[PDF] [PDF] Ift 2421 Chapitre 1 Chiffres significatifs et propagation derreurs

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Ift24211 Chapitre 1Ift 2421

Chapitre 1

Chiffres significatifs

et propagation d'erreurs

Ift24212 Chapitre 1Sources d'erreurs

Erreurs de données1. Erreurs de modèles

Exemple:

· Ignorer la viscosité dans un modèle en mécanique des fluides. · Utiliser la mécanique classique plutôt que quantique en physique atomique. · Loi de Hooke (modèle linéaire) pour un ressort

Fkx=alors que

Fkxx=() (modèle non linéaire).

2. Erreurs de mesures

Exemple:

· la précision de ce thermomètre est de ½ degré Celcius . · ce voltmètre offre une précision de 0.0001 volt.

Erreurs numériques1. Erreurs de troncature

Exemple:

· e

x nx nxn nn n

åå!!00100

· Un processus infini est tronqué afin d'obtenir une procédure finie => Erreurs Ift24213 Chapitre 12. Erreurs d'arrondis (d'affectation)

Que vaut 0.1 en base 2?

(.)(.....)0100001100110011102= Cela ne peux pas être conservé exactement dans l'ordinateur! Âne peux pas être représenté dans l'ordinateur.

Procédure

Erreurs

numériquesErreurs de données Ift24214 Chapitre 1Arithmétique des ordinateurs

Notation flottante:()flXddddbse=±*.123K

b est la base e est l'exposant avec meM££ s est le nombre de chiffres de la mantisse et où

0101££-¹dbetdi

Ceci nous assure l'unicité de la représentation. Un système de numérotation flottante est défini par le quadruplet (b,s,m,M) ()---12224127* --2126 0 2126- ()12224127--*

DepassementNegatif12434

NombresNegatifs12434

{ {Nombres

Positifs12434

DepassementPositifs12434

Ift24215 Chapitre 1Représentation des nombres dans un ordinateurLe nombre de bits pour représenter les nombres en point flottant

est fini. Le nombre de valeurs distinctes représentables dans un ordinateur est donc lui aussi fini.

Exemple:

Soit le système de numérotation flottante défini par: b = 2, s = 2 et -2 £ e £ 3 Dans ce système, les nombres normalisés sont de la forme ±.102 * 2e ou ±.112 * 2e avec -2 £ e £ 3 Voici la liste de tous les nombres positifs représentables dans ce système..* .*1021 8 1021
4 1021
2 1021
1022
10242
2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 3- .*1123 16 1123
8 1123
4 1123
2 1123
11262
2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 3- Ift24216 Chapitre 1Erreurs de calcul en points flottant:

Représentation:

Exemple:

code Mathematica x=1.0;

While[ x != 0.0,

Print[x];

x = x -0.1

Précision:

Epsilon machine:

Pour chaque machine, de la plus petite calculatrice au plus grand ordinateur, on peut associer un nombre positif,

EPS = ²²Epsilon Machine²²

Par définition, Eps est le plus petit nombre positif tel que:

1 + EPS ¹¹ 1

ou encore (1 + EPS) - 1¹¹ 0

Ift24217 Chapitre 1Troncature:

Exemple avec b=10, s=3

X = 1237.

fl(X) = fl( + 0.1237 * 104) = + 0.123 * 104

La troncature est toujours biaisée puisque

fl(X) £ X

Arrondissement:

Même exemple.

X = 1237.

fl(X) = fl( + 0.1237 * 104) = + 0.124 * 104 L'arrondissement est non biaisé et, tour à tour, on fl(X) £ X(50% du temps) et fl(X) ³ X(50% du temps)

Ift24218 Chapitre 1Procédure pour tronquer à s chiffresXdddddbsse=±+.*1231KKtronXddddbse().*=±123KProcédure pour arrondir à s chiffres

Xdddddbsse=±+.*1231KKXdddddb

vbsse s e* +1231
1

0000KK

KKvbs+=1

2/Arrondi(X) = tron(X*)

Ift24219 Chapitre 1Propriétés des 4 opérationsX+Y àà fl( fl(X) + fl(Y) )X-Y àà fl( fl(X) - fl(Y) )X*Y àà fl( fl(X) * fl(Y) )X/Y àà fl( fl(X) / fl(Y) )On arrondit ou on tronque?

Pour les exemples, b=10, s=3.

