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Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication.

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Puis étudier la convergence en probabilité, la convergence en loi, la convergence dans L1et la convergence dans L2de la suite (X n) n. Corrigé –pour tout?>0, lim n?+?X n(?) = 0. Comme P({0}) = 0, on a bienX n?0 p.s.. Cette convergence p.s. implique la convergence en probabilité et la convergence en loi.

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication. On pourra observer que la fonction x 7!x 1+xest croissante sur R

www.rblld.frAnnée 2019/2020

Convergences et approximations en probabilités

Feuille d"exercices

1En utilisant l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que :

8x2R+;Z

x 0 et2=2dt>rp 2 11x 2

2Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli

de paramètrep2]0;1[. On poseX n=1n (X1++Xn)pour toutn2N. Montrer que :

8#;t>0;8n2N;PX

np>#6enln(pet+1p)t(p+#):

3Soit X une variable aléatoire, discrète ou à densité, que l"on suppose bornée. Soit M un réel

tel quejXj6M.

1.Justi?er que X admet un moment à tout ordren2N.

2.Montrer que pour tout réela>0,

E(X2)a2M

26P(jXj>a)6E(jXj)a

4Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite

montrer que la convergence en probabilité de(Xn)vers X équivaut à la condition lim n!1EjXnXj1+jXnXj =0:

1.Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X=0.

On suppose X=0 dans la suite de l"exercice.

2.Montrer que la condition est su?sante.

Indication.On pourra observer que la fonctionx7!x1+xest croissante surR+et utiliser des variables aléatoires indicatrices. 3. a. Montrer que :

8#>0;8n2N;EjXnj1+jXnj

6PjXnj>#+#:

b.En déduire que la condition est nécessaire. 5 la même loi donnée par la densité f:x2R7!e(xq)six>q

0 sinon;

oùqest un paramètre réel.Étudier la convergence en probabilité de la suite de terme général Y

n=min(X1;:::;Xn), n2N. 6F Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètrep2]0;1[. On pose, pour toutn2N, Yn=XnXn+1.

1.Pourn2N, déterminer la loi de la variable Yn, son espérance et sa variance.

2.Discuter l"indépendance de Ynet Ympourn6=m2N.

3.Montrer que la suite de terme général

Z n=1n n P k=1Y k;n2N; converge en probabilité vers la variable certaine égale àp2. 7F

1.Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires ayant toutes une variance. On suppose

que : limn!1E(Xn) =met limn!1V(Xn) =0: Montrer que(Xn)n2Nconverge en probabilité vers la variable certaine égale àm.

2.On lancenfois une pièce truquée faisant apparaître pile avec probabilitép2]0;1[. On

note X nla variable donnant le nombre de piles obtenus au cours desnlancers et on pose Y n=eXn=n. Étudier la convergence en probabilité de la suite(Yn). 8|

On considèren>1 urnes numérotées de 1 ànet N=anboules numérotées de 1 à N, où

aest un entier non nul. On place au hasard chacune des N boules dans une desnurnes, indépendamment les unes des autres.

Pour touti2J1;nK, on considère la variable aléatoire Tiégale à 1 si l"urne numérotéei

est vide et 0 sinon. On note également Y nle nombre d"urnes vides et Sn=Yn=n.

1.Pouri2J1;nK, donner la loi de Tiet préciser son espérance.

2.Pouri;j2J1;nK, calculer cov(Ti;Tj).

3.CalculerE(Sn)et sa limite lorsquen! 1.

4.CalculerV(Sn)et sa limite lorsquen! 1.

5. a. Justi?er que :

8n>1;Snea6jSnE(Sn)j+E(Sn)ea:

b.En déduire que pour tout#>0, il existe un entiern0tel que :

8n>n0;PSnea>#6P

jSnE(Sn)j>#2 c.Montrer que :

8#>0;limn!1PSnea>#=0:

d.Interpréter le résultat précédent. : application|: di?cileF: classique

www.rblld.frECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles Exercices Convergences et approximations en probabilités - 2

9Soient(Xn),(Yn)deux suites de variables aléatoires et X, Y deux variables aléatoires.

