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Calcul intégral
Table des matières
I Intégrale d"une fonction2
II Interprétation graphique : calcul d"aire2
II.1 Aire d"un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 Aire d"une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2
II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IIIPropriétés de l"intégrale4
III.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4
III.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4
III.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5
III.4 Inéglité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5
http://nathalie.daval.free.fr-1-TaleSTI GECalcul intégral2008-2009
Dans tout le chapitre,FetGsont des primitives respectivement defetgsurI. aetbsont deux points deI, bornes incluses.I Intégrale d"une fonction
Définition 1
Le nombreF(b)-F(a), indépendant du choix deF, est appellé intégrale deaàbdef , il est noté ?b a f(x)dx=F(b)-F(a).Exemple 1
Calcul de l"intégrale :?
3 2 x dx:ÔUne primitive def(x) =xestF(x) =x2
2.Ôdonc,?
3 2 x dx=F(3)-F(2) =92-42=52.
II Interprétation graphique : calcul d"aire
II.1 Aire d"un fonction positive
Propriété 1
Sifest une fonction positive sur [a;b], alors?b
a f(x)dxest égal à l"aire du domaine compris entre lacourbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=aetx=bexprimé en unité d"aire. (U.A.)
Exemple 2
Calcul de l"aire du domaine compris entre la courbe d"équa- tion1 x, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=12 etx= 4dans un repère orthonormé(O;-→i;-→j)d"unité gra- phique1cm : 4 121xdx= [ln(x)]412= ln4-ln12= ln4 + ln2
4 121xdx= ln8 = 3ln2U.A.≈2,08cm2
1 2 3 4-1
123-1
II.2 Aire d"une fonction négative
Si la fonctionfest négative, alors la fonction-fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à
l"axe des abscisses. Donc, l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites
d"équationx=aetx=best égale à l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des abcsisses,
et les droites d"équationx=aetx=b.Dans ce cas,A=
?b a [-f(x)]dx. http://nathalie.daval.free.fr-2-TaleSTI GECalcul intégral2008-2009
Exemple 3
On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x327-x23.
fest négative sur l"intervalle[ 0 ; 9 ]. Pour calculer l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses,
et les droites d"équationx= 0etx= 9, il suffit de calculer l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des
abcsisses, et les droites d"équationx= 0etx= 9:Graphique def:
A1Graphique de-f:
A2A1=A2=?
9 0 [-f(x)]dx=? 9 0? -x327+x23? dx=? -x4108+x39? 91=814U.A.
II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"airePour calculer l"aire d"un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l"intervalle
en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.Exemple 4
On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =x2-x-2. On noteAl"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=-1etx= 3.A=A1+A2
A=? 2 -1[-f(x)]dx+? 3 2 [f(x)]dx A=? 2 -1(-x2+x+ 2)dx+? 3 2 (x2-x-2)dx A=? -x33+x22-2x?
2 -1+?x33-x22+ 2x? 3 2 A=9 2+116 A=193≈6,33U.A.
1 2 3-1-2
1234-1 -2A1 A2 http://nathalie.daval.free.fr-3-
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III Propriétés de l"intégrale
III.1 Relation de Chasles
Propriété 2
Soitfune fonction dérivable surRetb?[a;c], alors ?c a f(x)dx= ?b a f(x)dx+ ?c b f(x)dx.Interprétation graphique :
A1A2 abcIII.2 Linéarité
Propriété 3
Soientf,g: [a;b]→Rdeux fonctions dérivables etλun réel, alors : ?b a [f(x) +g(x)]dx= ?b a f(x)dx+ ?b a g(x)dx. ?b aλf(x)dx=λ
?b a f(x)dx.Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d"une intégrale d"une fonction complexe (de type
polynôme par exemple) à une succession d"intégrations de fonctions plus élémentaires.Exemple 5
Calcul de l"intégrale :I=?
2 1? 2x+5 x? dx:ÔI= 3?
2 12x dx+ 5?
2 11 xdxÔI= 3 [x2]21+ 5 [lnx]21
ÔI= 3(4-1) + 5(ln2-ln1)
ÔI= 9 + 5ln2.
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III.3 Inégalités
Propriété 4
Soientf,g: [a;b]→Rdeux fonctions dérivables.©Inégalité :
?b a b? a g(x)dx.©Positivité
: si, pour toutx?[a;b], on af(x)≥0, alors b? a f(x)dx≥0.Remarque 1
La réciproque de la positivité n"est pas forcément vraie, onpeut avoit?b a f(x)dx≥0 sans avoirfpositive sur [a;b] : ?3 0 (2x-1)dx= [x2-x]30= 6. Donc, ?3 0 (2x-1)dx≥0. ÔCependant, la fonctionx→2x-1 n"est pas positive sur [ 0 ; 3 ].III.4 Inéglité de la moyenne
Propriété 5
?b aInterprétation graphique :
Dans le cas oùfest positive sur [a;b] et oùm≥0, l"aire de la partie égale à ?b a f(x)dxest comprise entre l"aire du rectangle de baseABde hauteurmet l"aire du rectangle de baseABde hauteurM. m M A BDéfinition 2
Soitf: [a;b]→Rune fonction dérivable. Sia?=b, on appelle valeur moyenne defsur[a;b]le nombre réelμ fdéfini par f=1b-a ?b a f(x)dx. http://nathalie.daval.free.fr-5-TaleSTI GECalcul intégral2008-2009
Interprétation graphique :
La droite d"équationy=μ
fest la droite horizontale telle l"aire des partie de plan délimitées par l"axe des abscisses, les droites d"équationx=aetx=bd"une part et les courbes d"équationy=f(x) ety=m f soient de même valeur.Exemple 6
La valeur moyenne sur[ 0 ; 1 ]de la fonction carré est :μ=? 1 0 x2dx=?x3 3? 3 1=13. http://nathalie.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] zone de virage rouge de méthyle
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