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INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE
IUT "A" Paul Sabatier, Toulouse 3.
DUT G´enie Civil
Module de Math´ematiques.
MATH´EMATIQUES
´El´ements de calculs pour l"´etude
des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff´erentielles.G. Ch`eze
guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/Enseignements.html 2R`egle du jeu
Ceci est un support de cours pour le module Mat2 de l"IUT G´enie Civil de Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d"´equations diff´erentielles. Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement. C"est `a vous de les compl´eter durant l"heure de cours hebdomadaire. La partiedu cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur
internet `a l"adresse :http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/. Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre. Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou deserreurs se trouvant dans ce document.A pr´esent, au travail et bon courage `a tous!
i iiR`egle du jeuTable des mati`eres
R`egle du jeui
I Fonctions de plusieurs variables1
1 Fonctions de plusieurs variables5
1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables. . . . . . 6
1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de deux variables8
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 D´eriv´ees partielles, Diff´erentielles27
2.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d"une fonction compos´ee. 32
2.5 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Approximation affine, Calcul d"incertitude45
3.1 Approximation d"une fonction `a une seule variable. . . . . . . . . . . 45
3.2 Approximation d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . 47
3.3 Calcul d"erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Le cas des fonctions d"une seule variable. . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 50
3.4 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Extrema d"une fonction de deux variables63
4.1 Rappel dans le cas d"une seule variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Extr´emum local d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . 66
4.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iii ivTABLE DES MATI`ERESII´Equations diff´erentielles83
1´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 185
1.1 Pr´esentation g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1.1´Equations diff´erentielles et int´egration. . . . . . . . . . . . . 86
1.1.2 Solutions d"une ´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . 86
1.1.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 189
1.2.1´Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2.3 Solution g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2.4 Astuces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 2 `a coefficients constants107
2.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 R´esolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 R´esolution de l"´equation homog`ene associ´ee. . . . . . . . . . 108
2.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
III Annexes123
A D´eriv´ees et primitives usuelles125
B Annales corrig´ees127
C Trouver l"erreur177
D Alphabet grec181
Premi`ere partie
Fonctions de plusieurs variables
1 Jusqu"`a pr´esent vous avez surtout rencontr´e des fonctionsd"une variable. Cepen- dant les ph´enom`enes naturels ne d´ependent pas en g´en´erald"une seule variable. Par exemple : la vitesse moyennevd´epend de la distance parcouruedet du tempstmis pour effectuer ce parcours, on av=d/t. Un autre exemple est donn´e par le calcul de l"aire d"un rectangle :A=L×l. L"aire est une fonction de la longueurLet de la largeurl. Dans cette partie, nous allons ´etudier les fonctions de plusieurs variables. Nous aurons une attention toute particuli`ere pour les fonctionsde deux variables car dans ce cas nous pourrons encore faire des dessins. Ensuite nousverrons que nouspouvons aussi faire des calculs de d´eriv´ees. Cela sera utilis´e pour effectuer des calculs
d"incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d"une fonction de plusieurs variables. 3 4Chapitre 1Fonctions de plusieurs variables
Nous allons dans ce chapitre d´efinir les fonctions de plusieurs variables. Nous nous int´eresserons plus particuli`erement aux fonctions de deux variables et aux diverses repr´esentations graphiques que l"on peut obtenir.1.1 D´efinition
L"exemple le plus simple de fonctions de deux variables est donn´e par l"aire d"un rectangle :A=L×l.Letl´etant des nombres positifs nous repr´esentons cette fonction de la mani`ere suivante : f:R+×R+-→R (L,l) ?-→L×l R +×R+s"appelle le domaine de d´efinition de la fonctionf. D"une mani`ere g´en´erale nous pouvons avoirnvariables o`und´esigne un nombre entier. D´efinition 1.Soitnun nombre entier etDune partie deRn. Une fonctionfde nvariables est un proc´ed´e qui a toutn-uplet(x1,...,xn)deDassocie un unique nombre r´eel.Cela se note de la mani`ere suivante :
f:D -→R (x1,...,xn)?-→f(x1,...,xn)Dest le domaine de d´efinition def.
Remarque : La notation (x1,...,xn) est l`a pour montrer que nous avonsnva- riables. En pratique, lorsque nous n"avons que deux variables nous les notonsxety plutˆot quex1etx2. 56Fonctions de plusieurs variables
Par exemple, la fonction suivante donne la distance d"un point de coordonn´ees (x,y) `a l"origine du plan. f:R2-→R
(x,y)?-→?x2+y2 fest une fonction de deux variables,R2est son domaine de d´efinition. Voici, ici un exemple d"une fonction de trois variables : (x;y;z). g:R×R×R?-→R (x,y,z)?-→xcos(y) + 2y3-π z5 gest une fonction de trois variables,R×R×R?est son domaine de d´efinition.
Exercice 1.La formule suivante permet de d´efinir une fonction de 2 variables : f(x,y) = ln(x) + sin(y)1. Donner l"image de(e,0).
2. Donner le plus grand domaine de d´efinition possible pourf.
Solution :
1.f(e,0) =
ln(e) + sin(0) = 1 + 0 = 1.L"image de (e,0) parfest1.
2. Pour que ln(x) existe il faut (et il suffit)quex >0. Doncx?R+,?.
sin(y) existepour touty?R. Doncy?R. Ainsi le plus grand domaine de d´efinition possible pourfest :R+,?×R.1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de
deux variables1.2.1 D´efinition
Avant de donner la d´efinition du graphe d"une fonction de deux variables nous allons rappeler ce qu"est le graphe d"une fonction d"une variable.D´efinition 2.Soit
f:D -→R x?-→f(x) Le grapheCfdef(fonction d"une seule variable) est l"ensemble des points du plan de coordonn´ees (x;f(x))avecx? D.Cela se note :
Cf={(x,y)?R2|y=f(x), x? D}
1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables7
Ainsi pour tracer le graphe d"une fonction d"une variable nous avons rajout´e une nouvelle variabley.Le graphe est alors une courbe dans le planR2.
Pour les fonctions de deux variablesxetynous allons aussi rajouter une variablez et le graphe sera alors une surface de l"espaceR3.D´efinition 3.Soit
f:D -→R (x,y)?-→f(x,y) Le grapheSfdef(fonction de deux variables) est l"ensemble des points de l"espace de coordonn´ees (x;y;f(x,y))avec(x,y)? D.Cela se note :
Sf={(x,y,z)?R3|z=f(x,y),(x,y)? D}
Remarque :
Sfest une surface dansR3.
A chaque point (x,y)? Dcorrespond un point sur la surfaceSf. Voici comment on place les points dans un rep`ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y)) Figure1.1 - Utilisation d"un rep`ere `a 3 dimensions. Afin de vous familiariser avec les graphes des fonctions de deux variables voici quelques exemples.8Fonctions de plusieurs variables
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 Figure1.2 - Repr´esentation graphique dez=sin(?x2+y2)?x2+y2. -2 -1 0 1 2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Figure1.3 - Repr´esentation graphique dez=xye-0.5(x2+y2).1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de
deux variables Nous savons faire des dessins dans un plan, donc pour faire des dessins dans l"espace nous allons nous ramener `a ce que nous savons faire...C"est `a dire nous allons dessiner la "trace" de la surface sur les plansxOz,yOzetxOy. Auparavant nous allons rappeller quelques propri´et´es des plans de l"espace.Proposition 1.
- Un plan parall`ele au planxOya pour ´equation : z=z0Ce plan contient le point(0,0,z0).
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