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D) On montre que son complémentaire est fermé On consid`ere E = C 0([01]R) muni de la norme ? que X est ouvert en utilisant la méthode A)
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1 Espaces métriques 1 Distance boules ouverts fermés 1/On dit que (Ed) est compact si de tout recouvrement ouvert de E on peut extraire un
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Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour la i=1 n ¡ Uj Ki¢ j£ J est donc un recouvrement ouvert de Ki
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1 3 1 Ouverts et fermés d'un espace métrique 3 3 1 Image continue d'un compact 6 3 1 Topologie de la convergence uniforme sur tout compact
Chapitre4
Compacit´e
4.1Lapropri´et´edeBorel-Lebesgue
r´eunioncontientA. sous-recouvrementfini. compacteets´epar´ee. 16 l"intersectionnerencontrepasA. lespartiesferm´ees. K?Xestcompactesietseulementsi elleestferm´ee(dansX). suiteconvergente. admetunesous-suiteconvergentedansA.Onred´emontre:
partiesferm´ees. Corollaire4.2.3.Tout espacem´etriquecompactestcomplet. 174.3Compacit´e etcontinuit´e
estunepartiequasi-compacte. Corollaire4.3.3.Soitfuneapplicationcontinued"unespace compactdansunespace estunhom´eomorphisme. Corollaire4.3.5.Soitfuneapplicationcontinued"unespace compactdansR,alors rielsnorm´es hom´eomorphisme.´equivalentes.
finier´eeloucomplexeestcontinue. compactesestcompacte. fini.VetWtelsque:
A?Vetx?W.
existedesouvertsdisjointsVetWtelsque:A?VetB?W.
18 SurunmˆemeensembleX,larelationd"inclusioninduitunerelation d"ordresurles topologies. queT?sietseulementsiT??T. moinsfineestlatopologiegrossi`ere. lesprojectionspi:Y→Xi,i?{1,2}.Cettetopologiea pourbaselesproduitsd"ouverts. (a,x2)estcontinue. f(0,0)=0,etpour (x,y)?=(0,0),f(x,y)=xy x2+y2.Etudierlesapplicationspartielles.
4.6Espacelocalementcompact
estdedimensionfinie. 19 X. compacteK?. (c)D´emontrerqu"ilexisteunvoisinage compactdeacontenudansV. 20quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts, fermés
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