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Chiffres significatifs exacts (cse) Un chiffre significatif d'une valeur Q * est exact si l'erreur absolue (?Q) sur cette valeur est
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4 2 Chiffres significatifs exacts Définition Un chiffre significatif d'un nombre approche x? est dit exact (c s e) si l'erreur absolue
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Les chiffres significatifs d'une expression numérique sont les chiffres qui Certaines valeurs peuvent être considérées exactes : il y a 34 élèves dans
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Nombres exacts et chiffres significatifs ? Certaines valeurs sont connues sans incertitude par exemple – par dénombrement – par définition
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- dans le cas d'un calcul en plusieurs étapes les résultats des étapes intermédiaires ne doivent pas être arrondis - si une donnée est un nombre exact son
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tous ceux à sa gauche on dit qu'il n'y a pas de chiffre significatif ATTENTION: significatif ne veut pas dire exact mais dont on contrôle l'erreur
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de 6 pour le résultat en fait un calcul exact donne 51 La grandeur la plus incertaine ou imprécise s'impose sur le résultat • Si nous avons une fonction
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Pour évaluer le nombre de chiffres dit significatifs d'une mesure ou valeur il faut toujours (du moins au début avec un peu d'habitude on s'en passe) exprimer
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Chiffres significatifs Langage « vie quotidienne » Exemple : Quand on dit qu'à Toulouse il y a 440 000 habitants tous les chiffres ne sont pas
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101mA précision de 1/21 ~ 5 Sommes et différences :le terme qui a le dernier chiffre significatif le moins précis indique la précision du dernier chiffre
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Si un nombre approximatif possède n chiffres significatifs exacts alors son erreur relative est < 5 × 10 ?n (sauf si le nombre est 1 suivi de (n ? 1)
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Un chiffre significatif est un chiffre dont l'exactitude est relativement certaine Quand on fait des mesures en physique et en chimie élémentaire le dernier
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Il n'y a certainement qu'un chiffre significatif La distance doit être comprise entre 400 et 600 m - Certaines valeurs peuvent être considérées exactes : il y
Comment trouver le nombre de chiffre significatif ?
Dans une notation scientifique, les chiffres devant la puissance de 10 sont significatifs. ?Pour déterminer le nombre de chiffres significatifs, il faut compter le nombre de chiffres situés à gauche de la puissance de 10. ?Le nombre 9,568?3 9 , 568 × 10 3 poss? 4 chiffres significatifs.Quels sont les critères qui définissent un chiffre significatif ?
Dans un nombre, les chiffres significatifs sont tous ceux dont la valeur est connue avec certitude, plus au maximum un dont la valeur n'est connue que de façon approximative (généralement à une ou deux unités près). Ce sont les chiffres qui sont directement reliés à la précision avec laquelle on connaît le nombre.Quel est un chiffre significatif ?
Tous les nombres qui ne sont pas des zéros de tête ou à droite sont considérés comme significatifs sauf si le zéro à droite vient après la virgule (c. -à-d., 3,00 aurait 3 chiffres significatifs, alors que 300 n'aurait qu'1 chiffre significatif).- Pour arrondir la valeur numérique du résultat de mesure, le dernier chiffre à retenir est celui qui a la même position que le deuxième chiffre significatif dans l'expression de l'incertitude. Exemple : 862,2543 ± 0,0621 sera arrondi à 862,254 ± 0,063.
Ift24211 Chapitre 1Ift 2421
Chapitre 1
Chiffres significatifs
et propagation d'erreursIft24212 Chapitre 1Sources d'erreurs
Erreurs de données1. Erreurs de modèles
Exemple:
· Ignorer la viscosité dans un modèle en mécanique des fluides. · Utiliser la mécanique classique plutôt que quantique en physique atomique. · Loi de Hooke (modèle linéaire) pour un ressortFkx=alors que
Fkxx=() (modèle non linéaire).
