ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE PDF

EXERCICE III (optimisation sans contrainte). On considère la fonction f définie sur Corrigé de l'exercice. 1. Le problème s'écrit inf. X?R3. J(X) avec.

OPTIMISATION CONTRAINTE

Quels sont les extremums de cette fonctions ? Corrigé de l'exercice 1.1. On doit résoudre un problème d'extremum pour une fonction de deux variables soumise à

Table des matières 1 Calcul différentiel

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte ... Soit A ? Mnm(R)

Optimisation Sans Contraintes

avec ou sans contraintes cependant on limite souvent l'optimisation à une Hiriart-Urruty

1 Les conditions de Kuhn-Tucker

Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... Si on introduit des variables d'écart x dans les contraintes l'écriture des.

Optimisation sous contraintes

Un problème de recherche de minimum avec contraintes est donc celui pour une fonction définie sur la partie E = {x;g(x)=0} de Rn dépourvue de calcul

Corrigé type de la série des exercices 1 Optimisation sans contraintes

Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Etudier les paragraphe 3.4 et 3.5 (optimisation avec contrainte). Exercice proposé (avec corrigé) : 139 (Uzawa). Le corrigé du deuxième devoir sera

Partiel du 26 Mars 2015—Corrigé “Optimisation et programmation

26 mars 2015 Exercice 1. ... Montrer que la contrainte est qualifiée en tout point. ... avec la condition d'exclusion ?g(x y

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant ...

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES - HEC Montréal

3 Optimisation sous contrainte à variables multiples La fonction à optimiser peut souvent dépendre de plusieurs facteurs Par exemple les profits réalisés peuvent dépendre du coût des ressources du nombre d'employés du prix de vente

34 Optimisation sous contraintes

La contrainte (1) est représentée par le disque de centre ( r r) et de rayon 2 La contrainte (2) délimite le demi-espae sous la droite d’équation 1+ t 2? t= r La ontrainte (3) désigne les points à droite de l’axe 1= r Les courbes de niveau f(x)=constante sont des cercles de centre ( u t)

345 Exercices (optimisation avec contraintes) - univ-amufr

3 4 5 Exercices (optimisation avec contraintes) Exercice 125 (Sur l'existence et l'unicité) Corrigé en page 268 Etudierl'existenceetl'unicitédessolutionsduproblème (3 48)avecles donnéessuivantes: E = IR ;f : IR ! IR est dén ie par f (x ) = x 2 et pour les quatre différents ensembles K suivants : (i) K = fjx j 1g ; (ii) K = fjx j = 1 g

34 Optimisation sous contraintes - univ-amufr

Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K Voyons quelques exemples de ces contraintes (dén ies par l 'ensemble K ) qu'onva expliciter à l'aide des p fonctionscontinues gi 2 C (E; IR) i = 1 :::p 1 Contraintes égalités

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Le but de l’UE est d’optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous contrainte Documents et bibliographie En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme de mathématiques mais la répartition sur les deux années la présentation (plus ou moins théorique)

Analyse 2: Optimisation avec contrainte

Analyse 2: Optimisation avec contrainte Minimisation avec contraintes Condition du remierp rdreo Lagrangien et conditions KKT Joseph Salmon Conditions de Karush-Khunn-Tucker (KKT) Théorème : KKT Si x est un minimum local du problème (P) que f;h i;g j sont dérivables avec des gradients continus sous des conditions de quali cation sur x il

Optimisation Continue ISTIL 2ème année Corrigé de la feuille 4

la contrainte C = cste alors ?(ab?)J ? Vect ?(ab?)C 4 Résolution du système La condition d’optimalité signi?e que les vecteurs ?(ab?)J et ?(ab?)C sont colinéaires ou encore que leur produit vectoriel est nul On a ?(ab?)J= 1 2 bsin? 1 2 asin? 1 2 abcos?

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

exercices doivent être préparés : écouter le corrigé d’un exercice sans avoir préalablement essayédelerésoudrecelanesertàrien Vousn’enretirerezaucunpro?tpuisquevousn’en aurezpassaisileséventuellesdi?cultés –Des sujets d’annales sont proposés dans le polycopié d’exercices Vous pouvez aussi les re-

Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous

TD d’optimisation sous contrainte(s) d’égalité Exercice 1 DanstouslescasétudiéslesfonctionsetcontraintessontclairementC1etleursdomainesdedé?nition sontdesouverts 1 Traitéencours 2 Leseulpointcritiquedelafonction(x;y;z) 7!x2+y2 estl’originequinevéri?epaslacontrainteet

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1 —Optimisation contrainte à deux variables Exercice1 1 On considère la fonction f(x;y) = x2+y24xysoumise à la contrainte x2+y2 = 8 Quels sont les extremums de cette fonctions? Corrigédel’exercice1 1 On doit résoudre un problème d’extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d