X n+Ynconverge en probabilité vers X+Y. 10|

Convergence presque sûre

Soient(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On dit que la suite(Xn)convergepresque sûrementvers X si : Pn w2Ω:limn!1Xn(w) =X(w)o =1:

1.En revenant à la dé?nition quanti?ée de la limite, justi?er que

A=n w2Ω:limn!1Xn(w) =X(w)o est un événement.

2.Prouver que si(Xn)converge presque sûrement vers X, alors(Xn)converge en proba-

bilité vers X.

3.On considère dans cette question une suite(Xn)de variables aléatoires indépendantes

suivant des lois de Bernoulli dont les paramètres respectifs sont notéspn,n2N. a.Justi?er que(Xn)converge en probabilité vers 0 si, et seulement si, la suite réelle (pn)converge vers 0. sûrement vers 0 si, et seulement si, la sériePpnconverge. c.En déduire que la réciproque de l"implication étudiée en2.est fausse.

4.On suppose dans cette question que(Xn)converge en probabilité vers X.

a.Soient(un)n2Net(vn)n2Ndeux suites réelles strictement décroissantes de limite nulle telles que la sériePvnconverge. Justi?er l"existence d"une fonction?:

N!Nstrictement croissante telle que :

8n2N;PX?(n)X>un6vn:

vers X.

11Convergence en moyenne

Soient(Xn)une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On

dit que(Xn)convergeen moyennevers X si, pour toutnassez grand,jXnXjadmet une espérance et limn!1EjXnXj=0:

1.Montrer que si(Xn)converge en moyenne vers X, alors elle converge en probabilité

vers X.1. Hors-programme, étudié dans l"exercice 28 du chapitre 4 (probabilités générales et discrètes).2.Soit(Yn)n2Nune suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant

toutes une loi de Poisson de paramètrel>1. On pose :

8n2N;Xn=nQ

k=1Y k: a.CalculerP(Xn6=0)pourn2N. b.En déduire que(Xn)converge en probabilité vers la variable certaine X=0. c.CalculerE(Xn)pourn2Net en déduire que(Xn)ne converge pas en moyenne. 12F Une stratégie pour les tests psychotechniques de l"ESSEC? il peut choisir entre quatre propositions, dont une et une seule est correcte. Chaque ré- ponse correcte est récompensée par 1 point, chaque réponse incorrecte est sanctionnée par une noteb<0 de sorte qu"un candidat qui répondrait au hasard à une question ait une espérance de note nulle. On suppose que pour chaque question, le candidat élimine deux mauvaises propositions mais ne sait pas identi?er la bonne entre les deux propositions restantes, parmi lesquelles il choisit donc une réponse au hasard. Pour toutn2N, on note Snla somme des notes obtenues par le candidat lors desn premières questions. La note (éventuellement négative) obtenue à l"épreuve est Y n=Snn

1.Déterminer un réelpvéri?ant la condition :

8#>0;8a2]0;1[;9N2N;8n>N;PYn2[p#;p+#]>1a:

2.Étant donné un risquea2]0;1[et un seuils l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev tel que :
8n>N;P(Yn>s)>1a:

Calculer N poura=0;01 ets=0 puiss=p2

3.A?ner le résultat précédent en utilisant le théorème limite central.

13Méthode de Monte-Carlo
On considère une fonctiong: [0;1]!Rcontinue. Soit(Un)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0;1]. On pose :
8n2N;Sn=1n
n P k=1g(Uk)et I=Z 1 0 g(t)dt:
1.Que dire de Snlorsquen! 1?

2.Dans la suite de l"exercice, on considère la fonctiong:t7!p1t2.
a.Écrire une fonction Scilab qui calcule une valeur approchée deR1
0p1t2dten
simulant S n. b.Calculer cette intégrale en utilisant le changement de variablet=cosx. Comparer la valeur exacte et la valeur obtenue par simulation avecn=1000.
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14 Soit(Un)n2Nune suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi uniforme sur[0;1]. On pose, pour toutn2N, M n=max(U1;:::;Un)et Xn=n(1Mn): Étudier la convergence en loi de la suite(Xn)n2N. 15 Soient un réelq>0 et, pour toutn2N, une variable aléatoire Xnsuivant une loi géométrique de paramètrepn=q=n. Étudier la convergence en loi de la suite de terme général Y n=Xn=n. 16F
Soit(Xn)n>2une suite de variables telles que

8n>2;P
X n=1n =11n
P(Xn=n) =1n
Montrer que(Xn)n2Nconverge en probabilité et en loi vers la variable certaine X=0 alors queE(Xn)ne converge pas versE(X)lorsquen! 1.
171.Pourn2Ndonné, justi?er que la fonction
f n:x2R7!1cos(2pnx)si 06x61
0 sinon
dé?nit une densité de probabilité. Soit X nune variable aléatoire de densitéfn.
2.Montrer que la suite(Xn)converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.

