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Topologie 2- Licence maths

Renaud Leplaideur

2019
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Table des matieres

1 Espaces vectoriels normes 5

1.1 Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Formalisme ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Norme sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Denition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Ensembles ouverts et ensembles fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Boules ouvertes ou fermees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Ouverts et fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Interieur, adherence, proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Interieurs, adherences et relations binaires entre les ensembles . . . 15

1.4.3 Parties denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Compacite 17

2.1 Denition sequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Rappels sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Denition et premieres proprietes et caracterisation en dimension

nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3 Quelques consequences sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Denition a l'aide des recouvrement d'ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Continuite-Homeomorphismes 21

3.1 Denition avec les ouverts et les fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Denition. Caracterisation avec les ouverts et les fermes . . . . . . . 21

3.1.2 Images directes d'ouverts ou de fermes . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Compacts et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Image directe d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.3 Uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Homeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 EVN complets : espaces de Banach 27

4.1 Denition, exemples et une description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 (C0([0;1]);jj jj1) est un Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

4TABLE DES MATIERES

4.1.2 (C0+1([0;1]);jj jjLip) est un Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.3 Fermetures des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.4 Prolongement par continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Series et critere de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Applications contractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A Theoreme de Stone-Weirstrass 31

B Retour sur la compacite 33

Chapitre 1

Espaces vectoriels normes

1.1 Rappels sur les ensembles

1.1.1 Formalisme ensembliste

Un ensembleEest une collection (eventuellement vide)d'elements. L'ensemble vide se note;. Un ensemble decrit a partir de ses element se note avec des accolades. Pour signier quexest un element deEon ecritx2E. Exemple 1.f0;1;2gdesigne l'ensemble compose des 3 elements, 0, 1 et 2.

On dispose d'operation sur les ensembles :

1. L'intersection,\. SiAetBsont deux ensembles,A\Best l'ensemble des elements

qui appartiennent aAet aB.

2. L'union,[. SiAetBsont deux ensembles,A[Best l'ensemble des elements qui

appartiennent aAou aB(c'est a dire a au moins l'un des deux).

3. L'inclusion,. SiAetBsont deux ensembles, ecrireABsignie que tous les

elements deAsont aussi elements deB. On dit alors queAest unsous-ensemble ou une partiedeB.

4. Le produit,AB, designe l'ensemble descouplesdont la premiere coordonnee est

dansAet la deuxieme dansB, c'est a dire

AB=f(x;y); x2A; y2Bg:

Nier l'inclusion,A6Bsignie queAcontient un element qui n'est pas dansB. Ainsi, ;est inclus dans tout ensemble. L'intersection et l'union peuvent se faire sur une famille quelconque. Ainsi, l'intersec- tion de deux ensembles permet de denir par recurrence l'intersection d'un nombre ni d'ensembles. Mais on peut aussi avoir une intersection (ou une union) innie :

Exemples 2.

n2NAndesigne l'intersection que tous les ensemblesAnc'est a dire x2 \n2NAnsi et seulement si8n; x2An: S x2IAxdesigne l'union desAx, c'est a dire queyappartient a cette union si et seulement siyappartient a l'un (au moins) desAx. 5

6CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMES

Exercice 1

1/ Decrire\x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.

2/ Decrire[x2]1;1[[x";x+"] avec" >0 xe.

3/ Decrire\x2]";"[[x1;x+ 1] avec" >0 xe.

L'inclusion est une relation d'ordre partielle sur les ensembles. Relation d'ordre signie que

1. l'inclusion est re

exive :AA, .

