QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS DOPTIMISATION EXERCICE
EXERCICE III (optimisation sans contrainte). On considère la fonction f définie sur Corrigé de l'exercice. 1. Le problème s'écrit inf. X?R3. J(X) avec.
OPTIMISATION CONTRAINTE
Quels sont les extremums de cette fonctions ? Corrigé de l'exercice 1.1. On doit résoudre un problème d'extremum pour une fonction de deux variables soumise à
Table des matières 1 Calcul différentiel
QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte ... Soit A ? Mnm(R)
Optimisation Sans Contraintes
avec ou sans contraintes cependant on limite souvent l'optimisation à une Hiriart-Urruty
1 Les conditions de Kuhn-Tucker
Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... Si on introduit des variables d'écart x dans les contraintes l'écriture des.
Optimisation sous contraintes
Un problème de recherche de minimum avec contraintes est donc celui pour une fonction définie sur la partie E = {x;g(x)=0} de Rn dépourvue de calcul
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Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
Etudier les paragraphe 3.4 et 3.5 (optimisation avec contrainte). Exercice proposé (avec corrigé) : 139 (Uzawa). Le corrigé du deuxième devoir sera
Partiel du 26 Mars 2015—Corrigé “Optimisation et programmation
26 mars 2015 Exercice 1. ... Montrer que la contrainte est qualifiée en tout point. ... avec la condition d'exclusion ?g(x y
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant ...
OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES - HEC Montréal
3 Optimisation sous contrainte à variables multiples La fonction à optimiser peut souvent dépendre de plusieurs facteurs Par exemple les profits réalisés peuvent dépendre du coût des ressources du nombre d'employés du prix de vente
34 Optimisation sous contraintes
La contrainte (1) est représentée par le disque de centre ( r r) et de rayon 2 La contrainte (2) délimite le demi-espae sous la droite d’équation 1+ t 2? t= r La ontrainte (3) désigne les points à droite de l’axe 1= r Les courbes de niveau f(x)=constante sont des cercles de centre ( u t)
345 Exercices (optimisation avec contraintes) - univ-amufr
3 4 5 Exercices (optimisation avec contraintes) Exercice 125 (Sur l'existence et l'unicité) Corrigé en page 268 Etudierl'existenceetl'unicitédessolutionsduproblème (3 48)avecles donnéessuivantes: E = IR ;f : IR ! IR est dén ie par f (x ) = x 2 et pour les quatre différents ensembles K suivants : (i) K = fjx j 1g ; (ii) K = fjx j = 1 g
34 Optimisation sous contraintes - univ-amufr
Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K Voyons quelques exemples de ces contraintes (dén ies par l 'ensemble K ) qu'onva expliciter à l'aide des p fonctionscontinues gi 2 C (E; IR) i = 1 :::p 1 Contraintes égalités
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
Le but de l’UE est d’optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous contrainte Documents et bibliographie En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme de mathématiques mais la répartition sur les deux années la présentation (plus ou moins théorique)
Analyse 2: Optimisation avec contrainte
Analyse 2: Optimisation avec contrainte Minimisation avec contraintes Condition du remierp rdreo Lagrangien et conditions KKT Joseph Salmon Conditions de Karush-Khunn-Tucker (KKT) Théorème : KKT Si x est un minimum local du problème (P) que f;h i;g j sont dérivables avec des gradients continus sous des conditions de quali cation sur x il
Optimisation Continue ISTIL 2ème année Corrigé de la feuille 4
la contrainte C = cste alors ?(ab?)J ? Vect ?(ab?)C 4 Résolution du système La condition d’optimalité signi?e que les vecteurs ?(ab?)J et ?(ab?)C sont colinéaires ou encore que leur produit vectoriel est nul On a ?(ab?)J= 1 2 bsin? 1 2 asin? 1 2 abcos?
