TD 08 – Convergence de variables aléatoires (corrigé) PDF

Corrigé : Ceci e biens ˆur réminscent de l'exercice du TD . . Pour tout n

X – MAP PC – Lundi mai – Convergences de variables

Corrigé des exercices non traités sur http Donc Zn converge également en probabilité vers ST (la convergence p.s. implique la convergence en probabilité).

Exercices corrigés

fn(x) en tout point x. 3. Page 8. 4. PROBABILITÉS POUR L'INGÉNIEUR où cette série converge et f (x) = 0 (par exemple) en x où la série ∑ fn diverge. (c)

SUJETS DE TD Table des mati`eres Convergences en probabilité

Définition de la convergence en probabilité : ∀ ε > 0 lim n→+∞. P (

Xn Exercice 3. — Convergences. Soit la suite de variables aléatoires Xn définie par.

PC 6 – Convergences & Loi des grands nombres

27 mai 2019 Exercice 2 (Convergence p.s). Soit (Xn)n≥1 une suite de ... et donc la convergence en probabilité de Xn vers 0 découle de la convergence de E.

EI-SE3 / Probabilités / Contrôle 2

On reconnaıt la fonction de répartition de la loi exponentielle de param`etre λ =1: n(1 − Sn) converge en loi vers Y ∼ E(1). Exercice 2 [2 points]. Soit la

Intégration et probabilités TD 11 – Indépendance convergence de

Montrer que. (Xn)n∈N converge vers X dans L1. Corrigé. 1. On prend X et Y indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre 1/2 et Z.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 14. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E(λ). 1. Montrer la convergence en probabilité suivante : 1 ln n max. 1≤k

Leçon 17 Exercices corrigés

convergence presque sûre le critère issu du lemme de Borel-Cantelli indique de probabilité 1 sur lequel alors limn→∞. Mn(ω) ln(n). = 1. e) Pour tout ...

Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et

Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et approximations en probabilité convergence en probabilité : on pense immédiatement `a la Loi Faible des ...

Intégration et probabilités TD – Convergence de variables al

Corrigé : Ceci e biens ˆur réminscent de l'exercice du TD . . Pour tout n

PC 6 – Convergences & Loi des grands nombres

27 mai 2019 Pour la convergence en probabilité on peut aussi remarquer que ... Exercice 4 (Marche aléatoire simple sur R).

SY01 - Éléments de probabilités

1.1 Quelle convergence ? Exercices : Exercice A.1.1. Exercice A.1.2. Le sens que l'on

Module G12 : Quelques exercices sur le calcul des probabilités

Montrer que (Xn)N converge presque sûrement vers 0. Exercice 6. Soit X une v.a.r. normale centrée réduite définie sur (?F

Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et

Comment choisir n pour que la probabilité d'obtenir un nombre de 6 Montrer que la suite (Yn) converge en loi vers une variable remarquable.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

1. Modes de convergence. Exercice 17. Convergence des images. Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires à

Exercices corrigés

fn(x) en tout point x. 3. Page 8. 4. PROBABILITÉS POUR L'INGÉNIEUR où cette série converge et f (x) = 0 (par exemple) en x où la série ? fn diverge. (c)

Intégration et probabilités TD 13 – Fonctions caractéristiques

Exercice 1. besgue sur Rd (cette loi de probabilité est une gaussienne d-dimensionnelle ... )n?N converge simplement vers ?X. Corrigé. 1. On calcule.

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Exercice 1 : 1. Rappeler les définitions de la convergence en loi en probabilité

Leçon 18 Exercices corrigés (Uneétoile*désigneraunequestiondedi?cultésupérieure ) Exercice 1 Reprendrel’Exercice1Leçon17enincluantlaconvergence enprobabilitédansladiscussion Exercice 2 SoitX nn2Nunesuitedevariablesaléatoiresdemêmeloi uniformeU(0;1) sur[0;1];démontrerque a) 1 nX n!0 enprobabilité; b) X n n!0

Exercices : Convergences et approximations en probabilités

Université de Marseille Licence de Mathématiques 3eme année probabilités-Statistique Examen du 17 mai 2018 Le partiel contient 3 exercices Le barème est sur 23 points Le polycopié du cours les notes de cours et de TD sont autorisés Exercice 1 (Coordonnées polaires

TD 08 – Convergence de variables aléatoires (corrigé)

TD 08 – Convergence de variables aléatoires (corrigé) Exercice 1 Second theorème de Borel-Cantelli L’objectif de cet exercice est de montrer le second théorème de Borel-Cantelli Il donne une réciproque du theorème de Borel-Cantelli vu en cours dans le cas où les événements sont indépendants Soit

Feuille de TD 1 Correction - CNRS

Feuille de TD 1 Correction Exercice 1 : 1 Rappeler les dé?nitions de la convergence en loi en probabilité presque sûre et en moyenne quadratique —On dit que Xnconverge en loi vers X si pour toute fonction continue bornéej E[j(Xn)] converge versE[j(X)]