3.Justi?er cependant que pour toutx2]0;1[, la suitefn(x)
n2Nest divergente. 18F
On considère des jetons répartis dans deux boîtes A et B. La boîte A contient initialement
deux jetons portant chacun le numéro 0 et la boîte B deux jetons portant le numéro 1. On répète alors l"expérience suivante : on choisit au hasard et simultanément un jetona de A et un jetonbde B puis on place le jetonadans la boîte B et le jetonbdans la boîte A. Pour toutn2N, on note Xnla somme des numéros des jetons contenus dans la boîte
A aprèsnéchanges.

1.Déterminer les probabilités de transitionpi;j=P[Xn=j](Xn+1=i)pouri;j2 f0;1;2g
etn2N.
2.Montrer que la suite(Xn)n2Nconverge en loi vers une limite que l"on déterminera.

19Pour toutn2N, on considère une variable aléatoire Xnde loiE(1n
)et on pose Yn= X n bXnc.
2.Étudier la convergence en loi de la suite(Yn).

20Soit X une variable aléatoire à densité et à valeurs positives. Montrer que la suite de va-
riables aléatoires de terme général X n=bnXcn ,n>1, converge en loi vers X.21|
1.Soient X et Y deux variables aléatoires, dont on note respectivement FXet FYles fonc-
tions de répartition. On considère un réeld>0. a.Pourx2R, montrer que : F
Y(x)6FX(x+d) +PjXYj>d
puis que : F
Y(x)>FX(xd)PjXYj>d:
b.En déduire que :
8x2R;jFX(x)FY(x)j6FX(x+d)FX(xd) +PjXYj>d:
converge en loi vers X.
3.Montrer que la réciproque est fausse en général, mais que la convergence en loi de
(Xn)vers une variable certainecentraîne la convergence en probabilité de(Xn)vers c. 22
Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson
P(1). Pour toutn2N, on pose Sn=X1++Xn.

1.Montrer que la suiteSnn
+1 n2Nconverge en probabilité vers une variable aléatoire que l"on déterminera.
2.Justi?erquelasuitepn(Snn
1) on précisera la loi.
3.Qu"en déduire concernant la suitepn(S2
nn 21)
n2N? 23
vant toutes la loi de Poisson de paramètre 1.
1.Donner, pour toutn2N, la loi de la variable aléatoire Sn=X1++Xn.

2.Montrer, à l"aide du théorème limite central, que
lim n!1P(Sn6n) =12
3.En déduire l"équivalent :
nP k=0n kk!en2 ;n! 1:
24Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi d"es-
pérancemet de variances2>0. On poseX n=1n (X1++Xn)pour toutn2N.
1.Montrer que poura20;12
lim n!1PX nm>1n a =0:
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2.Montrer que :
lim n!1PX nm>1pn >0: 25
Un élève fait en moyenne une faute d"orthographe tous les 500 mots. Donner une valeur e
3'0;05.
26
Le nombre de clients pénétrant dans un magasin pendant une journée suit une loi de Poisson de paramètre 12. On admet que le nombre de clients fréquentant le magasin un jour est indépendant de celui des autres jours. Donner une valeur approchée de la probabilité d"avoir au moins 250 clients durant un mois de 22 jours ouvrables. 27
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d"eux téléphone en moyenne 6 minutes par heure. Quel est le nombre de lignes que l"entreprise doit installer pour que la probabilité
que toutes les lignes soient utilisées au même instant soit inférieure à 0;025?Programmation :
âClasse : 2, 6, 7, 11, 9, 15, 16, 18, 19, (24), (12)
âTD : 1, 5, 14, 22, 23, (25), (26), (27)

âTD?: 4, 8, 10, 21
quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Exercices : Convergences et approximations en probabilités

Comment calculer les convergences et approximations en probabilités ?