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
exercices doivent être préparés : écouter le corrigé d’un exercice sans avoir préalablement essayédelerésoudrecelanesertàrien Vousn’enretirerezaucunpro?tpuisquevousn’en aurezpassaisileséventuellesdi?cultés –Des sujets d’annales sont proposés dans le polycopié d’exercices Vous pouvez aussi les re-
Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous
TD d’optimisation sous contrainte(s) d’égalité Exercice 1 DanstouslescasétudiéslesfonctionsetcontraintessontclairementC1etleursdomainesdedé?nition sontdesouverts 1 Traitéencours 2 Leseulpointcritiquedelafonction(x;y;z) 7!x2+y2 estl’originequinevéri?epaslacontrainteet
OPTIMISATION CONTRAINTE
§ 1 —Optimisation contrainte à deux variables Exercice1 1 On considère la fonction f(x;y) = x2+y24xysoumise à la contrainte x2+y2 = 8 Quels sont les extremums de cette fonctions? Corrigédel’exercice1 1 On doit résoudre un problème d’extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d
3104 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e´
3 10 4 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e ´ Dans de nombreux proble`mes on de´sire identi?er le point x maximisant ou minimisant une fonction f non pas parmi tous les xappartenant au domaine de de´?nition de f mais seulement parmi ceux qui ve´ri?ent une ou plusieurs con traintes du type gk(x)=0 pour tout k ?{12 ?}
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Les coe cients s’appellent les coe cients de Kuhn-Tucker Il y en a autant que de contraintes Le coe cient j est associ e a la contrainte g j(x) b j Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions n ecessaires qui sont r ea-
Comment calculer la minimisation avec contrainte ?
- Soit E = IRn, soit f 2 C (E; IR) , et soit K un sous ensemble de E . On s'intéresse à la recherche de u 2 K tel que : ( u 2 K f (u ) = inf K f (3.53) Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou?sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K .
Comment calculer la courbe de contrainte?
- x3+ y + z2sous les contraintes x +y+z = 0 et x +y z = 0. Corrigé de l’exercice 2.2. Posons ’(x;y;z) = x +y+z et (x;y;z) = x +y z. Première étape : les fonctions f, ’et sont C2sur un certain ouvert U ˆR3. Puisque f, ’et 1sont des polynômes, elles sont C sur U = R3. Deuxième étape : la courbe de contrainte est régulière.
Comment calculer la contrainte d'un point ?
- Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g = 1 . 3. Soient A 2 Mn(IR) symétrique, B 2 Mn(IR) s.d.p. et b 2 IRn. Pour v 2 IRn, on pose f (v) = (1 =2) Av v b v et g(v) = Bv v.
Comment calculer la contrainte d’une fonction?
- — Pour chacune des deux questions suivantes on donnera deux méthodes : d’abord en explicitant la contrainte, puis en utilisant le lagrangien. 1. Soient les fonctions f et g dé?nies par : f(x,y) = xy, g(x,y) = 1 x + 1 y .
I. Catto
R. Rhodes
ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE
ET SOUS CONTRAINTE : EXERCICES ET
ANNALES
Responsables I. Catto et R. Rhodes
UE 13 du DEGEAD
Année 2011-2012
I. CattoUniversité Paris-Dauphine.R. RhodesUniversité Paris-Dauphine.ANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE ET SOUS
CONTRAINTE : EXERCICES ET ANNALES
I. Catto, R. Rhodes
Responsables I. Catto et R. Rhodes
UE 13 du DEGEAD
Année 2011-2012
TABLE DES MATIÈRES
Instructions.. ................................................................................ i Organisation de l"enseignement .. ............................................................ i Programme . . ................................................................................ i Documents et bibliographie .. ................................................................ i Contrôle continu des connaissances (CC) .. .................................................. i Absences au contrôle continu .. .............................................................. iiConseils pratiques à propos des copies des contrôles ou de l"examen .. ........................ ii
1. Exercices.................................................................................... 1
1.7. Différentielle et approximation affine .. .................................................. 1
1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques .. .......................... 2
1.9. Formule de Taylor . ....................................................................... 2
1.10. Extrema des fonctions d"une variable . ................................................... 3
1.11. Géométrie dansR2etR3.. .............................................................. 3
1.12. Topologie dansR2.. .................................................................... 4
1.13. Parties convexes deR2.................................................................. 4
1.14. Fonctions de deux variables .. .......................................................... 5
1.15. Continuité .. ............................................................................ 5
1.16. Dérivées partielles du premier ordre .. .................................................. 6
1.17. Différentielle .. .......................................................................... 6
1.18. Applications économiques .. ............................................................ 7
1.19. Dérivées partielles du deuxième ordre .. ................................................ 7
1.20. Développement limité d"ordre 2 . . ...................................................... 7
1.21. Fonctions convexes et concaves .......................................................... 8
1.22. Extrema libres des fonctions de deux variables .. ........................................ 9
1.23. Extrema liés des fonctions de deux variables .. .......................................... 10
2. Recueil d"annales.. ........................................................................ 11
2.1. Contrôles continus ........................................................................ 11
2.2. Examens .. .............................................................................. 20
INSTRUCTIONS
Organisation de l"enseignement
1. 28 séances cours -TD (26 séances cours -TD, 2 contrôles écrits).
