Newton est dans le cas pr
´esent :w0(x) = 1; w1(x) =xx0; w2= (xx0)(xx1).
On d´etermine les coefficients du polynˆome d"interpolation de Lagrange dans cette base par construction de la matrice
(triangulaire inf ´erieure) des diff´erences divis´ees :(di;j)0ji2, via la relation : 8< :d i;0=yi;0i2 d i;j=di;j1di1;j1x ixij;1j2;etji2 Les´el´ements diagonaux sont alors les coefficients recherch´es:P2(x) =d0;0w0(x) +d1;1w1(x) +d2;2w2(x).
1 On organise les calculs en introduisant la table dite des diff´erences divis´ees :
ix id i;0:=yid i;1d i;20141222241
1212
Ainsi,P2(x) = 42(x1) +12
(x1)(x2), soit encoreP2(x) = 772 x+12 x2. Q-2-2:On d´eduit alors l"expression deE2(x) =f(x)P2(x),`a savoirE2(x) =4x 7 +72 x12x2Q-2-2-1:Expression detxde la formule (1) pourx2[1;4].Soitx2[1;4]. La fonctionf´etant de classeC3sur]1;4[, par application du r´esultat de l"exercice 1, on a d"une part
l"existence detx2]1;4[tel queE2(x) = (x1)(x2)(x4)f000(tx)6 . Soit, puisquef000(x) =24x 4, E2(x) =(x1)(x2)(x4)4t
4x(3)Par ailleurs, on a aussiE2(x) =4x
7+72 x12 x2=814x+7x2x32x.On factorise alors le num´erateur de cette derni`ere en remarquant que l"erreur d"interpolation s"annule aux points d"interpolation. On obtient E2(x) =(x1)(x2)(x4)2x:(4)
Et par comparaison de (3) et (4), on obtient l"
´equation12x=4t
4xd"o`u l"on tiretx= (8x)14.
Figure 1: Erreur d"interpolationE2(x)Figure 2: Apports dew3etf(3)(tx)3! dans l"erreurE2(x) Q-2-2-2:Quantification des apports de(x1)(x2)(x4)etf(3)(tx)3! dans l"erreurE2(x).On ajE2(x)j=jw3(x)j4t 4x , o`uw3(x) = (x1)(x2)(x4).Or sur[1;4], on amax1x4jw3(x)j j w3(3)j=2 >12
= max1x412x=max 1x4f (3)(tx)3!.Il appara
ˆıt pour ce probl`eme particulier que la contribution dejw3(x)jdans l"erreur est bien plus importante.
Ceci motive sur le fait que dans la th
´eorie de l"interpolation, il faudra investir dans la r´eduction de la contribution de cette quantit ´e, par exemple par un choix convenable des pointsxi(voir cours sur ph´enom`ene de Runge)Comme conseill
´e, on peut s"aider de graphique pour mieux s"en rendre compte: voir Figure 2 2Q-2-3:Montrons queE2atteint sa valeur maximale en un point~xsur[2;4].La Figure 1 permet encore de fournir une r
´eponse.Laissons le en exercice.
Proposons ici une autre d
´emonstration:
On sait queE2est de classeC2sur]1;4[. Si elle atteint donc sa valeur maximale en un pointxsur]1;4[ce point annulera
sa d´eriv´ee :E0
2(x) = 0. Dressons donc le tableau de variation deE0
2(x)afin de conclure.
En effet, nous avonsE0
2(x) =72
x4x2etE00
2(x) =8x3x
3.x E 00 2(x)E 0 2E 0 2(x)E21~x12~x24
++0 32321
21
2 34
3400
0++0 00 E
2(~x1)E
2(~x1)E
2(~x2)E
2(~x2)000
Ainsi :
•E002s"annule enx= 2, est strictement positive sur]1;2[et strictement n´egative sur]2;4[.