Feuille de TD 1 : Convergence de suites de variables aléatoires

Feuille de TD 1 : Convergence de suites de variables aléatoires Exercice 1 : 1 Rappeler les dé?nitions de la convergence en loi en probabilité presque sûre et en moyenne quadratique —On dit que Xn converge en loi vers X si pour toute fonction continue bornée j E[j(Xn)] converge vers E[j(X)]

Int´egrationetprobabilit ´es ENS Paris 2012-2013 - CNRS

convergence en loi vers converge p s c’e le th´eor eme de repr` esentation de Skorokhod vu en´ cours pour les variables reelles (´ Attention : c’e un resultat tr´ es subtil) `-Convergence p s avec equiint´ ´egrabilit e implique convergence´ L1 (voir Exercice 6) 1 – Convergences en loi Exercice 1 (Lemme de Slutsky) Soient (X n

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

1) Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire 2) Déterminer les probabilités des évènements ABCA?BB ?CA ?BA ?C 3) Déterminer la probabilité de l'événement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure" Exercice n° 5 On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite

Leçon 20 Exercices corrigés

Leçon 20 Exercices corrigés Leçon 20 Exercices corrigés (Uneétoile*désigneraunequestiondedi?cultésupérieure ) Exercice 1 SoientUetVdeuxvariablesaléatoiresindépendantesdemême loinormalecentréeréduiteN(0;1) surunespaceprobabilisé( ;A;P);soitla suite de variables aléatoires X n n2N dé?nie par X

EXERCICES corrigés de PROBABILITES - CSDM

EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d’un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe 3 à l’orange et 5 au citron On tire au hasard un bonbon du sachet et on définit les événements suivants : A : « le bonbon est à la menthe » ; B : « le bonbon est à l’orange » ;

Quelques exercices sur le calcul des probabilités

Exercices : Convergences et approximations en probabilités

Convergences et approximations en probabilités Feuille d’exercices 1 En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev montrer que : 8x 2R +; Z x 0 e t2=2 dt > r p 2 1 1 x2 : 2 Soit (X n) n2N Yune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p 2]0;1[ On pose X n = 1 n (X 1 + +X n) pour tout n 2N

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Exercices sur la convergence de variables al eatoires Les deux premiers exercices doivent ^etre consid er es comme du cours Exercice 1 On consid ere (X n) une suite de variable al eatoires a valeurs dans Rd et (X0 n) une suite de variable al eatoires a valeurs dans Rd0 1 On suppose que X n p:s:!X X0 n p:s:!X0 Montrer que (X n;X 0 n) p:s

Comment calculer les convergences et approximations en probabilités ?

Convergences et approximations en probabilités Feuille d’exercices 1 En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : 8x 2R ; Z x 0 et2=2dt > r p 2 1 1 x2 : 2 Soit (X n) n2NYune suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p 2]0;1[. On pose X n=1 n (X 1+ +X n) pour tout n 2N .

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la suite de variables aléatoires ?

n2Nune suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication.

Comment étudier la convergence en probabilité ?

Puis étudier la convergence en probabilité, la convergence en loi, la convergence dans L1et la convergence dans L2de la suite (X n) n. Corrigé –pour tout?>0, lim n?+?X n(?) = 0. Comme P({0}) = 0, on a bienX n?0 p.s.. Cette convergence p.s. implique la convergence en probabilité et la convergence en loi.

Comment montrer que la convergence en probabilité équivaut à la condition lim n!1 ?

On souhaite montrer que la convergence en probabilité de (X n) vers X équivaut à la condition lim n!1 E jX nXj 1 +jX nXj = 0: 1. Expliquer pourquoi il su?t de traiter le cas X = 0. On suppose X = 0 dans la suite de l’exercice. 2. Montrer que la condition est su?sante. Indication. On pourra observer que la fonction x 7!x 1+xest croissante sur R

L3- Probabilités (Année2018/2019) Tien-Nam Le & Alice Pellet--MaryTD08- Convergence de variables aléatoires (corrigé)Exercice1.Second theorème de Borel-Cantelli

L"objectif de cet exercice est de montrer le second théorème de Borel-Cantelli. Il donne une réciproque

du theorème de Borel-Cantelli vu en cours, dans le cas où les événements sont indépendants. Soit

(An)n2Nune suite d"événementsindépendantsde probabilitépn. On suppose que la sommeånpn

diverge. L"objectif de cet exercice est de montrer qu"alors, presque sûrement, une infinité d"événements

A nse réalisent.

1.Exprimer l"événement "une infinité d"événementsAnse réalisent" en terme d"unions et d"inter-

2.SoitBk,`l"événement\kn`A

n. Montrer que pour toutkfixé, lim`!¥PBk,`=0.Indice : on pourra utiliser l"inégalité1+xexpour tout x2R. P

3.On noteBk=\nkA

n. En déduire quePf[kBkg=0. +?? ???? ?? ??????? ???PfBkg=0???? ????k? ?? ???? ?????Pf[kBkgåkPfBkg=0? ????PfBkg=P\nkA n= lim ???PfBkg=0?

4.Conclure quePf"une infinité d"événementsAnse réalisent"g=1.

n=[k0Bk? ?? ? ???? ????Pf\k0[nkAng=1Pf[k0Bkg=1??????? ??