2. Cours de soutien en mathématiques pour aider tous ceux quile désirent.
Programme
Le but de l"UE est d"optimiser une fonction de deux variables: optimisation libre ou sous contrainte.
Documents et bibliographie
En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme
de mathématiques, mais la répartition sur les deux années, la présentation (plus ou moins théorique),
les méthodes de résolution et les exigences sont variables. Ce programme suppose un bon acquis des notions vues au lycée (le niveau terminale ES ou L est unpeu insuffisant au début et demandera quelques remises à niveau et une participation assidue au cours
de soutien).- Les définitions, formules et théorèmes du polycopié doivent être connus par coeur pour être utilisés
dans les applications.- Le polycopié d"exercices donne les énoncés des applications qui seront traitées en T.D. Ces exercices
doivent être préparés : écouter le corrigé d"un exercice, sans avoir préalablement essayé de le résoudre
ne sert à rien. Vous n"en retirerez aucun profit, puisque vousn"en aurez pas saisi les éventuelles
difficultés.- Des sujets d"annales sont proposés dans le polycopié d"exercices. Vous pouvez aussi les retrouver,
ainsi que quelques corrigés, sur MyCourse : mycourse.dauphine.fr- Une version plus détaillée du polycopié a été publiée sous forme de livres chez Ellipses. Cette version
contient des exercices corrigés. Cet ouvrage est en plusieurs exemplaires à la bibliothèqueI. Catto, I. Gentil et G. Pons, Mathématiques : Eléments de calcul différentiel pour l"économie,
collection L Sciences Eco, Ellipses, 2011.Contrôle continu des connaissances (CC)
L"évaluation des étudiants se fera sur la base de 2 tests écrits de 1h30. La note finale de contrôle continu
sera calculée sur la base de la moyenne arithmétique des deuxnotes obtenues en tenant compte de
l"assiduité et de la participation de l"étudiant.Absences au contrôle continuEn application du texte sur le contrôle des connaissances duDEGEAD,toute absence, même
justifiée, à un des tests écrits comptant pour la note de contrôle continu est sanctionnée
par la note 0. Conseils pratiques à propos des copies des contrôles ou de l"examenPRÉSENTATION
Nous avons constaté ces dernières années une dégradation constante dans la présentation des copies.
Les enseignants ne veulent plus corriger des copies illisibles ou ressemblant à de véritables torchons. Il
nous semble donc indispensable de rappeler quelques principes élémentaires :1. Écrire lisiblement à l"encre et laisser une marge.
2. Le numéro de chaque question traitée doit être mis en évidence dans la marge. Inutile de recopier
l"énoncé de la question.3. Tous les résultats doivent être encadrés ou soulignés d"une couleur différente de celle choisie pour
l"écriture, le rouge étant exclu car réservé au correcteur.4. Les notations sont importantes. Si vous utilisez une notation personnelle, c"est-à-dire, différente
de celle du poly, vous devez la définir. En mathématiques, il n"y a pas d"à peu près. Un résultat
est juste ou faux.Le non-respect des consignes ci-dessus entraînera des pénalités (sous forme de points négatifs) aux
contrôles et aux examens.RÉDACTION
Une copie de mathématiques n"est pas une simple suite de calculs, mais un texte en français qui doit
être compris par votre lecteur : elle doit donc être rédigée. Les conseils suivants doivent vous aider à présenter vos raisonnements.1. Annoncez ce que vous allez faire : montrons que la fonctionfest continue .... , calculons la dérivée
defen utilisant la formule de dérivation d"un quotient ....,2. Rappelez les hypothèses utiles : comme la fonction est continue ..., par hypothèse la fonction est
de classeC2...., sachant quexest un réel strictement positif...3. Énoncez une formule ou un résultat connu que vous utiliserez ensuite : sachant que l"équation de
la tangente à une courbe au point d"abscisseas"écrit ..., en utilisant le théorème de Pythagore ...
