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Calcul intégral

Table des matières

I Intégrale d"une fonction2

II Interprétation graphique : calcul d"aire2

II.1 Aire d"un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Aire d"une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IIIPropriétés de l"intégrale4

III.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

III.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

III.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

III.4 Inéglité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5

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Dans tout le chapitre,FetGsont des primitives respectivement defetgsurI. aetbsont deux points deI, bornes incluses.

I Intégrale d"une fonction

Définition 1

Le nombreF(b)-F(a), indépendant du choix deF, est appellé intégrale deaàbdef , il est noté ?b a f(x)dx=F(b)-F(a).

Exemple 1

Calcul de l"intégrale :?

3 2 x dx:

ÔUne primitive def(x) =xestF(x) =x2

2.

Ôdonc,?

3 2 x dx=F(3)-F(2) =9

2-42=52.

II Interprétation graphique : calcul d"aire

II.1 Aire d"un fonction positive

Propriété 1

Sifest une fonction positive sur [a;b], alors?b

a f(x)dxest égal à l"aire du domaine compris entre la

courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=aetx=bexprimé en unité d"aire. (U.A.)

Exemple 2

Calcul de l"aire du domaine compris entre la courbe d"équa- tion1 x, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=12 etx= 4dans un repère orthonormé(O;-→i;-→j)d"unité gra- phique1cm : 4 1

21xdx= [ln(x)]412= ln4-ln12= ln4 + ln2

4 1

21xdx= ln8 = 3ln2U.A.≈2,08cm2

1 2 3 4-1

123
-1

II.2 Aire d"une fonction négative

Si la fonctionfest négative, alors la fonction-fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à

l"axe des abscisses. Donc, l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites

d"équationx=aetx=best égale à l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des abcsisses,

et les droites d"équationx=aetx=b.

Dans ce cas,A=

?b a [-f(x)]dx. http://nathalie.daval.free.fr-2-

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Exemple 3

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3

27-x23.

fest négative sur l"intervalle[ 0 ; 9 ]. Pour calculer l"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses,

et les droites d"équationx= 0etx= 9, il suffit de calculer l"aire du domaine compris entre la courbe de-f, l"axe des

abcsisses, et les droites d"équationx= 0etx= 9:

Graphique def:

A1

Graphique de-f:

A2

A1=A2=?

9 0 [-f(x)]dx=? 9 0? -x327+x23? dx=? -x4108+x39? 9

1=814U.A.

II.3 Aire d"une fonction quelconque : découpage d"aire

Pour calculer l"aire d"un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l"intervalle

en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

Exemple 4

On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =x2-x-2. On noteAl"aire du domaine compris entre la courbe def, l"axe des abcsisses, et les droites d"équationx=-1etx= 3.

A=A1+A2

A=? 2 -1[-f(x)]dx+? 3 2 [f(x)]dx A=? 2 -1(-x2+x+ 2)dx+? 3 2 (x2-x-2)dx A=? -x3

3+x22-2x?

2 -1+?x33-x22+ 2x? 3 2 A=9 2+116 A=19

3≈6,33U.A.

1 2 3-1-2

1234
-1 -2A1 A2 http://nathalie.daval.free.fr-3-

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III Propriétés de l"intégrale

III.1 Relation de Chasles

Propriété 2

Soitfune fonction dérivable surRetb?[a;c], alors ?c a f(x)dx= ?b a f(x)dx+ ?c b f(x)dx.

Interprétation graphique :

A1A2 abc

III.2 Linéarité

Propriété 3

Soientf,g: [a;b]→Rdeux fonctions dérivables etλun réel, alors : ?b a [f(x) +g(x)]dx= ?b a f(x)dx+ ?b a g(x)dx. ?b a

λf(x)dx=λ

?b a f(x)dx.

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d"une intégrale d"une fonction complexe (de type

polynôme par exemple) à une succession d"intégrations de fonctions plus élémentaires.

Exemple 5

Calcul de l"intégrale :I=?

2 1? 2x+5 x? dx:

ÔI= 3?

2 1

2x dx+ 5?

2 11 xdx

ÔI= 3 [x2]21+ 5 [lnx]21

ÔI= 3(4-1) + 5(ln2-ln1)

ÔI= 9 + 5ln2.

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III.3 Inégalités

Propriété 4

Soientf,g: [a;b]→Rdeux fonctions dérivables.

©Inégalité :

?b a b? a g(x)dx.

©Positivité

: si, pour toutx?[a;b], on af(x)≥0, alors b? a f(x)dx≥0.

Remarque 1

La réciproque de la positivité n"est pas forcément vraie, onpeut avoit?b a f(x)dx≥0 sans avoirfpositive sur [a;b] : ?3 0 (2x-1)dx= [x2-x]30= 6. Donc, ?3 0 (2x-1)dx≥0. ÔCependant, la fonctionx→2x-1 n"est pas positive sur [ 0 ; 3 ].

III.4 Inéglité de la moyenne

Propriété 5

?b a

Interprétation graphique :

Dans le cas oùfest positive sur [a;b] et oùm≥0, l"aire de la partie égale à ?b a f(x)dxest comprise entre l"aire du rectangle de baseABde hauteurmet l"aire du rectangle de baseABde hauteurM. m M A B

Définition 2

Soitf: [a;b]→Rune fonction dérivable. Sia?=b, on appelle valeur moyenne defsur[a;b]le nombre réelμ fdéfini par f=1b-a ?b a f(x)dx. http://nathalie.daval.free.fr-5-

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Interprétation graphique :

La droite d"équationy=μ

fest la droite horizontale telle l"aire des partie de plan délimitées par l"axe des abscisses, les droites d"équationx=aetx=bd"une part et les courbes d"équationy=f(x) ety=m f soient de même valeur.

Exemple 6

La valeur moyenne sur[ 0 ; 1 ]de la fonction carré est :μ=? 1 0 x2dx=?x3 3? 3 1=13. http://nathalie.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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