Puisque E0
2(1) =32
<0,E02(2) =12
>0,E02(4) =34
<0,E02s"annule en exactement deux points~x12]1;2[
et~x22]2;4[.CommeE00
2(~x2)<0etE00
2(~x1)>0, c"est donc~x2qui r´ealise le maximum deE2sur]1;4[pendant que~x1r´ealise le
minimum deE2sur]1;4[.Attention, m
ˆeme si ce n"est pas le but de la question, un travail suppl´ementaire est n´ecessaire pour identifier lequel de
jE2(~x1)jetjE2(~x2)jcorrespond au maximum dejE2jsur[1;4]. Ceci est visible graphiquement voir Figure 1. La preuve
est laiss ´ee commeexercice d"exploration, au terme duquel on a bien~x= ~x2. Q-2-4:On a d´ej`a montr´e ci-dessus que~xest racineE02donc deg(x) =72
x4x 2.Q-2-5:De l"´etude du sens de variation men´ee ci-dessus, il d´ecoule quegest strictement d´ecroissante sur[2;4].
Elle est donc injective sur cet intervalle et r
´ealise une bijection entre cet intervalle et son image :[34 ;12Comme02[34
;12 ], il vient queg1(0)existe et est unique. Org(~x) = 0d"o`u~x=g1(0). Exercice-1-3:Exemple d"utilisation de l"interpolation polynomialeOn souhaite utiliser les polyn
ˆomes d"interpolation deg1pour approcher~x.
Q-3-1:On posey0=g(2),y1=g(4). Soitq1le polynˆome d"interpolation aux points(y0;2);(y1;4). Il est donn´ee par (on utilise ici la base de Lagrange, voir la question Q-3-3 pour l"utilisation de la base de Newton):
q1(y) = 2yy1y
0y1+ 4yy0y
1y0=148y5
3Q-3-2:On´evalue alorsq1(0) =145
.Montrons qu"on obtient ainsi une approximation de de~x.En effet,q1´etant une approximation deg1, il en d´ecoule que145
est une approximation de~x. La r´eponse`a la question s"arrˆete l`a. N´eanmoins on peut aller plus loin. Il est conseill´e dans ce cas d"utiliser une
approche graphique beaucoup plus abordable (voir deuxi `eme colonne ci-dessous : Approche 2).Approche 1: Puisquegest de classeC2avecg0(x)6= 0sur]2;4[, il vient que g1est continue sur[34
;12 ]et de classeC2sur]34 ;12 [avec (g1)00(y) =g00(x)(g0(x))38y2]34 ;12 [tel quey=g(x).Les conditions d"application du r
´esultat de l"exercice 1 sont donc
r´eunies:9!t0234
;12 tel que g1(0)q1(0) = (012
)(0 +34 )(g1)00(t0)2Soit encore~x145
=316 (g1)00(t0) =92 a 50(a308)3o`ut0=g(a0).
Ainsi,8a2]2;4[tel queaa0, on a :j~x145
j 92a5(a38)3.
Il s"av
`ere pour cet exemple qu"on peut prendrea=145 . D`es lors, j~x145 j 945393753315274240:2852:Approche 2:
La hauteur de la partie hachur
´ee majorej~x145
j i.ej~x145j 3:12:8 = 0:3Q-3-3:Fort de ce qui pr´ec`ede on peut donc construire la suite(xn)nd"approximation de~xpar la formule8<
:x0= 2;x1= 4
8n= 1;:::
x n+1=qn(0);avecqnle polynˆome interpolateur aux points(g(xi);xi);i= 0;:::;n(5)Q-3-3-3:D´eterminonsx3,x4.
L"organisation des calculs se fait comme illustr
´ee ci-dessous :
un script Python d ´ecrivant encore mieux cette organisation est fourni, voir Listing1.On commence par compl ´eter la ligne correspondante de la table des diff´erences divis´ees: 1)!iy ix id i;101 221 344
85
On construit le polyn
ˆome d"interpolationq1(y) = 285
(y12 )et on d´eduitx2=q1(0) =145
On compl
`ete ensuite la ligne correspondant`ai= 2: 2)!iy ix id i;1d i;201 221 344
852g(145
)1453)!iy
ix id i;1d i;201 221 344
85293
49014
5
392307
60765833
On peut alors calculer le polyn
ˆome d"interpolationq2(y)= q1(y)60765833
(y12 )(y+34 duquel on d´eduitx3=q2(0) =x260765833
(12quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] interpretacion articulos constitucion politica peru
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