4. Justifiez vos réponses en expliquant votre raisonnement,étape par étape. Chaque étape doit
s"appuyer sur une formule, ou une définition, ou une propriété, ou un théorème ou un résultat
obtenu à une question précédente. Citez les théorèmes utilisés (éventuellement par leur nom s"ils
en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant de les
appliquer. Dans l"enchaînement des démonstrations ou des calculs il est recommandé d"écrire des
mots de liaison : mais, comme, or, on sait que, on en déduit donc, c"est-à-dire, en effet, car, parce
que ....5. Intercalez des commentaires entre des lignes de calcul sinon c"est un jeu de piste pour le correcteur!
6. Pour conclure, utilisez les expressions ou les mots suivants : alors, donc, on en déduit, nous avons
montré que ... Enoncez le résultat final correspondant à la question posée, et mettez-le en évidence
en l"encadrant ou en le soulignant. Les calculatrices et les téléphones portables sont interdits aux contrôles et à l"examen iiCHAPITRE 1
EXERCICES
1.7. Différentielle et approximation affine
Exercice 1.22. - Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3-3x2+6xet soitaun réel quelconque.1. Justifier que la fonctionfest de classeC1surR.
2. Définir les applicationsf?etdfa.
3. Pourh?R, déterminerdfa(h)etΔfa(h). Préciser les casa= 1eta=-1.
4. Quelle est l"erreur absolue commise en remplaçantΔfa(h)pardfa(h)?
Exercice 1.23. - On considère les fonctionsfetgdéfinies sur]0,+∞[parf(x) =xxetg(x) = x-1 + ln(x).1. Justifier que les fonctionsfetgsont de classeC1sur]0,+∞[.
2. Calculer les dérivéesf?etg?.
3. Écrire les développement limités à l"ordre1pour les fonctionsfetgau voisinage de1.
4. On considère la fonction?définie sur]0,1[?]1,+∞[par
?(x) =f(x)-1 g(x)=xx-1x-1 + ln(x). Montrer que?(x)admet une limite lorsquextend vers1.Exercice 1.24. - Déterminer l"approximation affine des fonctions suivantes au voisinage des points
indiqués : -f(x) =ex+ ln(x)enx= 1, -g(x) =ex-e-x ex+e-xenx= 0, - soitα?]0,1[,h(x) =xαenx= 1, -k(x) = exp{xln(x)}enx= 1. En déduire des valeurs approchées def(0.9),g(0.2),k(0.8)eth(1.1)pourα= 1/2.Exercice 1.25. - En utilisant la dérivation composée, calculer la dérivéedeg=f◦udans les cas
suivants. Préciser le domaine de définition deget vérifier que les fonctionsuetfsont de classeC1sur
leur domaine de dérivation1. pouru(x) =xex+ 1/xetf(u) =⎷
u.2. pouru(x) =x2+x+ 1etf(u) = ln(1 +u).
3. pouru(x) = ln(x)etf(u) = ln(u).
1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques
Exercice 1.26. - Un entrepreneur, employant comme seul facteur de production le travail, a commefonction de productionf(x) = 2x1/3oùxreprésente la quantité de travail (x?0). On suppose qu"il
dispose de 1000 heures de travail.1. De combien augmentera sa production s"il dispose d"une heure supplémentaire de travail? Faire
un calcul exact (calculatrice) et un calcul approché (différentielle).2. Même question pour 2 heures supplémentaires de travail.
