[PDF] [PDF] Méthodes en topologie Montrer quune partie est ouverte

View - Download [PDF] Méthodes en topologie Montrer quune partie est ouverte

Previous PDF

Next PDF

MP2Methodes en topologie2019 - 2020Dans tout ce document (E;jj:jj) est un espace vectoriel norme

Montrer qu'une partie est ouverte

SoitXune partie deE. Voici les methodes classiques pour montrer queXest un ouvert. A) On revient a la denition. Une partieXdeEest ouverte si et seulement si pour tout elementx deX, il existe un reel >0 tel queB(x;)X. B) On montre queXest une reunion (quelconque) de parties ouvertes ou une intersection nie d'ouverts. C) On montre queXest l'image reciproque d'un ouvert par une application continue. D)

On montre que son complementaire est ferme.

Donnons quelques exemples de ces methodes.

On considereE=C0([0;1];R) muni de la normejj:jj1. SoitX=ff2E ; f >0g. Montrons queXest ouvert en utilisant la methode A). Pour toute fonctionfdeX, comme elle est continue sur un segment, elle est minoree (ce qui est evident ici) et atteint son minimum. Il existe donc x

02[0;1] tel que pour toutx2[0;1],f(x)⩾f(x0). Commef >0, on sait quef(x0)>0, on

peut donc poser=f(x0) 2 Il suffit alors de verier queB(f;)X. Soitgune fonction de cette boule, on a doncjjgfjj1< . Pour toutxdans [0;1], g(x) =f(x) + (g(x)f(x))> f(x0) >0 On a bien quegappartient aXet doncB(f;)X. La partieXest un ouvert deE. Montrons queGLn(C) est un ouvert deMn(C). On va utiliser la methode C) On considere det :Mn(C)!C. On sait que le determinant est une application polynomiale en les coordonnees

1. Maintenant,GLn(C) = det1(C). OrCest un ouvert deCcar son

complementairef0gest un ferme. Finalement,GLn(C) est un ouvert deMn(C) comme image reciproque d'un ouvert par une application continue. SiEest unRespace vectoriel de dimension nie et siℓ:E!Rest une forme lineaire, pour tout a2R,X=fx2E ; ℓ(x)> agest un ouvert. En effetX=ℓ1(]a;+1[) orℓest continue car c'est une application lineaire sur un espace vectoriel de dimension nie et ]a;+1[ est un ouvert.

1. car siM= (mij), alors det(M) =∑

2Sn"()m1(1) mn(n).

1/3 MP2Methodes en topologie2019 - 2020Montrer qu'une partie est fermee SoitXune partie deE. Voici les methodes classiques pour montrer queXest un ferme. A)

On utilise la caracterisation sequentielle.

Precisement, pour montrer queXest ferme, il suffit de montrer que toute suite (xn) d'elements deXqui converge (donc qui a une limiteℓ2E) a sa limite dansX2. B) On montre queXest une intersection (quelconque) de parties fermees ou une union nie de fermes. C) On montre queXest l'image reciproque d'un ferme par une application continue. D) On montre que son complementaire∁EXest ouvert.

Donnons quelques exemples de ces methodes.

On noteSl'ensemble des matrices stochastiques deMn(R) c'est-a-dire les matricesM= (mij)2 M n(R) telles que i)

Pour tout (i;j)2[[1;n]]2,mij⩾0

ii)

Pour touti2[[1;n]],n∑

j=1m ij= 1. Montrons queSest un ferme en utilisant la methode A). Soit (Mp) une suite d'elements deStelle que la suite (Mp) converge vers une matriceM. Pour tout (i;j)2[[1;n]]2,M[i;j] = limp!1Mp[i;j]. Comme pour toutp2N,Mp2Son aMp[i;j] qui est une suite positive, sa limite est positive et doncM[i;j]⩾0.

De plus, pour tout entieri2[[1;n]],

n j=1M[i;j] =n∑ j=1limp!1Mp[i;j] = limp!1n j=1M p[i;j] = 1

FinalementM2Sce qui montre queSest ferme.

Soitfx1;:::;xNgun ensemble ni de points deE,X=fx1;:::;xNgest ferme comme union nie de singletons qui sont des fermes. SoitB(N) l'ensemble des suites reelles bornees etjj:jj1la norme innie. SoitX=fu2 B; ucroissanteg. Montrons queXest ferme. On considere son complementaireY. C'est l'en- semble des suites telles qu'il existe un entiern0veriantun0+1< un0. Soituune telle suite etn0 un entier correspondant. On pose=jun0+1un0j 3 . Verions queB(u;) est inclus dansY. Soit v2B(u;). On a donc v n0+1< un0+1+ < un0 < vn0

On en deduit queYest ouvert et doncXest ferme.

2. On ne peut pas"sortir»deXpar un passage a la limite

2/3 MP2Methodes en topologie2019 - 2020Montrer qu'une partie est compacte SoitXune partie deE. Voici les methodes classiques pour montrer queXest un compact. A) SiEest de dimension nie, on utiliserala plupart du tempsle fait queXest compact si et seulement siXest ferme et borne. B) On revient a la denition. On considere une suite (xn) d'elements deXet on construit une sous-suite convergente. C) On montre queXest l'image directe d'un compactKpar une application continue. Assez souvent Ksera alors compact comme produit d'un nombre ni de compact.

Donnons quelques exemples de ces methodes.

On reprend l'ensembleSdes matrices stochastiques deMn(R). On sait queSest ferme. Pour montrer queSest compact, il suffit de montrer qu'il est borne carMn(R) est de dimension nie. Par denition deS, tout coefficient d'une matriceMappartient a [0;1] doncS B

1(0;1). On

en deduit queSest borne et donc compact. SoitK1;:::;Kpun nombre ni de compacts. On poseX=∪p i=1Ki. Montrons queXest compact. On considere une suite (xn)n⩾0d'elements deX. Il existei2[[1;p]] tel queZi=fn2N; xn2 K igest inni carN=∪p i=1Zi. On peut donc trouver une extractiveφstrictement croissante deN dansNtelle que (xφ(n))n⩾0soit a valeurs dansKi. CommeKiest compact, il existe une extractive strictement croissante deNdansNtelle que (xφ( (n)))n⩾0converge. On a bien montre queX etait compact.

Exercice :Montrer queOn(R) est un compact.

3/3quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] 1 Ouvert, fermé, compact

[PDF] Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts, fermés

[PDF] Ouverts et fermés

[PDF] Logique, ensembles et applications - Exo7 - Emathfr

[PDF] enseñar geografía para los nuevos tiempos - Revistas UPEL

[PDF] calendrier des concours MINESUPpdf

[PDF] ARRÊTÉ N°

[PDF] UNIVERSITY OF BUEA UNIVERSITÉ DE BUÉA REPUBLIC OF

[PDF] ENSET dla 2016-2017pdf - Minesup

[PDF] Cliquez pour télécharger la fiche d 'inscription aux concours

[PDF] Inscription - | ENSET Mohammedia

[PDF] Inscription - | ENSET Mohammedia

[PDF] Inscription - | ENSET Mohammedia

[PDF] Inscription - | ENSET Mohammedia

[PDF] Inscription - | ENSET Mohammedia