Multiplication:(1/3) ´ 3 àfl( fl(1/3) ´ fl(3) ) =fl( (.333 * 10

0) ´ (0.300 * 101))=fl( 0.0999 * 10

1) =0.999 * 10

0Si l'exposant n'est pas le même, on peut perdre de la précision à

cause de l'erreur de décalage. Ift242110 Chapitre 1Addition1.37 + 0.0269 à .137 * 101 + .269 * 10-1.* .*13710

0026910

13969101

1

1+Tronqué à .139 * 101Arrondi à .140 * 101Soustraction

4850 - 4820 à .485 * 104 - .482 * 104.*

.*48510 48210
00310

300104

4 4

2-Tronqué à .300 * 102Arrondi à .300 * 102

Ift242111 Chapitre 1Soustraction (Autre exemple)3780 - .321 à .378 * 104 - .321 * 100.* .*37810

000032110

3779679104

4

4-Tronqué à .377 * 104Arrondi à .378 * 104Multiplication (Autre exemple)403000 * .0197à .403 * 106 + .197 * 10-1.

.403 197

0793916

1

5+-.079391 * 10

5.79391 * 10

4Tronqué à .793 * 104Arrondi à .794 * 104

Ift242112 Chapitre 1Attention:

Addition1.3685 + 0.0269 àfl(fl(.13685 * 101) +fl( .269 * 10-1))=Tronqué à .138 * 101Arrondi à .140 * 101Pour une suite d'opération, il faut

arrondir ou tronqué chaque résultat intermédiaire.

L'ordre dans lequel sont effectuées les

opérations est très important.

On n'a plus l'associativité des

opérations + et *.

Ift242113 Chapitre 1Erreurs sur les données:

Définition:

Q valeur exacte

( p = 3.14159265... ) Q * approximation de Q ( p* = 3.14)

Comment définir l'erreur sur Q?

Erreur absolueDQQQ=-*Intervalle de confiance:

l'intervalle de largeur 2DQ etde centre Q*.Erreur relative D rQQQ Q()* =-On emploie plutôt EQQQ Qr()* Ift242114 Chapitre 1Chiffres significatifs exacts(cse)

Un chiffre significatif d'une valeur Q

* est exactsi l'erreur absolue (DQ)sur cette valeur est £ ½ fois l'unité du rang du chiffre.Exemple:

Q = 3.2189 ± 0.0003

Le '8' est- il un cse?

Rang du 8 = -3

Unité du rang du 8 = 0.001

½ fois cette unité = 0.0005

DQ = 0.0003 £ 0.0005

è le 8 est un cse et c'est le dernier.

Q a donc 4 cse.

Q = 3.2189 ± 0.0003(souvent on souligne les cse) Ift242115 Chapitre 1Conséquences:La nième décimale d'une valeur est exacteÛ DQ £ 0.5 ´ 10-nLe nième chiffre devant le point est exactÛ

DQ £ 0.5 ´ 10n-1Remarques:

· Si tous les chiffres sont exacts, une borne

pour l'erreur absolue est égale à ½ fois l'unité du dernier chiffre.

· Souvent aussi, lorsque l'erreur absolue

n'est pas connue, on suppose que le dernier chiffre n'est pas exact.

Ift242116 Chapitre 1Exemple:

Combien y a t il de cse dans la valeur approchée de p donnée par p * = 22 / 7 p * = 3.1428571... DQ= | p - p* | = 0.0012644... £ 0.0005 £ 0.5 10-2

Le rang du dernier cse est -2.

p

* = 3.1428571...on écrit en général 3.143 ± 0.005Combien y a t il de cse dans la valeur approchée de p donnée par

p * = 3.1416

DQ= | p - p* | = 0.73 10-5

p * = 3.1416

Ift242117 Chapitre 1Cancellation de 'cse'

Soustraction de valeurs presque égalesUUaveccse

VVaveccse==´

==´7001083672105

70000836661052

2*

XUVXUV=-=´=-=´-

-0597591006102

2..***DX=´-024104.

Þ=´±´--X0610000241022..

Plus que 2 cse, problème

Remarque:Xab=-or

()()()ababab-´+=-donc X ab ab=- et X

· à l'ordre d'évaluation

des opérations.

· aux simplification à

apporter pour minimiser les erreurs.

Ift242118 Chapitre 1Séries de Taylor

Fonction à une variablefxfafxxafaxafa

nxa Rxan n()()()()() +22

KRxaxt

nftdt xa nfn n ax n n(,)() 1quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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