Exercice 1.27. - Le coût total de production d"un bienAest donné en fonction de la quantité produiteq: ?q >0, C(q) =q3-5q2+ 10q.1. Montrer queCest croissante sur]0,+∞[et strictement positive.
2. Déterminer les fonctions de coût marginalCmet de coût moyenCM.
3. Quel est le coût de production de 10 unités deA?
4. De combien varierait le coût si l"on produisait un dixièmed"unité supplémentaire à partir de
q= 10? Faire un calcul exact et un calcul approché en utilisant la fonction de coût marginal.5. On se place toujours au niveau de productionq= 10. Calculer une valeur exacte et une valeur
approchée de la variation relative du coût lorsqu"on augmente la production de 2%.Exercice 1.28. - Soientfetgdeux fonctions strictement positives, définies sur]0,+∞[telles que
la composéeg◦fest définie sur]0,+∞[. Calculer en fonction des élasticités defetg, les élasticités
des fonctions :fg,f/getg◦f.Exercice 1.29. - Déterminer les fonctions définies sur]0,+∞[, strictement positives, dérivables et
ayant une élasticité constante.Exercice 1.30. -
1. Déterminer toutes les fonctions définies surR, strictement positives et dérivables, ayant une déri-
vée logarithmique constante, c"est-à-dire un taux de croissance instantané constant.Indication :
on pourra noterr=f?(x)/f(x)et on pourra exprimerf(x)en fonction dex,f(0)etr.2. On considère une fonction vérifiant la propriété de la question 1. Montrer que le taux de variation
pour une unité supplémentaire[f(x+1)-f(x)]/f(x)est constant. On noteratce taux de variation.Déterminer une relation entrerett.
Exercice 1.31. - Dans une situation de monopole, le prix unitairepd"un bien A est fixé par le monopoleur. La quantitéxconsommée dépend du prixppar la relationx=F(p). La fonctionFs"appelle la fonction de demande etFest définie, positive sur]0,+∞[. On suppose que la fonctionF
est bijective de]0,+∞[sur]0,+∞[.1. Quel prix devra pratiquer le monopoleur s"il désire vendrexunités du bien A? Cette nouvelle
fonction (pen fonction dex) s"appelle la demande inverse.2. Préciser le résultat de la question précédente pourF:p?→F(p) =kp-raveck >0etr >0.
1.9. Formule de Taylor
Exercice 1.32. - On considère la fonctionfdéfinie sur]0,+∞[par f(x) =lnx x2.1. Justifier quefest de classeC3sur]0,+∞[.
22. Écrire les développements limités à l"ordre2et3au voisinage de1. Préciser les approximations
affines, polynomiale d"ordre2et polynomiale d"ordre3defau voisinage de1.3. Donner la position de la courbe par rapport à la tangente auvoisinage du point du graphe
d"abscisse1. Faire une représentation graphique sommaire de la courbe représentative defau voisinage de(1,f(1)).Exercice 1.33. -
1. Soitgla fonction définie surRpar
g(x) =ex-e-x ex+e-x.Justifier quegest de classeC3surR. Écrire le développement limité à l"ordre3au voisinage de
0. Donner la position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage du point du graphe
d"abscisse0. Faire une représentation graphique sommaire de la courbe représentative degau voisinage de?0,g(0)?.2. Soithla fonction de définie sur]-1,+∞[par
h(x) = ln2(1 +x).Justifier quehest de classeC3sur]-1,+∞[. Écrire le développement limité à l"ordre3en0.
3. On considère la fonctionfdéfinie surD=]-1,0[?]0,+∞[par
f(x) =h(x)-x2 x-g(x).Montrer quefadmet une limite en0.
1.10. Extrema des fonctions d"une variable
Exercice 1.34. - Calculer les extrema sur son domaine de la fonctionfdéfinie par f(x) =x3-3x2-9x+ 2. Exercice 1.35. - Calculer les extrema sur son domaine de la fonctiongdéfinie par g(x) =ex+x?ln(x)-1-e?.1.11. Géométrie dansR2etR3
Exercice 1.36(Produit scalaire, distance et norme). - On se place dansR3. (i) On considère les vecteurs :x= (3,0,-4)ety= (-6,2,3). Calculer le produit scalaire dexetyainsi que les normes dexet dey. Vérifier que l"inégalité de Cauchy-Schwarz est bien satisfaite.
