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Définition 1 - Polynôme du second degré
Unpolynômedu second degrénest une expression du type ax2+bx+c
où : a,b,csont des nombres réels, appelés les coefficients, a?= 0,Le nombrexest appelé l"indéterminée.Exemple 1 :-3x2+ 5x-1est un polynôme du second degré (a= 3;b= 5;c=-1).
Exemple 2 :16x2-25est un polynôme du second degré (a= 16;b= 0;c=-25). Exemple 3 :5x2est un polynôme du second degré (a= 5;b= 0;c= 0).Remarque :Un polynôme du second degré est également appelétrinôme.Définition 2 - Fonction polynôme du second degré
La fonctionfdéfinie surRparf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)estappeléefonction polynôme de degré 2(oufonction trinôme)Propriété 1 - Courbe représentative d"une fonction polynôme
La courbe représentative de la fonctionf:x?→ax2+bx+c(a?= 0) est une parabole dont le sommet a pour abscisse-b2a.1 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/Sia >0fest décroissante puis croissante.x
variation def-∞- b2a+∞ f(-b2a)f(-b2a)+∞+∞Sia <0fest croissante puis décroissante.x variation def-∞- b2a+∞-∞-∞f(-b2a)f(-b2a)-∞-∞La parabole associée àfadmet poursommetle point S de coordonnées?
-b2a;f(-b2a)?2 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/2 Forme développée et forme canonique
Définition 3 - Forme développée
L"écrituref(x) =ax2+bx+cd"une fonction polynôme de degré 2 est appeléeforme développéePropriété 2 - Forme canonique Une fonction polynôme de degré 2 pouvant s"écrire sous la forme dévelop- péef(x) =ax2+bx+caveca?= 0peut se mettre sous la forme : f(x) =a(x-α)2+βoùα=-b2aetβ=f(α)Cette forme est appeléeforme canoniquePreuve :
a(x-α)2+β=a(x-α)2+f(α) =a? x+b2a? 2 +a? -b2a? 2 +b? -b2a? +c =a? x 2+bxa +b24a2? +b24a-b22a+c =ax2+bx+b24a+b24a-b22a+c =ax2+bx+c3 Interprétation graphique
La parabole associée à la fonctionfde forme
canoniquef(x) =a(x-α)2+βadmet pour sommetle point S de coordonnées(α;β)Exemple 4 :Soitfla fonction définie surR
parf:x?→2x2-12x+ 14On a :α=-b2a= 3etβ=f(3) =-4
La forme canonique defestf(x) = 2(x-3)2-44 Equations du second degré à une inconnue4.1 Rappels sur les équationsDéfinition 4 - Equation
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues.Exemple 5 :x+ 1 = 4est une équation du premier degré à une inconnue
Exemple 6 :x2+ 1 =x-2est une équation du second degré à une inconnue 3 Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/Définition 5 - Résoudre une équation
Résoudre une équation c"est trouver toutes les valeurs de l"inconnue pour que l"égalité soit vraie.Exemple 7 :{3}est l"unique solution de l"équationx+ 1 = 4. Exemple 8 :{-2;2}sont les solutions de l"équationx2= 4.Exemple 9 :L"équationx2=-1n"a pas de solution.
4.2 Équations du second degré
Un équation du second degré à une inconnue peut toujours s"écrire sous la formeax2+bx+c= 0
Résoudre l"équation du second degré à une inconnueax2+bx+c= 0consiste à trouver toutes les
valeurs dexpour lesquelles la fonctionfdéfinie surRparf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)s"annule.Définition 6 - Discriminant
Lediscriminantde l"équationax2+bx+c= 0est le nombre réelΔdéfini par :Δ =b2-4ac.Interprétation graphique :le nombre de solutions (0, 1 ou 2) dépend de la position de la parabole
par rapport à l"axe des abscisses. L"étude du signe deΔpermet de connaître ce nombre.cas 1 :Δ<0
l"équationax2+bx+c= 0 ne possède pas de solution. pas de forme factoriséecas 2 :Δ = 0 l"équationax2+bx+c= 0 a une seule solution : x0=-b2a
f(x) =a(x-x0)2cas 3 :Δ>0 l"équationax2+bx+c= 0 a deux solutions distinctes : x1=-b+⎷Δ
2a x2=-b-⎷Δ
2a f(x) =a(x-x1)(x-x2)Définition 7 - racines de l"équation du second degré Les solutionsx1etx2sont appeléesracinesde l"équation.L"unique solutionx0est appeléeracine doublede l"équation.5 Signe du trinômeax2+bx+c= 0aveca?= 0ax
2+bx+c= 0est toujours du signe deasauf entre les racines lorsqu"elles existent.4
Classe de première ES - 2013/2014 Second degré http://www.mathxy.fr/Preuve (solutions de l"équation du second degré) :Soit une fonction polynôme de degré 2 pou-
vant s"écrire sous la forme développéef(x) =ax2+bx+caveca?= 0. La forme canonique est :f(x) =a(x-α)2+βoùα=-b2aetβ=f(α) a(x-α)2+β=a(x-α)2+f(α) =a? x+b2a? 2 +a? -b2a? 2 +b? -b2a? +c =a? x+b2a? 2 +b24a-b22a+c =a? x+b2a? 2 +b24a-2b24a+4ac4a =a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a =a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2?Sib2-4ac= 0alorsf(x) =a?
x+b2a? 2 ,-b2aest l"unique solution de l"équationf(x) = 0 Sib2-4ac <0alorsf(x)est toujours du signe dea(a?= 0)donc l"équationf(x) = 0n"a pas de solutionSib2-4ac >0alors on peut écrire :
f(x) =a? x+b2a+⎷b2-4ac2a??
x+b2a-⎷b2-4ac2a?
=a? x+b+⎷b2-4ac2a??
x+b-⎷b2-4ac2a?
L"équationf(x) = 0a deux solutions :x1=-b+⎷b2-4ac2aetx2=-b-⎷b
2-4ac2a
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