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X – MAP PC – Lundi mai – Convergences de variables

Corrigé des exercices non traités sur http Donc Zn converge également en probabilité vers ST (la convergence p.s. implique la convergence en probabilité).

Exercices corrigés

fn(x) en tout point x. 3. Page 8. 4. PROBABILITÉS POUR L'INGÉNIEUR où cette série converge et f (x) = 0 (par exemple) en x où la série ∑ fn diverge. (c)

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Leçon 17 Exercices corrigés

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27 mai 2019 Pour la convergence en probabilité on peut aussi remarquer que ... Exercice 4 (Marche aléatoire simple sur R).

SY01 - Éléments de probabilités

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Montrer que (Xn)N converge presque sûrement vers 0. Exercice 6. Soit X une v.a.r. normale centrée réduite définie sur (?F

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Intégration et probabilités TD 13 – Fonctions caractéristiques

Exercice 1. besgue sur Rd (cette loi de probabilité est une gaussienne d-dimensionnelle ... )n?N converge simplement vers ?X. Corrigé. 1. On calcule.

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Exercice 1 : 1. Rappeler les définitions de la convergence en loi en probabilité

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Exercices : Convergences et approximations en probabilités

Université de Marseille Licence de Mathématiques 3eme année probabilités-Statistique Examen du 17 mai 2018 Le partiel contient 3 exercices Le barème est sur 23 points Le polycopié du cours les notes de cours et de TD sont autorisés Exercice 1 (Coordonnées polaires

TD 08 – Convergence de variables aléatoires (corrigé)

TD 08 – Convergence de variables aléatoires (corrigé) Exercice 1 Second theorème de Borel-Cantelli L’objectif de cet exercice est de montrer le second théorème de Borel-Cantelli Il donne une réciproque du theorème de Borel-Cantelli vu en cours dans le cas où les événements sont indépendants Soit

Feuille de TD 1 Correction - CNRS

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Int´egrationetprobabilit ´es ENS Paris 2012-2013 - CNRS

convergence en loi vers converge p s c’e le th´eor eme de repr` esentation de Skorokhod vu en´ cours pour les variables reelles (´ Attention : c’e un resultat tr´ es subtil) `-Convergence p s avec equiint´ ´egrabilit e implique convergence´ L1 (voir Exercice 6) 1 – Convergences en loi Exercice 1 (Lemme de Slutsky) Soient (X n

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

1) Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire 2) Déterminer les probabilités des évènements ABCA?BB ?CA ?BA ?C 3) Déterminer la probabilité de l'événement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure" Exercice n° 5 On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite

Leçon 20 Exercices corrigés

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EXERCICES corrigés de PROBABILITES - CSDM

EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d’un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe 3 à l’orange et 5 au citron On tire au hasard un bonbon du sachet et on définit les événements suivants : A : « le bonbon est à la menthe » ; B : « le bonbon est à l’orange » ;

Quelques exercices sur le calcul des probabilités

Exercices : Convergences et approximations en probabilités

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Exercices sur la convergence de variables al eatoires Les deux premiers exercices doivent ^etre consid er es comme du cours Exercice 1 On consid ere (X n) une suite de variable al eatoires a valeurs dans Rd et (X0 n) une suite de variable al eatoires a valeurs dans Rd0 1 On suppose que X n p:s:!X X0 n p:s:!X0 Montrer que (X n;X 0 n) p:s

Comment calculer les convergences et approximations en probabilités ?

Convergences et approximations en probabilités Feuille d’exercices 1 En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : 8x 2R ; Z x 0 et2=2dt > r p 2 1 1 x2 : 2 Soit (X n) n2NYune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p 2]0;1[. On pose X n=1 n (X 1+ +X n) pour tout n 2N .

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication.

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Puis étudier la convergence en probabilité, la convergence en loi, la convergence dans L1et la convergence dans L2de la suite (X n) n. Corrigé –pour tout?>0, lim n?+?X n(?) = 0. Comme P({0}) = 0, on a bienX n?0 p.s.. Cette convergence p.s. implique la convergence en probabilité et la convergence en loi.