2. Erreurs de mesures
Exemple:
· la précision de ce thermomètre est de ½ degré Celcius . · ce voltmètre offre une précision de 0.0001 volt.Erreurs numériques1. Erreurs de troncature
Exemple:
· e
x nx nxn nn nåå!!00100
· Un processus infini est tronqué afin d'obtenir une procédure finie => Erreurs Ift24213 Chapitre 12. Erreurs d'arrondis (d'affectation)Que vaut 0.1 en base 2?
(.)(.....)0100001100110011102= Cela ne peux pas être conservé exactement dans l'ordinateur! Âne peux pas être représenté dans l'ordinateur.Procédure
Erreurs
numériquesErreurs de données Ift24214 Chapitre 1Arithmétique des ordinateursNotation flottante:()flXddddbse=±*.123K
b est la base e est l'exposant avec meM££ s est le nombre de chiffres de la mantisse et où0101££-¹dbetdi
Ceci nous assure l'unicité de la représentation. Un système de numérotation flottante est défini par le quadruplet (b,s,m,M) ()---12224127* --2126 0 2126- ()12224127--*DepassementNegatif12434
NombresNegatifs12434
{ {NombresPositifs12434
DepassementPositifs12434
Ift24215 Chapitre 1Représentation des nombres dans un ordinateurLe nombre de bits pour représenter les nombres en point flottant
est fini. Le nombre de valeurs distinctes représentables dans un ordinateur est donc lui aussi fini.Exemple:
Soit le système de numérotation flottante défini par: b = 2, s = 2 et -2 £ e £ 3 Dans ce système, les nombres normalisés sont de la forme ±.102 * 2e ou ±.112 * 2e avec -2 £ e £ 3 Voici la liste de tous les nombres positifs représentables dans ce système..* .*1021 8 10214 1021
2 1021
1022
10242
2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 3- .*1123 16 1123
8 1123
4 1123
2 1123
11262
2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 3- Ift24216 Chapitre 1Erreurs de calcul en points flottant:
Représentation:
Exemple:
code Mathematica x=1.0;While[ x != 0.0,
Print[x];
x = x -0.1Précision:
Epsilon machine:
Pour chaque machine, de la plus petite calculatrice au plus grand ordinateur, on peut associer un nombre positif,EPS = ²²Epsilon Machine²²
Par définition, Eps est le plus petit nombre positif tel que:1 + EPS ¹¹ 1
ou encore (1 + EPS) - 1¹¹ 0Ift24217 Chapitre 1Troncature:
Exemple avec b=10, s=3
X = 1237.
fl(X) = fl( + 0.1237 * 104) = + 0.123 * 104La troncature est toujours biaisée puisque
fl(X) £ XArrondissement:
Même exemple.
X = 1237.
fl(X) = fl( + 0.1237 * 104) = + 0.124 * 104 L'arrondissement est non biaisé et, tour à tour, on fl(X) £ X(50% du temps) et fl(X) ³ X(50% du temps)Ift24218 Chapitre 1Procédure pour tronquer à s chiffresXdddddbsse=±+.*1231KKtronXddddbse().*=±123KProcédure pour arrondir à s chiffres
Xdddddbsse=±+.*1231KKXdddddb
vbsse s e* +12311
0000KK
KKvbs+=1
2/Arrondi(X) = tron(X*)
Ift24219 Chapitre 1Propriétés des 4 opérationsX+Y àà fl( fl(X) + fl(Y) )X-Y àà fl( fl(X) - fl(Y) )X*Y àà fl( fl(X) * fl(Y) )X/Y àà fl( fl(X) / fl(Y) )On arrondit ou on tronque?
Pour les exemples, b=10, s=3.
