[PDF] [PDF] Chapitre 1 Les erreurs - beldjelili

View - Download [PDF] Chapitre 1 Les erreurs - beldjelili

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 1

Les erreurs

1 Erreur absolue et erreur relative

Soientxune valeur exacte etxune valeur approchee dex.

1.1 Erreur absolue

Denition

On appelle erreur absolue dex(sur x), la quantiteE=jxxj. L'erreur absolue sert a determiner la precision de la valeur approcheexpar rapport a la valeur exactex.

Exemple

Pour la valeur exactex= 2=3, la valeur approcheex1= 0:666667est mille fois plus precise que la valeur approcheex2= 0:667En eet, nous avons : E

1=jxx1j=j2=30:666667j=13

106
E

2=jxx2j=j2=30:667j=13

103

1.2 Erreur relative

Denition

On appelle erreur relative dex, la quantiteEr=jxxjjxj=Ejxj. L'erreur relative sert a comparer la precision de dierentes valeurs approcheesx;y;:::relativement a dierentes valeurs exactesx;y;:::.

1Cours MNA-BELDJELILI-2014

CHAPITRE 1. LES ERREURS

Exemple

Pour les valeurs exactesx= 2=3ety= 1=15, on considere les valeurs approchees respectivesx= 0:67ety= 0:07les erreurs absolues sont : E

1=jxxj=j2=30:67j=13

102
E

2=jyyj=j1=150:07j=13

102

Les erreurs relatives sont :

E r1=E1=jxj= 0:5% E r2=E2=jyj= 0:5% Ainsi, bier que les erreurs absolues soient egales,xest une approximation dix fois plus precise pourxque ne l'estypoury.

2 Majorants des erreurs absolue et relative

On appelle majorant de l'erreur absolue dune valeur approcheextout nombre reel positif4xveriant : E=jxxj 4xou de maniere equivalente :x 4xxx+4x. On ecrit x=x 4x

3 Propagation des erreurs

Soientxetydeux valeur exactes,xetydeux approximations dexety,4xet

4yles erreurs absolues etxetyles erreurs relatives.

3.1 Addition

4(x+y) =4x+4yet(x+y)max(x;y)

3.2 Soustraction

4(xy) =4x+4yet(xy)jx+yjjxyjmax(x;y)

3.3 Multiplication

4(xy) =x4y+y4xet(xy) =x+y

2Cours MNA-BELDJELILI-2014

CHAPITRE 1. LES ERREURS

3.4 Division

4(x=y) =x4y+y4x(y)2et(x=y) =x+y

4 Chires signicatifs

4.1 Representation decimale des nombres approches

On sait que tout nombre reel positifxPeut ^etre represente sous la forme d'un nombre decimal de developpement limite ou illimite : x=am10m+am110m1+:::+amn10mn+::: ou lesaisont les chires du nombre reelx(lesaiprennent les valeurs 0, 1, 2, ., 9), avec a m6= 0oumest un entier naturel appele rang superieur du nombre reelx.

Exemple

Cas d'un developperent limite :

3125:1670 = 3:103+ 1:102+ 2:103+ 5:100+ 1:101+ 6:102+ 7:103 + 0:104

Cas d'un developperent illimite :

= 3:14159265358:::= 3:100+ 1:101+ 4:102+ 1:103+ 5:104+:::+ 5:1010+

8:1011+:::

Dans la pratique on n'utilise, essentiellement, que des nombres approches nis (avec developpements limites) : xbm10m+bm110m1+:::+bmn10mn |{z} x*b m6= 0 - Tous les chires conservesbi(i=m;:::mn)s'appellent chires signicatifs du nombre approchex. - Certains des bi peuvent ^etre nuls. - Les exemples suivants illustrent les cas ou le zero n'est pas considere comme chire signicatif.

1.x= 3:103+0:104+4:105+0:106qui s'ecrit en notation decimalex= 0:003040

. Les zeros soulignes ne sont pas des chires signicatifs.