2. L'inclusion est transitive : siABetBCalorsAC.

3. L'inclusion est antisymetrique : siABetBA, alorsA=B.

Remarque 1.Cette derniere propriete permet de verier dans la pratique l'egalite de deux ensembles. On montre la double inclusion. DireA(Bsignie queAest inclus strictement dansB, c'est a direABetB6A. SiEest un ensemble, on denit un nouvel ensemble, appele ensemble des parties de Eet noteP(E) qui est l'ensemble des sous-ensembles deE. Comme; EetEE, P(E) n'est jamais vide; il contient;etE(si celui-ci n'est pas vide). Sixest un element deE,fxgest unsingleton, c'est a dire un ensemble qui ne contient qu'un unique element, cet element etantx. Ainsifxg E, ce qui s'ecrit aussifxg 2 P(E). On prendra soin de ne pas confondrexetfxg. L'un est un element deE, l'autre un sous-ensemble deE. Exemple 3.Ainsi les ecrituresxEetfxg 2En'ont aucun sens.

Dans ce cours on utilisera souvent des cha^nes d'appartenance du type :x2UAce qui signie quexest un element d'un ensembleUqui est lui un sous-ensemble deA.

Exemple 4.On pourra ecrirex2 fxg E.

Lemme 1.1.1.Soit(Ai)i2Iune famille de sous-ensembles deE. Alors En\ i2IA i=[ i2IEnAi Demonstration.Par denition du complementaire un element deEappartient a exacte- ment l'un des ensemblesAiouEnAi. Direx =2 \Aisignie quexn'est pas dans tous les A idonc qu'il est dans au moins unBi. Reciproquement, dire quexest dans l'un desBisignie quexn'est pas dans tous les A i, donc dans le complementaire de l'intersection desAi.1.1.2 Applications

Premieres denitions

Etant donnes deux ensemblesEetF, on appelleapplicationdeEversFtoute operation qui consiste a associer a chaque elementxdeEun element (et un seul) dans

1.1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES7

F. Souvent, on donne un nom a l'application, et souvent ce seraf, et l'element associe a xse notef(x). On note aussi f:x7!f(x) pour dire qu'on considere l'applicationf. L'ensembleEest l'ensemble de depart, l'en- sembleFest l'ensemble d'arrivee. Ils ne sont pas necessairement identiques (ni de \m^eme nature"). Sixest un element deEetf:E!Fune application,f(x) s'appellel'imagedex parf. Siyest un element deF(ensemble d'arrivee) et si on ay=f(x), alors on dire que xestunantecedentdeyparx. Sixn'a qu'une seule image, l'elementypeut lui avoir plusieurs antecedents (ou aucun). Une applicationf:E!Fse caracterise par songraphe. Le graphe defest l'ensemble des elements deEFde la forme (x;f(x)). Il est courant de parler d'une application a partir de son expression enxlorsque celle ci existe. C'est cependant unabus de langage source d'erreurs de d'incomprehensions. Exemple 5.On parle dex2pour decrire l'application qui associe a chaquexdeRson carre,x2=x:x. On voit aussiexpourx7!exou encore sin(x) pour l'application sinus ou sin.

On rappelle quef:E!Fest dite :

1.injectivesi chaqueyde l'ensemble d'arrivee aau plusun antecedent parf. Cela

signie aussi que toute paire d'elementsxetx0dierents dansE,f(x)6=f(x0), ou encore, que sif(x) =f(x0), alors (necessairement)x=x0.

2.surjectivesi tout elementyde l'ensemble d'arrivee aau moinsun antecedent par

f.

3.bijectivesi elle est injective et bijective.

Exemple 6.exp une une bijection deRdansR+.x7!x2n'est ni injective ni surjective lorsqu'on la considere comme une application deRversR. Elle est injective si on restreint l'ensemble de depart aR+et surjective si on restreint l'ensemble d'arrivee aR+egalement. Sif:E!Fest une bijection, chaqueydeFadmet un unique antecedent parf.

Cela denit une autre application, inverse def, notee (souvent)f1. Elle verief(x) =y()y=f1(x)Remarque 2.Noter que l'ecrituref1(y) n'a de sens que parce quefest bijective.

Images et preimages d'ensembles

On considere une applicationfdeEversF.

