EXERCICES corrigés de PROBABILITES

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Corrigé des exercices non traités sur http Donc Zn converge également en probabilité vers ST (la convergence p.s. implique la convergence en probabilité).

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PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

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EXERCICES corrigés de PROBABILITES - CSDM

EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d’un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe 3 à l’orange et 5 au citron On tire au hasard un bonbon du sachet et on définit les événements suivants : A : « le bonbon est à la menthe » ; B : « le bonbon est à l’orange » ;

Quelques exercices sur le calcul des probabilités

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Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication.

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Puis étudier la convergence en probabilité, la convergence en loi, la convergence dans L1et la convergence dans L2de la suite (X n) n. Corrigé –pour tout?>0, lim n?+?X n(?) = 0. Comme P({0}) = 0, on a bienX n?0 p.s.. Cette convergence p.s. implique la convergence en probabilité et la convergence en loi.

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication. On pourra observer que la fonction x 7!x 1+xest croissante sur R

Calculer la probabilité d'un événement

Exercice n°1:

Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l'orange et 5 au citron. On tire, au hasard, un bonbon du sachet et

on définit les événements suivants :

A : " le bonbon est à la menthe » ;

B : " le bonbon est à l'orange » ;

C : " le bonbon est au citron ».

1.Détermine les probabilités p(A) puis p(B) et p(C).

2.Représente l'expérience par un arbre pondéré ( on fait f

igurer sur chaque branche la probabilité associée).

Solution :

1.Calcul de probabilités.

Com me le bonbon est tiré au hasard, alors chaque bonbon a la même chance d"être tiré. Le nombre d"issues possibles est de 10 ( 2 + 3 + 5 = 10). L"événement A est constitué de deux issue favorables, on a donc : p(A) = 102
L"événement B est constitué de trois issue favorables, on a donc : p(B) = 103
L"événement C est constitué de cinq issue favorables, on a donc : p(C) = 105

2.Arbre des possibles

A 0,2 0,3 B 0,5 C

On vérifie que 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1

Exercice n°2 :

Un jeu de 32 cartes à jouer est constitué de quatre " familles » : trèfle et pique, de couleur noire ; carreau et coeur, de couleur rouge. Dans chaque famille, on trouve trois " figures » : valet, dame, roi. On tire une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité des événements suivants :

1." La carte tirée est une dame. »

2." La carte tirée est une figure rouge. »

3." La carte tirée n'est pas une figure rouge. »

Solution :

1." La carte tirée est une dame. »

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 dames, soit 4 possibilités, ou cas favorables, pour l"événement A.

Le nom

bre de cas possibles est égal au nombre total de cartes, soit 32.

D"où

p(A) = 81
324
Conclusion : La probabilité de tirer une dame est 81

2." La carte tirée est une figure rouge. »

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 figures carreaux et 3 figures curs, 6 possibilités, ou cas favorables, pour

l"événem ent B.

D"où

p(B) = 163
326
Conclusion : La probabilité de tirer une figure rougeest 163

3." La carte tirée n'est pas une figure rouge. »

L"événement C est l"événement contraire de B. Donc p(C) = 1 - p(B) p(C) = 1 - 1613
16316
163
Conclusion : La probabilité de ne pas tirer une figure rouge est 1613

Exercice n°3 :

Déterminer la probabilité de tirer un as ou un coeur dans un jeu de 32 ca rtes.

Solution :

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 as ( le carreau, le trèfle, le pi c ), 1 as cur et 7 curs . Il y a donc 11 chances sur 32 de tirer un as ou un coeur soit une probab ilité de 3211

Exercice n°4:

Un sac opaque contient les boules représentées ci-dessous ; un nom bre de points est indiqué sur chacune d'elles. On tire au hasard une boule et on lit le nombre de points.

Solution :

1.L'arbre pondéré des possibles.

Les résultats possibles sont : 1, 2, 3, 4

4,0104

3,01032

2,0102

1,0101 4

On remarque que la somme des probabilités est égale à 1 : 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1

2.Probabilité de l'événement A : " obtenir au moins 2 points »

L"événement contraire de A est : " obtenir 1 point »

On a donc

p(non A) = 0,4 Comme p(A) + p(non A) = 1 , alors p(A) = 1 - p(non A) = 1 - 0,4 = 0,6 Conclusion : La probabilité de l"événement a est 0,6

Exercice n°5 :

Un écran LCD de forme rectangulaire a pour dimensions 60 cm

45 cm. La partie principale de l'écran est

elle-même représentée par un rectangle de dimensions 48 cm

36 cm.