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

Convergences et approximations en probabilités

Feuille d"exercices

1En utilisant l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que :

8x2R+;Z

2Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli

8#;t>0;8n2N;PX

3Soit X une variable aléatoire, discrète ou à densité, que l"on suppose bornée. Soit M un réel

1.Justi?er que X admet un moment à tout ordren2N.

2.Montrer que pour tout réela>0,

E(X2)a2M

26P(jXj>a)6E(jXj)a

4Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite

1.Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X=0.

On suppose X=0 dans la suite de l"exercice.

2.Montrer que la condition est su?sante.

8#>0;8n2N;EjXnj1+jXnj

6PjXnj>#+#:

0 sinon;

1.Pourn2N, déterminer la loi de la variable Yn, son espérance et sa variance.

2.Discuter l"indépendance de Ynet Ympourn6=m2N.

3.Montrer que la suite de terme général

1.Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires ayant toutes une variance. On suppose

2.On lancenfois une pièce truquée faisant apparaître pile avec probabilitép2]0;1[. On

1.Pouri2J1;nK, donner la loi de Tiet préciser son espérance.

2.Pouri;j2J1;nK, calculer cov(Ti;Tj).

3.CalculerE(Sn)et sa limite lorsquen! 1.

4.CalculerV(Sn)et sa limite lorsquen! 1.

8n>1;Snea6jSnE(Sn)j+E(Sn)ea:

8n>n0;PSnea>#6P

8#>0;limn!1PSnea>#=0:

9Soient(Xn),(Yn)deux suites de variables aléatoires et X, Y deux variables aléatoires.

Convergence presque sûre

1.En revenant à la dé?nition quanti?ée de la limite, justi?er que

2.Prouver que si(Xn)converge presque sûrement vers X, alors(Xn)converge en proba-

3.On considère dans cette question une suite(Xn)de variables aléatoires indépendantes

4.On suppose dans cette question que(Xn)converge en probabilité vers X.

N!Nstrictement croissante telle que :

8n2N;PX?(n)X>un6vn:

11Convergence en moyenne

1.Montrer que si(Xn)converge en moyenne vers X, alors elle converge en probabilité

8n2N;Xn=nQ

1.Déterminer un réelpvéri?ant la condition :

8#>0;8a2]0;1[;9N2N;8n>N;PYn2[p#;p+#]>1a:

8n>N;P(Yn>s)>1a:

Calculer N poura=0;01 ets=0 puiss=p2

3.A?ner le résultat précédent en utilisant le théorème limite central.

13Méthode de Monte-Carlo

8n2N;Sn=1n

1.Que dire de Snlorsquen! 1?

2.Dans la suite de l"exercice, on considère la fonctiong:t7!p1t2.

0p1t2dten

Soit(Xn)n>2une suite de variables telles que

8n>2;P

P(Xn=n) =1n

171.Pourn2Ndonné, justi?er que la fonction

0 sinon

2.Montrer que la suite(Xn)converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.

3.Justi?er cependant que pour toutx2]0;1[, la suitefn(x)

A aprèsnéchanges.

1.Déterminer les probabilités de transitionpi;j=P[Xn=j](Xn+1=i)pouri;j2 f0;1;2g

2.Montrer que la suite(Xn)n2Nconverge en loi vers une limite que l"on déterminera.

19Pour toutn2N, on considère une variable aléatoire Xnde loiE(1n

2.Étudier la convergence en loi de la suite(Yn).

20Soit X une variable aléatoire à densité et à valeurs positives. Montrer que la suite de va-

1.Soient X et Y deux variables aléatoires, dont on note respectivement FXet FYles fonc-

Y(x)6FX(x+d) +PjXYj>d

Y(x)>FX(xd)PjXYj>d:

8x2R;jFX(x)FY(x)j6FX(x+d)FX(xd) +PjXYj>d:

3.Montrer que la réciproque est fausse en général, mais que la convergence en loi de

P(1). Pour toutn2N, on pose Sn=X1++Xn.

1.Montrer que la suiteSnn

2.Justi?erquelasuitepn(Snn

3.Qu"en déduire concernant la suitepn(S2

1.Donner, pour toutn2N, la loi de la variable aléatoire Sn=X1++Xn.

2.Montrer, à l"aide du théorème limite central, que