Denition 1.1.2.SiAest une partie deE, l'ensemble des points images parfdes elements deAse notef(A). SiBest une partie deF, l'ensemble des elements deE ayant une image parfdansBse notef1(B). Remarque 3.Il s'agit denotations. Il faut apprendre a distinguerf(x) def(fxg), f

1(y) (valable seulement sifest bijective) etf1(fyg).

Question 1.Les operations ensemblistes\et[sont-elles preservees parf?

8CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMESOn retiendra: les operations ensemblistes ne sont pas

necessairement preservees par les images directes mais le sont par les images reciproques :f

1(B\B0) =f1(B)\f1(B0),f

1(B[B0) =f1(B)[f1(B0).1.2 Norme sur un espace vectoriel

1.2.1 Denition et exemples

Nous considerons unK-espace vectoriel. Il s'agit de mettre une structure topologique qui respecte la structure vectorielle. Denition 1.2.1.SoitEunK-ev (avecK=RouC). On appelle norme surEtoute applicationjj jj:E!R+telle que

1. Pour tout2Ket pour toutxdansE,jj:xjj=jj:jjxjj:

2. Pour toutxetydansE,jjx+yjj jjxjj+jjyjj(inegalite triangulaire).

3. Sijjxjj= 0alorsx= 0.

Un espace vectoriel muni d'une norme s'appelle un espace vectoriel norme. On utilisera souvent l'abreviation \evn". Remarque 4.La premiere propriete donne immediatementjj0jj= 0. Donc pour une normejjxjj= 0()x= 0. Cette distance permet de denir la distance entre un pointxdeEet une partie non videAdeEen posant d(x;A) = inffjjxyjjy2Ag: On notera que cette borne inferieure est bien denie car l'ensemble considere n'est pas vide (Aest non vide) et est minore dansR(par 0). Exemple 7.DansR2muni de la norme euclidienne (normejj jj2) on peut calculer la distance d'un point a une droite.

Exemples

1- L'espace vectoriel surR,Rmuni de la valeur absolue est une evn.

2- DansKn,jj(x1;:::;xn)jj1=jx1j+:::+jxnj,jj(x1;:::;xn)jj2=qx

21+:::+x2net

jj(x1;:::;xn)jj1= maxi(jxij).

3- Dans l'ensemble des fonctions continues de [0;1] dansR,C([0;1];R)on aurajjfjj1=Z1

0 jf(t)jdt(=P t2[0;1]jf(t)j),jjfjjp= Z1 0 jf(t)jp 1p etjjfjj1= supjf(t)j. Notez que jj jj

1s'appelle lanorme de la convergence uniforme.

1.2. NORME SUR UN ESPACE VECTORIEL9

4- Sur l'espaceSdes suites reelles on posejjujj

p= X njunjp! 1p etjjujj

1= sup

njunj. On introduit alors le sous-espacelp(p+1) des suitesudenies par u2lp() jjujj p<1: Ainsil1est l'ensemble des suites bornees. Surlp,jj jjpest une norme. Il n'esta prioripas simple de voir quelpest un sous-espace vectoriel. En fait on demontre en m^eme temps que c'est une sous-espace et qu'il est norme. Lemme 1.2.2.Soitdans]0;1[. Soientuetvdeux reels strictement positifs. Alors u v1u+ (1)v, avec egalite si et seulement siu=v. Demonstration.Il sut de remarquer queuv1=elogu+(1)logvet d'utiliser la stricte

convexite de l'application exponentielle.Lemme 1.2.3(Inegalite de Holder).Siuetvsont respectivement danslpetlqavec

1p +1q = 1, alors la suiteuvdont le terme general estunvnest dansl1et verie

Xjunvnj jjujj

pjjvjj q:

Demonstration.On poseu=u

njjujj p p etv=v njjvjj q q . Le lemme 1.2.2 donne u 1p :v1q =junjjjujj pjvnjjjvjj q1p u njjujj p p +1q v njjvjj q q

En sommant surnon trouve donc+1X

n=0junvnjjjujjquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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