Sachant qu'un pixel de l'écran est défectueux, détermine la probabilité de l'événement A défini par : " le pixel défectueux se trouve sur la partie principale de l'écran ».

1.Dessine l'arbre des possibles par les probabilités

données sous form e fractionnaire et décimale.

2.Calcule la probabilité de l'événement A : " obtenir

au m oins 2 points ». 45 cm
36 cm

48 cm60 cm

Solution :

La probabilité cherchée est :

p(A) = écranl'de totaleaireprincipale partie la de aire

Avec aire de la partie principale = 48 cm

36 cm = 1 728 cm

2 et aire totale de l'écran = 60 cm

45 cm = 2 700 cm

D'où

p(A) = 64,0700 2728 1.

Conclusion : p(A) = 0,64

Expérience à deux épreuves

Exercice n°6:

Un joueur de tennis a droit à deux tentatives pour réussir sa mise en jeu. Gwladys réussit sa première balle de service dans 65 % des cas. Quand elle échoue, elle réussit la seconde dans 80 % des cas.

Quelle est la probabilité pour qu'elle commette une double faute ( c'est-à-dire qu'elle échoue

deux fois de suite) ?

Solution :

Pour la première balle de service elle réussit dans 65 % des cas, donc elle é choue dans 35 % des cas. Pour la seconde balle de service elle réussit dans 80 % des cas, donc elle échoue dans 20 % des cas. Donc 20 % de 35 % des mises en jeu effectuées ne sont pas réussies.

On a :

100707,035,02,010035

10020
Conclusion : La probabilité pour que Gwladys commette une double faute est de 1007

Exercice n°7 :

Une urne contient 5 boules indiscernables

au toucher : deux bleues " B » et trois rouges " R ». On dispose également de deux sacs contenant des jetons : l'un est bleu et contient un jeton bleu " b » et trois jetons rouges " r », l 'autre est rouge et contient deux jetons bleus " b » et deux jetons rouge " r » On extrait une boule de l'urne, puis on tire un jeton dans le sac qui est de la même couleur que la boule tirée.

1.Combien y a-t-il d'issues possibles ?

2.A l'aide d'un arbre pondéré, détermine la probabilité de chacune de ses issues.

3.Détermine la probabilité d'événement A : " la boule et le jeton extraits sont de la même

couleur »

Solution :

1.Nombre d'issues possibles.

Si la prem

ière tirée est bleue, le jeton tiré peut-être bleu ou rouge, soit deux résultats possibles (B, b) et (B, r) Si la première tirée est rouge, le jeton tiré peut-être bleu ou rouge, soit deux résultats possibles (R, b) et (R, r).

Conclusion :

Il y a 4 issue possible.

2.Arbre pondéré des possibles

1 er tirage2

ème

tirage Isssues Probabilités

1/4b (B, b)

p(B,b) = 202
41

52 101

2/53/4r (B, r)

p(B,r) = 206
43

52 103

3/52/4b (R, b) p(R,b) =

206
42
53103
R

2/4r (R, r)

p(R,r) = 206
4 2 53103

3.Probabilité de l'événement A : " la boule et le jeton extraits sont de la même couleur »

L"événem

ent A est constitué de deux événement élémentaires (B, b) et (R, r ). p(A) = p(B, b) + p(R, r) = 52
104
103
101
Conclusion : La probabilité de l'événement A est 52

Exercice n°8 :

Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B) et une boule verte (V), indiscernables au

toucher. On tire successivement et sans remise deux boules. On veut déterminer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.

1.Représente sur un arbre tous les possibles en indiquant sur les branc

hes correspondantes la probabilité de tirer deux boules de chaque tirage lors des deux tirages. 2. En déduire la probabilité d'avoir : le couple (R, R), le couple (B, B) , le couple (V, V).

3.En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

Solution :

1.Représentation de l'arbre pondéré des possibles

858281

RBV

747271757171757270

R B V R B VR B V 2.