Multiplication:(1/3) ´ 3 àfl( fl(1/3) ´ fl(3) ) =fl( (.333 * 100) ´ (0.300 * 101))=fl( 0.0999 * 10
1) =0.999 * 10
0Si l'exposant n'est pas le même, on peut perdre de la précision à
cause de l'erreur de décalage. Ift242110 Chapitre 1Addition1.37 + 0.0269 à .137 * 101 + .269 * 10-1.* .*137100026910
13969101
11+Tronqué à .139 * 101Arrondi à .140 * 101Soustraction
4850 - 4820 à .485 * 104 - .482 * 104.*
.*48510 4821000310
300104
4 42-Tronqué à .300 * 102Arrondi à .300 * 102
Ift242111 Chapitre 1Soustraction (Autre exemple)3780 - .321 à .378 * 104 - .321 * 100.* .*37810000032110
3779679104
44-Tronqué à .377 * 104Arrondi à .378 * 104Multiplication (Autre exemple)403000 * .0197à .403 * 106 + .197 * 10-1.
.403 1970793916
15+-.079391 * 10
5.79391 * 10
4Tronqué à .793 * 104Arrondi à .794 * 104
Ift242112 Chapitre 1Attention:
Addition1.3685 + 0.0269 àfl(fl(.13685 * 101) +fl( .269 * 10-1))=Tronqué à .138 * 101Arrondi à .140 * 101Pour une suite d'opération, il faut
arrondir ou tronqué chaque résultat intermédiaire.L'ordre dans lequel sont effectuées les
opérations est très important.On n'a plus l'associativité des
opérations + et *.Ift242113 Chapitre 1Erreurs sur les données:
Définition:
Q valeur exacte
( p = 3.14159265... ) Q * approximation de Q ( p* = 3.14)Comment définir l'erreur sur Q?
Erreur absolueDQQQ=-*Intervalle de confiance:
l'intervalle de largeur 2DQ etde centre Q*.Erreur relative D rQQQ Q()* =-On emploie plutôt EQQQ Qr()* Ift242114 Chapitre 1Chiffres significatifs exacts(cse)Un chiffre significatif d'une valeur Q
* est exactsi l'erreur absolue (DQ)sur cette valeur est £ ½ fois l'unité du rang du chiffre.Exemple:Q = 3.2189 ± 0.0003
Le '8' est- il un cse?
Rang du 8 = -3
Unité du rang du 8 = 0.001
½ fois cette unité = 0.0005
DQ = 0.0003 £ 0.0005
è le 8 est un cse et c'est le dernier.
Q a donc 4 cse.
Q = 3.2189 ± 0.0003(souvent on souligne les cse) Ift242115 Chapitre 1Conséquences:La nième décimale d'une valeur est exacteÛ DQ £ 0.5 ´ 10-nLe nième chiffre devant le point est exactÛDQ £ 0.5 ´ 10n-1Remarques:
· Si tous les chiffres sont exacts, une borne
pour l'erreur absolue est égale à ½ fois l'unité du dernier chiffre.· Souvent aussi, lorsque l'erreur absolue
n'est pas connue, on suppose que le dernier chiffre n'est pas exact.Ift242116 Chapitre 1Exemple:
Combien y a t il de cse dans la valeur approchée de p donnée par p * = 22 / 7 p * = 3.1428571... DQ= | p - p* | = 0.0012644... £ 0.0005 £ 0.5 10-2Le rang du dernier cse est -2.
p* = 3.1428571...on écrit en général 3.143 ± 0.005Combien y a t il de cse dans la valeur approchée de p donnée par
p * = 3.1416DQ= | p - p* | = 0.73 10-5
p * = 3.1416Ift242117 Chapitre 1Cancellation de 'cse'
Soustraction de valeurs presque égalesUUaveccseVVaveccse==´
==´700108367210570000836661052
2*XUVXUV=-=´=-=´-
-05975910061022..***DX=´-024104.
Þ=´±´--X0610000241022..
Plus que 2 cse, problème
Remarque:Xab=-or
()()()ababab-´+=-donc X ab ab=- et X· à l'ordre d'évaluation
des opérations.· aux simplification à
apporter pour minimiser les erreurs.Ift242118 Chapitre 1Séries de Taylor
Fonction à une variablefxfafxxafaxafa
nxa Rxan n()()()()() +22KRxaxt
nftdt xa nfn n ax n n(,)() 1quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] exercices chiffres significatifs 2nde
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