5.Application.Soit(Xn)n2Nune suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètrePfXn=1g=

p n=1/n. Montrer que presque sûrement la suiteXncontient un nombre infini de "1", mais seule- ???Xn?

Exercice2.Conditions de convergence

SoitXnune suite infinie de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres 1pn, avec 0pn

1/2 (i.e.PfXn=1g=1pnetPfXn=0g=pn).

1.Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suiteXnconverge en distribution.

1 01p n1

Figure 1- Fonction de répartition deXn

2.Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suiteXnconverge en probabilité.

p P fXn6=Xn+1gpn? ?? ????? ??? ????Xn+1???? ?? ?PfXn6=Xn+1g=pn??Xn+1=1??PfXn6=Xn+1g=1pn??Xn+1=0? ???? P fjXnXj #g=PfXn=0g=pn!0.

3.Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suiteXnconverge presque sûrement.

p X

Exercice3.Théorème de Mycielski

Recall that thechromatic numberc(G)is the smallest number of colors needed to color the vertices of

Gsuch that any two adjacent vertices have different colors. Clearly, graphs with large cliques have a

high chromatic number, but the opposite is not true. The goal of this exercise is th prove Mycielski"s

theorem, which states that for any integerk2, there exists a graphGsuch thatGcontains no triangles andc(G)k.

1.Fix 0<#<13

and letGbe a random graph onnvertices where each edge appears independently with probabilityp=n#1. Show that whenntends to infinity, the probability thatGhas more thann/2 triangles tends to 0.

2.Leta(G)be the size of the largestindependent setofG(A set of verticesXisindependentif there is

no edge between any two vertices ofXinG). Show thatc(G)n/a(G).

3.Leta=3n1#lnn. Show that whenntends to infinity,

P(a(G) Deduce that there existsnandGof sizensuch thatGhas at mostn/2 triangles anda(G)4.LetGbe such a graph. LetG0be a graph obtained fromGby removing a minimum number of

of vertices so thatG0does not contain any triangle. Show that c(G0)>n#6lnn and conclude the proof of Mycielski"s Theorem. c>jG0j/a>n/23n1#lnn>n#6lnn

Exercice4.Filtres de Bloom

[Disclaimer : l"exercice parle de choses vues en cours que vous n"avez en fait pas vu. Mais ça n"a aucune

importance.] Rappelez-vous les tables de hachage vues en cours et reprenons l"exemple de l"interdiction des mots de passe trop simples. On dispose d"un ensembleFde mots de passe interdits, et l"on veut stocker

Fde manière intelligente pour pouvoir, à chaque fois qu"un utilisateur choisi un nouveau mot de

passe, vérifier si ce mot de passe est admissible. Dans le premier exemple du cours (Chain Hashing), on

cherche à minimiser le temps d"une requête pour savoir six2F. Dans le deuxième exemple du cours

(Bit Strings/Fingerprints), on cherche à minimiser l"espace de stockage deF, quitte à ce que certaines

requêtes produisent un faux positif (i.e. répond quex2Falors quex/2F).

On va s"intéresser ici à un troisième exemple appelésfiltre de Bloomqui permet d"obtenir un meilleur

compromis entre espace de stockage et taux de faux positifs. Un filtre de Bloom est un tableauA

àncases, initialement remplies à 0. On dispose dekfonctions de hachage indépendantesh1,...,hkà valeurs dansf1,...,ng. On suppose comme à l"accoutumée pour les fonctions de hachage, que

chaquehiassocie à n"importe quel élément de l"univers un nombre choisi uniformément au hasard

dansf1,...,ng. SoitF=ff1,...,fmgl"ensemble desmmots interdits. L"étape de pré-processing est la

suivante : pour chaquef2F, et pour chaqueik, on metA[hi(f)]à 1 (si cette case était déjà à 1,

on ne la touche pas). Supposons maintenant que l"on ait une requête du types2?F. On répond de la

manière suivante : si tous lesA[hi(s)]valent 1 pour 1ik, alors on réponds2F. Sinon, on répond

s/2F. On vérifie facilement qu"il est impossible d"obtenir un faux-négatif.

1.SoitXle nombre de cases de A dans lesquelles il reste un 0 après le pré-processing. Quelle est

l"espérance deX/n?

2.Soitp=ekm/n. Dans cette question, on suppose pour simplifier queXest égal àpn. Quelle est

la probabilitéPd"un faux positif? Comment choisirkpour minimiserP, et qu"obtient-on comme

??? ?????p=ekm/n? ?? ?lnp=km/n????k=ln(p)n/m?? ????P= (1p)k=ekln(1p)=eln(p)ln(1p)n/m? ?? ???? ??? ?????

?? ???????P= (2ln2)n/m(0.61)n/m?

3.Justifier pourquoi il a semblé raisonnable de supposer, par simplification, queX=pn. Plus

exactement, utiliser l"approximation de Poisson pour bornerPfjXnpj #n)g, et commenter. E [f(X1,...,Xn)]epkmE[f(Y1,...,Yn)]. E 3 P fjXnpj>n#g2epkme#2n2p+#. 4quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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