Probabilité d'avoir le couple (R, R)

On a :

5620
74
85
soit

5620 des expériences qui donneront comme résultat (R, R)

Probabilité d"avoir le couple (B, B)

On a :

562
7 1 82
soit

562 des expériences qui donneront comme résultat (B, B)

Probabilité d"avoir le couple (V, V)

On a : 070

81 soit aucune expérience qui donnera comme résultat (V, V)

3. Probabilité de tirer deux boules de même couleur.

Comme ces issues sont incompatibles, pour calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur, on

ajoute les probabilités de ces issues.

On a :

5622
562
5620
Conclusion : La probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est de 5622

Exercice n°9

A bord d'un bateau, le tiroir des féculents contient deux sachets de riz et trois sachets de pâtes, et le tiroir des

protéines contient trois boites de thon, deux boites de veau et une boîte de viande de boeuf.

Tiroir des féculents

R R P P P

Tiroir des protéines

T T T V V B B B

Pour composer son repas, un matelot prend d'abord un sachet au hasard dans le tiroir des féculents puis,

toujours au hasard, une boîte dans le tiroir des protéines.

Construis l'arbre pondéré des possibles de cette expérience à deux épreuves puis le compléter en calculant les

probabilités associées à chaque issue.

Solution :

1 ere

épreuve 2

ème

épreuve Isssues Probabilités T (R, T ) p (R, T ) = 306
63
52 51
3/6 R 2/6 V (R, V ) p (R, V ) = 304
62

52 152

1/6

2/5 B (R, B ) p (R, T ) =

302
61

52 151

3/5 T (P, T ) p (P, T ) =

309
63

53 103

3/6 P 2/6 V (P, V ) p (P, V ) = 306
62
53 51
1/6 B (P, B ) p (R, T ) = 303
61
53 51
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[PDF] EXERCICES corrigés de PROBABILITES - CSDM

Comment calculer les convergences et approximations en probabilités ?

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

Calculer la probabilité d'un événement

Exercice n°1:

A : " le bonbon est à la menthe » ;

B : " le bonbon est à l'orange » ;

C : " le bonbon est au citron ».

1.Détermine les probabilités p(A) puis p(B) et p(C).

2.Représente l'expérience par un arbre pondéré ( on fait f

Solution :

1.Calcul de probabilités.

2.Arbre des possibles

On vérifie que 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1

Exercice n°2 :

1." La carte tirée est une dame. »

2." La carte tirée est une figure rouge. »

3." La carte tirée n'est pas une figure rouge. »

Solution :

1." La carte tirée est une dame. »

Le nom

D"où

2." La carte tirée est une figure rouge. »

D"où

3." La carte tirée n'est pas une figure rouge. »

Exercice n°3 :

Solution :

Exercice n°4:

Solution :

1.L'arbre pondéré des possibles.

Les résultats possibles sont : 1, 2, 3, 4

4,0104

3,01032

2,0102

1,0101 4

2.Probabilité de l'événement A : " obtenir au moins 2 points »

On a donc

Exercice n°5 :

45 cm. La partie principale de l'écran est

36 cm.

1.Dessine l'arbre des possibles par les probabilités

2.Calcule la probabilité de l'événement A : " obtenir

48 cm60 cm

Solution :

La probabilité cherchée est :

Avec aire de la partie principale = 48 cm

36 cm = 1 728 cm

45 cm = 2 700 cm

D'où

Conclusion : p(A) = 0,64

Expérience à deux épreuves

Exercice n°6:

Solution :

On a :

100707,035,02,010035

Exercice n°7 :

Une urne contient 5 boules indiscernables

1.Combien y a-t-il d'issues possibles ?

2.A l'aide d'un arbre pondéré, détermine la probabilité de chacune de ses issues.

3.Détermine la probabilité d'événement A : " la boule et le jeton extraits sont de la même

Solution :

1.Nombre d'issues possibles.

Si la prem

Conclusion :

Il y a 4 issue possible.

2.Arbre pondéré des possibles

ème

1/4b (B, b)

52 101

2/53/4r (B, r)

52 103

3/52/4b (R, b) p(R,b) =

2/4r (R, r)

3.Probabilité de l'événement A : " la boule et le jeton extraits sont de la même couleur »

L"événem

Exercice n°8 :

1.Représente sur un arbre tous les possibles en indiquant sur les branc

3.En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur.