[PDF] Exercices dentra?nement : Eléments de réponse





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Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale

formule de Newton qui consiste à écrire le polynôme Pn aux points x0 kf. Lnk1 c n2 et donc que fn converge uniformément vers f lorsque n tend vers l'infini ...



Exercices de travaux dirigés avec correction

Retrouver ce polynôme d'interpolation en utilisant cette fois la méthode de Newton. Interpolation polynômiale : Correction de la série 1. Exercice 1 : 1. On ...



Chapitre II Interpolation et Approximation

2 1). FIG. II.2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation. Dans tous ces calculs 



Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale

Exercice 1. ∑. ∏ . On veut démontrer que pour i = 0



Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

Q(X) = 2(X − 1)(X +1)+(X − 1)(X + 1)(X − 2). Exercice 10. (partiel 2003). 1. Rappeler l'expression de la base de Newton de R5[X] associée aux noeuds 



Exercices dentraınement : Eléments de réponse

FIN DE LA CORRECTION. 6. Page 7. Th`eme - 2 Interpolation de Lagrange : Rappel sur la méthode de Newton. Soit donnés une fonction f de classe Cn+1 et n + 1 



Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

i = 0 à 4. (b) Ecrire le polynôme d'interpolation R4 construit à l'aide de la formule de Newton régressive : interpolation polynomiale pour obtenir des ...



Analyse Numérique

Exercices du chapitre 1 ... INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE satisfasse (3.17) aux points.



Table des matières

17 avr. 2021 Interpolation polynomiale intégration numérique



Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale

Exercice 3. Avec quelle précision peut-on calculer √115 `a l'aide de l'interpolation de Lagrange si on prend les points : x0 = 100



Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale

Interpolation polynomiale. Exercice 1. formule de Newton qui consiste à écrire le polynôme Pn aux points x0 ...



Exercices dentra?nement : Eléments de réponse

Th`eme - 1 Interpolation polynomiale : Apprentissage du cours. Exercice-1-1 : Calcul de P2 par utilisation de la base de Newton.



Analyse Numérique

3 Interpolation et approximation polynômiale Si on revient à l'algorithme 2.3 de Newton on voit qu'il s'agit en fait d'un algorithme.



Analyse

Jul 2 2010 Exercice ƒ : interpolation polynomiale [2 pt] . ... [2 pt] Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f ...



Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale

Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale. Exercice 1. ?. ? . On veut démontrer que pour i = 0



Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Ecrire le polynôme d'interpolation de f noté P4



Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

Q(X) = 2(X ? 1)(X +1)+(X ? 1)(X + 1)(X ? 2). Exercice 10. (partiel 2003). 1. Rappeler l'expression de la base de Newton de R5[X] associée aux noeuds 



Exercices de travaux dirigés avec correction

Exercice 1 : Déterminer le polynôme de Newton P? qui interpole f aux points 0 ? et 1. ... Interpolation polynômiale : Correction de la série 1.



Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : a) Trouver une expression algébrique de ce polynôme en utilisant la méthode de Newton.



Exercices de mathématiques - Exo7

Tous les exercices. Table des matières 324 450.00 Interpolation polynomiale ... Exercice 224. En utilisant la formule du binôme de Newton montrer que.

L2EcoMaths/InfoMaths/Maths

Math209Analyse & Simulations

Universit

´e Paris-Sud Ann´ee20192020©Jean-Baptiste APOUNG KAMGA

Exercices d"entra

ˆınement :El ´ements de r´eponseTh

`eme -1Interpolation polynomiale : Apprentissage du coursExercice-1-1:Familiarisation avec le r

´esultat principal du coursSoitfde classeCn+1sur]a;b[etPnson polynˆome d"interpolation de Lagrange aux points deux`a deux distincts

x

0;:::;xn. On a l"estimation d"erreur suivante :

8< :8x2[a;b];9tx2]a;b[tel que E n(x) = (xx0):::(xxn)f(n+1)(tx)(n+ 1)!(1) Ce r ´esultat a´et´e d´emontr´e en cours.

Exercice-1-2:Calcul

`a la main des polynˆomes d"interpolationOn se place dans le cas particulier suivant : f(x) =4x a= 1; b= 4; n= 2;x0= 1;x1= 2;x2= 4(2)

Q-2-1:Calcul deP2par utilisation de la base de LagrangeOn construit la base de Lagrange, i.e les 3 polyn

ˆomesli(x);i= 0;1;2tels queli(xj) =1sij==i

0sinon

ix iy i=f(xi)l i(x)014(x2)(x4)(12)(14)122(x1)(x4)(21)(24)241(x1)(x2)(41)(42)Et on d ´efinitP2(x) =y0l0(x) +y1l1(x) +y2l2(x). Et apr`es calculs,P2(x) = 772 x+12

x2Calcul deP2par utilisation de la base de Newton(Nous n"avons pas fait cette interpolation en cours: voir donc Th`eme2 en fin de ce document pour rappels)

La base de Newton est dans le cas pr

´esent :w0(x) = 1; w1(x) =xx0; w2= (xx0)(xx1).

On d

´etermine les coefficients du polynˆome d"interpolation de Lagrange dans cette base par construction de la matrice

(triangulaire inf ´erieure) des diff´erences divis´ees :(di;j)0ji2, via la relation : 8< :d i;0=yi;0i2 d i;j=di;j1di1;j1x ixij;1j2;etji2 Les

´el´ements diagonaux sont alors les coefficients recherch´es:P2(x) =d0;0w0(x) +d1;1w1(x) +d2;2w2(x).

1 On organise les calculs en introduisant la table dite des diff

´erences divis´ees :

ix id i;0:=yid i;1d i;2014

1222241

121
2

Ainsi,P2(x) = 42(x1) +12

(x1)(x2), soit encoreP2(x) = 772 x+12 x2. Q-2-2:On d´eduit alors l"expression deE2(x) =f(x)P2(x),`a savoirE2(x) =4x 7 +72 x12

x2Q-2-2-1:Expression detxde la formule (1) pourx2[1;4].Soitx2[1;4]. La fonctionf´etant de classeC3sur]1;4[, par application du r´esultat de l"exercice 1, on a d"une part

l"existence detx2]1;4[tel queE2(x) = (x1)(x2)(x4)f000(tx)6 . Soit, puisquef000(x) =24x 4, E

2(x) =(x1)(x2)(x4)4t

4x(3)

Par ailleurs, on a aussiE2(x) =4x

7+72 x12 x2=814x+7x2x32x.On factorise alors le num´erateur de cette derni`ere en remarquant que l"erreur d"interpolation s"annule aux points d"interpolation. On obtient E

2(x) =(x1)(x2)(x4)2x:(4)

Et par comparaison de (3) et (4), on obtient l"

´equation12x=4t

4xd"o`u l"on tiretx= (8x)14.

Figure 1: Erreur d"interpolationE2(x)Figure 2: Apports dew3etf(3)(tx)3! dans l"erreurE2(x) Q-2-2-2:Quantification des apports de(x1)(x2)(x4)etf(3)(tx)3! dans l"erreurE2(x).On ajE2(x)j=jw3(x)j4t 4x , o`uw3(x) = (x1)(x2)(x4).

Or sur[1;4], on amax1x4jw3(x)j j w3(3)j=2 >12

= max1x412x=max 1x4f (3)(tx)3!.

Il appara

ˆıt pour ce probl`eme particulier que la contribution dejw3(x)jdans l"erreur est bien plus importante.

Ceci motive sur le fait que dans la th

´eorie de l"interpolation, il faudra investir dans la r´eduction de la contribution de cette quantit ´e, par exemple par un choix convenable des pointsxi(voir cours sur ph´enom`ene de Runge)

Comme conseill

´e, on peut s"aider de graphique pour mieux s"en rendre compte: voir Figure 2 2

Q-2-3:Montrons queE2atteint sa valeur maximale en un point~xsur[2;4].La Figure 1 permet encore de fournir une r

´eponse.Laissons le en exercice.

Proposons ici une autre d

´emonstration:

On sait queE2est de classeC2sur]1;4[. Si elle atteint donc sa valeur maximale en un pointxsur]1;4[ce point annulera

sa d

´eriv´ee :E0

2(x) = 0. Dressons donc le tableau de variation deE0

2(x)afin de conclure.

En effet, nous avonsE0

2(x) =72

x4x

2etE00

2(x) =8x3x

3.x E 00 2(x)E 0 2E 0 2(x)E

21~x12~x24

++0 32
321
21
2 34
3400
0++0 00 E

2(~x1)E

2(~x1)E

2(~x2)E

2(~x2)000

Ainsi :

•E00

2s"annule enx= 2, est strictement positive sur]1;2[et strictement n´egative sur]2;4[.