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication. On pourra observer que la fonction x 7!x 1+xest croissante sur R

Leçon 18 Exercices corrigés

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.Reprendre l"Exercice 1, Leçon 17, en incluant la convergence en probabilité dans la discussion. Exercice 2.SoitXn,n2N, une suite de variables aléatoires de même loi uniformeU(0;1)sur[0;1]; démontrer que a) 1nX n!0en probabilité; b) Xnn !0presque sûrement; c) 1n

2Xn!0presque sûrement.

On suppose en outre les variablesXn,n2N, mutuellement indépendantes.

Établir que

d) 1nX nne converge pas presque sûrement. Indications.Les raisonnements développés pour l"Exercice 1, en particulier le critère issu du lemme de Borel-Cantelli, s"appliquent de la même façon. (Pour b), il suffit d"observer que, presque sûrement, jXnjn 1n car lesXnsont uniformes sur[0;1].) Exercice 3.SoientXn,Yn,n2N, des suites de variables aléatoires réelles, ainsi que des variables aléatoires réellesXetY, définies sur un espace proba- bilisé( ;A;P). a) Si les suitesXn,n2N, etYn,n2N, convergent dansLp,p1, vers des variables aléatoiresXetYrespectivement, démontrer que la suiteXn+Yn, n2N, converge dansLpversX+Y. La suite de l"exercice a pour but de démontrer que la propriété de stabilité précédente est encore vérifiée pour la convergence en probabilité. 1 b) SiUetVsont des variables aléatoires ett2R, démontrer que

P(U+V2t)P(Ut) +P(Vt):

c) Si les suitesXn,n2N, etYn,n2N, convergent en probabilité versXetY respectivement, démontrer que la suiteXn+Yn,n2N, converge en probabilité versX+Y. d*) Dans le cadre de la question précédente, démontrer que la suiteXnYn, n2N, converge en probabilité versXY. Corrigé.a) Par hypothèse,kXnXkp= (E(jXnXjp))1=p!0quand n! 1, et de même pourYn,Y. D"après l"inégalité triangulaire pour la norme k k p, (Xn+Yn)(X+Y) p= (XnX) + (YnY) p kXnXkp+kYnYkp et la conclusion s"ensuit. (Le raisonnement peutêtre étendu à toutp >0.) b) SiU+V2t, nécessairement soitUt, soitVt, autrement dit fU+V2tg fUtg [ fVtg: L"inégalité annoncée s"ensuit par sous-additivité d"une mesure. c) Soit" >0; d"après le point précédent, pour toutn2N,

0Pj(Xn+Yn)(X+Y)j 2")

=PjXnXj+jYnYj 2")

PjXnXj "+PjYnYj ":

L"affirmation s"ensuit par définition de la convergence en probabilité. (Il est possible également d"utiliser la distanceDde la leçon pour répondre à cette question.) d*) Il s"agit de montrer que pour tout" >0fixé, lim n!1PjXnYnXYj 2"= 0; 2 autrement dit, que pour tout >0, il existen0(=n0(;")) tel que pour tout nn0,

PjXnYnXYj 2"5:

(Les constantes2et5sont choisies pour que la présentation tombe bien.) D"après l"inégalité triangulaire, pour chaque entiern, jXnYnXYj=jXnYnXnY+XnYXYj jXnjjYnXj+jYjjXnXj:

Ainsi, en vertu de la question b),

P jXnYnXYj 2"PjXnjjYnYj "+PjYjjXnXj ": Le deuxième terme dans le membre de droite de l"inégalité précédente se traite aisément : choisirt >0assez grand pour queP(jYj> t)(car lim t!1FY(t) = 0etlimt!+1FY(t) = 1); puis, en décomposant, P jYjjXnXj " =PjYjjXnXj ";jYj t+PjYjjXnXj ";jYj> t

PtjXnXj "+PjYj> t

PtjXnXj "+:

