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Chapitre5Circuits RL et RC

Ce chapitre pr

´esente les deux autres´el´ements lin´eaires des circuits´electriques : l"in- ductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux

´el´ements, et ensuite

leur application dans des circuits. Les techniques d"analyse de circuit vues dans les cha- pitres pr ´ec´edents s"appliquent aux circuits contenant des inductances et des capacitances. On verra en premier les circuits contenant seulement des inductances ou seulement des capacitances. Des circuits contenant ces deux ´el´ements seront pr´esent´es au chapitre suivant. 5.1

Inductanc e

Une inductance est une composante

´electrique qui s"oppose au variations de courant.

Elle est constitu

´ee de plusieurs boucles de fil´electrique embobin´e autour d"un noyau qui peut ˆetre magn´etique ou non. La figure5.1 mon treun exem pled"ind uctance.

Figure5.1 - Photo d"inductances

On utilise le symboleLpour repr´esenter une inductance. Son unit´e est le Henry [H]. 1

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Le symbole typique d"une inductance est montr

´e`a la figure5.2 .

Figure5.2 - Symbole typique d"une inductance

La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est : v=Ldidt (5.1)

On peut faire quelques observations

`a partir de l"´equation5.1 ,`a cause du terme de d

´eriv´ee :

1.

Si le cour antest constan t,la d

´eriv´eedidt

= 0, alors la tensionv= 0. L"inductance se comporte comme un court-circuit en pr

´esence d"un courant constant (DC).

2.

Il ne peut pas y a voirde v ariationinstan tan

´ee de courant dans une inductance. On

peut approximer : didt =it

Sit= 0, alorsv=1, ce qui est impossible.

Exemple1La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pourt <0 et un pulse 10te5tA pourt >0.

1.T racerle gr aphed ucour ant.

2. `A quel instant le courant est-il maximum? 3. T racerla courbe de la tension. 1. Le graphe du courant est donn

´e`a la figure suivante :

Gabriel Cormier 2 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.90 0.2 0.4 0.6

0.82. Pour trouver le point o

`u le courant est maximum, il faut d´eriver l"´equation du cou- rant et mettre

´egal`a z´ero.

didt = 10(5te5t+e5t) = 10e5t(15t) = 0

On solutionne pour trouvert= 0:2s.

3. Pour tracer le graphe de la tension, il faut appliquer directement l"

´equation5.1 .

v=Ldidt = 0:1(10e5t(15t)) =e5t(15t)

Le graphe est donn

´e`a la figure suivante.

-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1Noter que la tension varie instantan

´ement`at= 0; la tension passe de 0V`a 1V.Gabriel Cormier 3 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Courant dans une inductance en fonction de la tension

On peut obtenir une

´equation du courant dans une inductance en fonction de la ten- sion `a ses bornes en r´earrangeant l"expression de la tension.`A partir de l"´equation5.1 , v dt=L di(5.2)

On peut alors int

´egrer de chaque cˆot´e :

L Z di=Z v dt(5.3) ce qui donne : i(t) =1L Z t t

0v d+i(t0) (5.4)

Le plus souvent,t0= 0, et on peut simplifier :

i(t) =1L Z t 0 v d+i(0) (5.5) Exemple2La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pourt <0 et une tension 20te10tV pourt >0. On supposei= 0 pourt <0.1.T racerle gr aphede la tension. 2. C alculerl" expressiond ucour antdans l"ind uctance. 3. T racerla courbe d ucour ant.1. Le graphe de la tension est donn

´e`a la figure suivante :

Gabriel Cormier 4 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s)

v(t)2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l"

´equation5.5 . Le courant initiali(0) = 0.

i=10:1Z t 0

20e10d+0

= 200 "e10100 (10+1)# t 0 = 2(110te10te10t) A

3. Le graphe du courant est le suivant :

-0.100.10.20.30.40.50 0.5 1 1.5 2

Temps (s)

i(t)Remarquer que le courant tend vers une valeur finale de 2A. 5.1.1

Puissanc eet

´energie dans une inductance

On peut obtenir les

´equations de puissance et d"´energie d"une inductance directement a partir des relations de tension et de courant. Si le courant est dans le sens d"une chute

Gabriel Cormier 5 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

de tension, la puissance est : p=vi(5.6)

Si on remplace la tension par l"

´equation5.1 ,

p=Lididt (5.7) ou, si on remplace le courant, p=v 1L Z t t

0v d+i(t0)!

(5.8)

Pour le calcul de l"

´energie, on peut obtenir l"´equation correspondante selon : p=dwdt =Lididt (5.9) et donc, dw=Li di(5.10)

En faisant l"int

´egrale, on obtient :

w=12

Li2(5.11)

Exemple3Pour le circuit de l"exemple 1,

1.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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