2.x= 2:108+ 0:107+ 0:106+ 1:105+ 0:104qui s'ecrit en notation decimalex=

200100000. Les zeros soulignes ne sont pas des chires signicatifs.

3Cours MNA-BELDJELILI-2014

CHAPITRE 1. LES ERREURS

Denition de chire signicatif

On appelle chire signicatif d'un nombre approche, tout chire dans sa representation decimale dierent du zero; et un zero s'il se trouve entre deux chires signicatifs, ou s'il constitue un chire conserve.

Exemple

Une approximation a 6 decimales dex= 0:00301045est :

0:003010=x(= 3:103+ 0:104+ 1:105+ 0:106)

Ce zero traduit le fait que le nombre approche a conserve la decimale106: c'est un chire signicatif. Etant place entre les chires signicatifs3et1, zero est lui-m^eme un chire signicatif. Ne sont pas signicatifs car ils ne servent qu'a, indiquer les rangs des autres chires.

4.2 Chires signicatifs exacts

Denition

Un chire signicatif d'un nombre approchexest dit exact (c.s.e) si l'erreur absolue de ce nombre ne depasse pas un demi unite de rang du chire signicatif.

Ainsi :

Lenemechire signicatif apres la virgule est exact si :4x0:5 10n Lenemechire signicatif avant la virgule est exact si :4x0:5 10n1

Exemple

Pourx= 35:97etx= 36:00(une approximation de x), nous avons :

4x=jxxj=j35:9736:00j= 0:3 1010:5 101donc les chires signicatifs

3, 6 et le premier zero apres la virgule sont exacts.

Si un chire signicatif est exact, tous les chires signicatif a sa gauche sont exacts. Si un chire signicatif nest pas exact, tous ceux a sa droite ne le sont pas. Si l'erreur absolue ne depasse pas une unite de rang du chire signicatif, on dit que c'est une approximation au sens large ou encore que c'est une approximation a chires exacts dans un sens large.

4Cours MNA-BELDJELILI-2014

CHAPITRE 1. LES ERREURS

5 Arrondissement d'un nombre

Une methode habituelle pour tronquer un nombre pour ne garder qu'un nombre ni de chires signicatifs est l'arrondi.

5.1 Regles d'arrondissement

Pour arrondir un nombre jusqu'anchires signicatifs, il faut eliminer les chires a droite dunemec. s. conserve si on se trouve apres la virgule, sinon on remplace par des zeros, puis on procede de la maniere suivante :

1. Si le(n+ 1)emec. s. est>5, on ajoute 1 aunemechire.

2. Si le(n+ 1)emec. s. est<5, les chires retenus restent inchanges.

3. Si le(n+l)emec. s. est egale a 5 alors deux cas sont possibles :

Tous les chires rejetes, situes apres le(n+1)emec.s, sont des zeros : On applique la regle du chire pair, ie : lenemechire reste inchange s'il est pair. On lui ajoute 1 s'il est impair. Parmi les chires rejetes, situes apres le(n+ 1)emec.s, il existe au moins un qui soit non nul : On ajoute 1 aunemechire.

5.2 Consequence

Un nombre correctement arrondi ne possede que des chires signicatifs exacts.

6 Relation entre erreur relative et c.s.e

Si un nombre approximatif possedenchires signicatifs exacts, alors son erreur relative est<5 10n(sauf si le nombre est 1 suivi de(n1)zeros). Si l'erreur relative axest0:5 10nalorsxpossede au moinsnchires signicatifs exacts.

5Cours MNA-BELDJELILI-2014

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] chiffres significatifs exos

[PDF] exercices chiffres significatifs 2nde

[PDF] les nombres cardinaux en anglais pdf

[PDF] les nombres en anglais pdf

[PDF] les nombres et les chiffres en anglais pdf

[PDF] l'heure en anglais pdf

[PDF] les nombres ordinaux anglais de 1 ? 100

[PDF] les nombres ordinaux en anglais pdf

[PDF] nombre en anglais de 1 ? 100 a imprimer

[PDF] lexique physique chimie

[PDF] nomenclature chimie exercices corrigés

[PDF] test d'identification du dioxyde de carbone

[PDF] test pour identifier le dioxygène

[PDF] décomposition de l'eau oxygénée corrigé

[PDF] decomposition de l'eau oxygénée chimie