Comme la suiteXn,n2N, converge en probabilité versX, il existen1 (=n1(;")) tel que sinn1, P jXnXj "t AinsiP(jYjjXnXj ")2sinn1. Pour le termeP(jXnjjYnYj "), le raisonnement est identique sous réserve d"une majorationP(jXnj>2t)2 uniforme enn(assez grand). Pour cela, utiliser la convergence en probabilité deXn,n2N, versX. En effet, choisirt >0tel queP(jXj> t), puis, P jXnj>2t=PjXnj>2t;jXj t+PjXnj 2t;jXj> t

PjXnXj t+PjXj> t

3 où il a été utilisé quejXnXj jXnj jXj. CommeP(jXnXj t)!0, il s"ensuit queP(jXnj>2t)2pournn2(n2=n2()). En rassemblant toutes les estimées, la conclusion s"ensuit pournmax(n1;n2). Exercice 4.Soit une suiteXn,n2N, de variables aléatoires convergeant en probabilité vers une variable aléatoireX. a) Construire par récurrence une suite strictement croissante d"entiersnk,k2N, telle que, pour toutk1, P jXnkXj 1k 12 k: b) Démontrer que pour tout" >0,P k1P(jXnkXj ")<1. En conclure que la suiteXnk,k2N, converge versXpresque sûrement. Corrigé.a) L"entiernkétant construit, définir par récurrence n k+1= infn nnk+ 1;PjXnXj 1k+112 k+1o Ce choix est rendu possible par le fait queP(jXnXj ")!0pour tout " >0. b) Soit" >0fixé; il existe un entierk01tel que1k

0". Alors, pour

toutkk0, P jXnkXj "PjXnkXj 1k 12 k par définition denk. La sérieP k1P(jXnkXj ")est donc convergente. L"application du premier critère de Borel-Cantelli conclut l"exercice. Exercice 5.Pour toute variable aléatoireZ0, démontrer que pour tout t >0,

P(Zt)1t

EZ?fZtg:

Soit à présentXune variable aléatoire réelle de carré intégrable. 4 a) Démontrer que lim t!1EX2?fjXjtg= 0: Déduire de la question préliminaire que pour tout" >0, lim n!1nPjXj "pn = 0: b) SoientXn,n1, de même loi queX. En utilisant le question précédente, que peut-on dire de la convergence de la suite de variables aléatoiresYn= 1pn max(X1;:::;Xn),n1, lorsquen! 1? Corrigé.SiY=Z?fZtg,P(Zt) =P(Yt), de sorte que la pre- mière affirmation découle de l"application de l"inégalité de Markov à la variable aléatoireY. a) Il suffit d"appliquer le théorème de convergence monotone ou le théorème de convergence dominée. La question préliminaire appliquée àZ=X2 ett="2npour toutn1montre que nPjXj "pn =nPX2"2nEX2?fX2"2ng: L"affirmation découle alors du point précédent. b) D"après l"inégalité sur les réunions (sous-additivité), pour tout" >0et toutn1, P jYnj "Pmax(jX1j;:::;jXnj)"pn nPjXj "pn (puisque les variablesX1;:::;Xnont même loi queX). D"après a), il s"ensuit que la suiteYn,n2N, converge en probabilité vers0. Exercice 6(Polynômes de Bernstein.) Soit unef: [0;1]!Rune fonction continue et soitXnune variable aléatoire sur( ;A;P)suivant une loi binomiale B(n;x)de taillen1et de paramètrex2[0;1]. On noteTn=Xnn a) Montrer queQn(x) =E(f(Tn))est un polynôme (enx), appelé polynôme de Bernstein (de degrén). b) CalculerE(Tn)etVar(Tn). 5 c) Établir quejf(x)Qn(x)j E(jf(Tn)f(x)j). d) Pour >0, poserA=fjTnxj get montrer queP(Ac)1 2n. e) Invoquer un théorème pour affirmer que pour tout" >0, il existe=(")>0 tel que siu;v2[0;1]etjuvj , alorsjf(u)f(v)j ". f) Pour" >0et=(")>0comme dans la question précédente, décomposer, pour toutx2[0;1],E(jf(Tn)f(x)j)suivantAetAcpour obtenir que f(x)Qn(x)"+2M(f) 2n oùM(f) = supt2[0;1]jf(t)j. g) Déduire de la question précédente que pour tout" >0, il existe un entier n=n(")tel quequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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