3104 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e´

3 10 4 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e ´ Dans de nombreux proble`mes on de´sire identi?er le point x maximisant ou minimisant une fonction f non pas parmi tous les xappartenant au domaine de de´?nition de f mais seulement parmi ceux qui ve´ri?ent une ou plusieurs con traintes du type gk(x)=0 pour tout k ?{12 ?}

Searches related to exercices corrigés doptimisation avec contrainte pdf filetype:pdf

Les coe cients s’appellent les coe cients de Kuhn-Tucker Il y en a autant que de contraintes Le coe cient j est associ e a la contrainte g j(x) b j Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions n ecessaires qui sont r ea-

Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Soit E = IRn, soit f 2 C (E; IR) , et soit K un sous ensemble de E . On s'intéresse à la recherche de u 2 K tel que : ( u 2 K f (u ) = inf K f (3.53) Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou?sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K .

Comment calculer la courbe de contrainte?

x3+ y + z2sous les contraintes x +y+z = 0 et x +y z = 0. Corrigé de l’exercice 2.2. Posons ’(x;y;z) = x +y+z et (x;y;z) = x +y z. Première étape : les fonctions f, ’et sont C2sur un certain ouvert U ˆR3. Puisque f, ’et 1sont des polynômes, elles sont C sur U = R3. Deuxième étape : la courbe de contrainte est régulière.

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g = 1 . 3. Soient A 2 Mn(IR) symétrique, B 2 Mn(IR) s.d.p. et b 2 IRn. Pour v 2 IRn, on pose f (v) = (1 =2) Av v b v et g(v) = Bv v.

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

— Pour chacune des deux questions suivantes on donnera deux méthodes : d’abord en explicitant la contrainte, puis en utilisant le lagrangien. 1. Soient les fonctions f et g dé?nies par : f(x,y) = xy, g(x,y) = 1 x + 1 y .

DRAFTI. Catto

I. GentilANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION

LIBRE ET SOUS CONTRAINTE :

EXERCICES ET ANNALESUE 13 et 15 du DUGEAD

A. Leduc et G. Pons ont largement contribué à l"élaboration de ce recueil d"exercices.

DRAFTI. Catto

Université Paris-Dauphine.

Url :http://www.ceremade.dauphine.fr/~catto

I. Gentil

Université Paris-Dauphine.

Url :http://www.ceremade.dauphine.fr/~gentil

DRAFTANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION LIBRE ET SOUS

CONTRAINTE : EXERCICES ET ANNALES

I. Catto, I. Gentil

UE 13 et 15 du DUGEAD

A. Leduc et G. Pons ont largement contribué à l"élaboration de ce recueil d"exercices. DRAFT

DRAFTTABLE DES MATIÈRES

Instructions.. ........................................................................ i Organisation de l"enseignement .. .................................................... i Programme .. ........................................................................ i Documents et bibliographie .. ........................................................ i Contrôle continu des connaissances (CC) .. .......................................... i Absences au contrôle continu .. ...................................................... ii Conseils pratiques à propos des copies des contrôles ou examen .. .......... .......... ii

1. Exercices.. ........................................................................ 1

1.1. Fonctions d"une variable .. ...................................................... 1

1.2. Limites .. ........................................................................ 2

1.3. Fonctions continues .. ............................................................ 3

1.4. Fonctions dérivables .............................................................. 3

1.5. Fonctions convexes et concaves .. ................................................ 4

1.6. Fonctions bijectives et réciproques ................................................ 4

1.7. Différentielle et approximation affine .. .......................................... 5

1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques .. ......... ......... 6

1.9. Formule de Taylor ................................................................ 8

1.10. Extrema des fonctions d"une variable ............................................ 8

1.11. Géométrie dansR2etR3........................................................ 9

1.12. Topologie dansR2.. ............................................................ 10

1.13. Parties convexes deR2.. ........................................................ 10

1.14. Fonctions de deux variables .. .................................................. 10

1.15. Continuité .. .................................................................... 11

1.16. Dérivées partielles du premier ordre .. .......................................... 11

1.17. Différentielle .. .................................................................. 12

1.18. Applications économiques .. .................................................... 13

1.19. Dérivées partielles du deuxième ordre .. ........................................ 13

1.20. Développement limité d"ordre 2 .. .............................................. 13

1.21. Fonctions convexes et concaves .................................................. 14

1.22. Extrema libres des fonctions de deux variables .. ................................ 15

1.23. Extrema liés des fonctions de plusieurs variables .. .............................. 16

2. Recueil d"annales.................................................................. 19

2.1. Test du 13 novembre 2003 ........................................................ 19

2.2. Test du 15 janvier 2004 .. ........................................................ 20

2.3. Test du 16 novembre 2004 ........................................................ 21

DRAFT2.4. Test du 11 janvier 2005 .. ........................................................ 23