(ii) On considère les points :P= (1,2,3)etQ= (7,5,1). Calculer la distance dePàQ. Exercice 1.37(Preuves de l"inégalité de Cauchy-Schwarz en dimension2)(i) Démontrer les propriétés (i), (ii) et (iii) de la norme énoncées dans la proposition 11.17 du cours.
(ii) Soient deux vecteursfixés non nulsx= (x1,x2)ety= (y1,y2). Pour tout réelt, on pose :F(t) =?x+ty?2.
ExprimerF(t)en fonction det, de la norme dex, de la norme deyet du produit scalaire dex ety. (iii) Vérifier queF(t)est un trinôme ent. Quel est le signe deF(t)? (iv) Calculer le discriminant deF(t)et en déduire l"inégalité de Cauchy-Schwarz. 3 Exercice 1.38(Équations de droites et de cercles dansR2). - On se place dans le plan muni d"un repère orthonormé. (i) Déterminer une équation cartésienne de la droiteD1passant par les pointsA= (2,-3)etB= (4,-5).(ii) Déterminer une équation cartésienne de la droiteD2passant par le pointC= (-1,3)et ortho-
gonale au vecteurv= (-3,2). (iii) Déterminer une équation cartésienne de la droiteD3passant par le pointD= (1,-3)et de vecteur directeurw= (-2,-5). (iv) Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre(-1,2)et de rayon5. Exercice 1.39(Équations de droites et de cercles dansR2). - On considère les équations sui-vantes. Reconnaître celles qui correspondent à des droites(préciser deux points, donner un vecteur
directeur et un vecteur orthogonal) et à des cercles (préciser centre et rayon) : y=⎷ x, y=x2+ 1, y2= 2x+y+ 3, y=-2x+ 5, x2-y2= 3 x+y-1 = 0, x2+y2+x+y+ 1 = 0, x2+y2+ 4x-6y+ 4 = 0 Exercice 1.40(Équations de plans et de sphères dansR3). - On se place dans l"espace de di- mension3muni d"un repère orthonormé. (i) Déterminer une équation cartésienne du planP1passant par les pointsA= (1,1,1),B= (0,-1,-1)etC= (-1,1,0).(ii) Déterminer une équation cartésienne du planP2passant par le pointD= (0,-1,3)et orthogonal
au vecteurv= (-1,1,2). (iii) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre(-1,2,3)et de rayon2.1.12. Topologie dansR2
Exercice 1.41. - Représenter géométriquement les sous-ensembles suivants deR2et donner leur nature topologique (ouvert, fermé).On demande juste une réponse intuitive sans justification. (i)A={(1,1),(-1,-1),(0,0)}. Montrer queAest borné. (ii)B={(x,y)?R2: 4?x2+y2-2x+ 4y+ 5?25}. Montrer queBest borné. (iv)D=R2\ {(0,0)}. (v)E={(x,y)?R2:-1?x?1,0< y <2}. Montrer queEest borné.1.13. Parties convexes deR2
Exercice 1.42. - Démontrer que le produit cartésien de 2 intervalles deRest un ensemble convexe
deR2. Exercice 1.43. - Montrer que l"ensembleE={(x,y)?R2:xy?0}n"est pas convexe. Exercice 1.44. - Un consommateur dispose de 2 biensXetYdont les prix unitaires sontpetq. Le revenu du consommateur estR. On supposep >0,q >0,R >0et les quantités consomméesx?0 ety?0.Quel est l"ensemble des consommations possibles?
Montrer que cet ensemble est convexe et borné.
4Exercice 1.45. - Représenter géométriquement les sous-ensembles suivants et montrer que ce sont
des parties convexes deR2. (i)E1={(x,y)?R2:y >|2x+ 3|} (ii)E2={(x,y)?R2:x2+y2-x+y+1 4<0}.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] exercices corrigés de bioénergétique pdf
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