Puisque E0

2(1) =32

<0,E0

2(2) =12

>0,E0

2(4) =34

<0,E0

2s"annule en exactement deux points~x12]1;2[

et~x22]2;4[.

CommeE00

2(~x2)<0etE00

2(~x1)>0, c"est donc~x2qui r´ealise le maximum deE2sur]1;4[pendant que~x1r´ealise le

minimum deE2sur]1;4[.

Attention, m

ˆeme si ce n"est pas le but de la question, un travail suppl´ementaire est n´ecessaire pour identifier lequel de

jE

2(~x1)jetjE2(~x2)jcorrespond au maximum dejE2jsur[1;4]. Ceci est visible graphiquement voir Figure 1. La preuve

est laiss ´ee commeexercice d"exploration, au terme duquel on a bien~x= ~x2. Q-2-4:On a d´ej`a montr´e ci-dessus que~xest racineE0

2donc deg(x) =72

x4x 2.

Q-2-5:De l"´etude du sens de variation men´ee ci-dessus, il d´ecoule quegest strictement d´ecroissante sur[2;4].

Elle est donc injective sur cet intervalle et r

´ealise une bijection entre cet intervalle et son image :[34 ;12

Comme02[34

;12 ], il vient queg1(0)existe et est unique. Org(~x) = 0d"o`u~x=g1(0). Exercice-1-3:Exemple d"utilisation de l"interpolation polynomiale

On souhaite utiliser les polyn

ˆomes d"interpolation deg1pour approcher~x.

Q-3-1:On posey0=g(2),y1=g(4). Soitq1le polynˆome d"interpolation aux points(y0;2);(y1;4). Il est donn

´ee par (on utilise ici la base de Lagrange, voir la question Q-3-3 pour l"utilisation de la base de Newton):

q

1(y) = 2yy1y

0y1+ 4yy0y

1y0=148y5

3

Q-3-2:On´evalue alorsq1(0) =145

.Montrons qu"on obtient ainsi une approximation de de~x.En effet,q1´etant une approximation deg1, il en d´ecoule que145

est une approximation de~x. La r

´eponse`a la question s"arrˆete l`a. N´eanmoins on peut aller plus loin. Il est conseill´e dans ce cas d"utiliser une

approche graphique beaucoup plus abordable (voir deuxi `eme colonne ci-dessous : Approche 2).Approche 1: Puisquegest de classeC2avecg0(x)6= 0sur]2;4[, il vient que g

1est continue sur[34

;12 ]et de classeC2sur]34 ;12 [avec (g1)00(y) =g00(x)(g0(x))38y2]34 ;12 [tel quey=g(x).

Les conditions d"application du r

´esultat de l"exercice 1 sont donc

r

´eunies:9!t0234

;12 tel que g

1(0)q1(0) = (012

)(0 +34 )(g1)00(t0)2

Soit encore~x145

=316 (g1)00(t0) =92 a 5

0(a308)3o`ut0=g(a0).

Ainsi,8a2]2;4[tel queaa0, on a :j~x145

j 92
a5(a38)3.

Il s"av

`ere pour cet exemple qu"on peut prendrea=145 . D`es lors, j~x145 j 94539375331527424

0:2852:Approche 2:

La hauteur de la partie hachur

´ee majorej~x145

j i.ej~x145

j 3:12:8 = 0:3Q-3-3:Fort de ce qui pr´ec`ede on peut donc construire la suite(xn)nd"approximation de~xpar la formule8<

:x

0= 2;x1= 4

8n= 1;:::

x n+1=qn(0);avecqnle polynˆome interpolateur aux points(g(xi);xi);i= 0;:::;n(5)

Q-3-3-3:D´eterminonsx3,x4.

L"organisation des calculs se fait comme illustr

´ee ci-dessous :

un script Python d ´ecrivant encore mieux cette organisation est fourni, voir Listing1.On commence par compl ´eter la ligne correspondante de la table des diff´erences divis´ees: 1)!iy ix id i;101 22
1 344
85

On construit le polyn

ˆome d"interpolationq1(y) = 285

(y12 )et on d

´eduitx2=q1(0) =145

On compl

`ete ensuite la ligne correspondant`ai= 2: 2)!iy ix id i;1d i;201 22
1 344

852g(145

)14

53)!iy

ix id i;1d i;201 22
1 344
85293
49014
5

392307

60765833

On peut alors calculer le polyn

ˆome d"interpolationq2(y)= q1(y)60765833

(y12 )(y+34 duquel on d

´eduitx3=q2(0) =x260765833

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