2.5. Test du 2 décembre 2005 .. ...................................................... 24

2.6. Test du 13 janvier 2006 .. ........................................................ 24

2.7. Test du 24 novembre 2006 ........................................................ 25

2.8. Test du 12 janvier 2007 .. ........................................................ 26

2.9. Test du 25 novembre 2008 ........................................................ 27

2.10. Test du 13 janvier 2009 .. ...................................................... 28

2.11. Examen février 2006 .. .......................................................... 29

2.12. Examen septembre 2006 .. ...................................................... 30

2.13. Examen février 2007 .. .......................................................... 31

2.14. Examen septembre 2007 .. ...................................................... 32

2.15. Examen février 2008 .. .......................................................... 33

2.16. Examen septembre 2008 .. ...................................................... 35

2.17. Examen du 5 février 2009 .. .................................................... 35

DRAFTINSTRUCTIONS

Organisation de l"enseignement

28 séances cours -TD (26 séances cours -TD, 2 con trôlesécrits).

2. Cours de soutien en mathématiques p ouraider tous ceux qui le désiren t,

Programme

Le but de l"UE est d"optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou alors optimisation sous contrainte.

Documents et bibliographie

En L1 de Sciences-Economiques toutes les universités traitent à peu près le même programme

de mathématiques, mais la répartition sur les deux années, la présentation (plus ou moins

théorique), les méthodes de résolution et les exigences sont variables. Il n"y a donc pas d"ouvrage correspondant exactement au programme traité à Dauphine. Ce programme suppose un bon acquis des notions vues au lycée (le niveau terminale ES ou L est un peu insuffisant et demandera quelques remises à niveau). Le p olycopiéde cours est le seul do cumentqui con tienneto usles résultats exigibles et qui

respecte la progression du cours tel qu"il est organisé à l"université Paris-Dauphine. Les dé-

finitions, formules et théorèmes, doivent être connus par ceur pour être utilisés dans les

applications.

Le p olycopiéd"exercices donne les énoncés des applications qui seron ttraitées en T.D. Ces

exercices doivent être préparés : écouter le corrigé d"un exercice, sans avoir préalablement

essayé de le résoudre, cela ne sert à rien. Vous n"en retirerez aucun profit, puisque vous n"en

aurez pas saisi les éventuelles difficultés. Des sujets d"annales son tprop osésdans le p olycopiéd" exercices.V ousp ouvezaussi les re- trouver, ainsi que quelques corrigés, sur la page web suivante http ://www.ceremade.dauphine.fr/~gentil/enseignement.html

Contrôle continu des connaissances (CC)

L"évaluation des étudiants se fera sur la base de 2 tests écrits de 1 h 30. La note finale de

contrôle continu sera calculée sur la base de la moyenne arithmétique des deux notes obtenues

en tenant compte de l"assiduité et de la participation de l"étudiant.

Note finale de l" UE = (Examen + CC)/2

DRAFTAbsences au contrôle continu

En application du texte sur le contrôle des connaissances du DUGEAD,toute absence à un des tests écrits comptant pour la note de contrôle continu est sanctionnée par la note 0. Conseils pratiques à propos des copies des contrôles ou examen

PRÉSENTATION

Nous avons constaté ces dernières années une dégradation constante dans la présentation des

copies. Les enseignants ne veulent plus corriger des copies illisibles ou ressemblant à de véritables

torchons. Il nous semble donc indispensable de rappeler quelques principes élémentaires : 1. Écrire lisiblemen tà l "encreet laisser un emarge. 2. Le n umérode c haquequestion traitée doit être mis en é videncedans la marge. In utilede recopier l"énoncé de la question. 3.

T ousles résultats doiv entêtre encadrés ou soulignés d"une couleur différen tede celle c hoisie

pour l"écriture, le rouge étant exclu car réservé au correcteur. 4.

Une copie doit être claire et ordonn ée.

Le non-respect des consignes ci-dessus entraînera des pénalités (sous forme de points négatifs)

aux contrôles et aux examens.

RÉDACTION

Une copie de mathématiques n"est pas une simple suite de calculs, mais un texte en français qui doit être compris par votre lecteur : elle doit donc être rédigée. Les conseils suivants doivent vous aider à présenter vos raisonnements. 1. Annoncez ce que v ousallez faire : mon tronsque la fonction fest continue .... , calculons la dérivée defen utilisant la formule de dérivation d"un quotient ...., 2. Rapp elezles h ypothèsesutiles : comme la fonction est con tinue..., par h ypothèsela fonc- tion est de classeC2...., sachant quexest un réel strictement positif... 3. Énoncez une form uleou un résultat conn uque v ousutiliserez ensuite : sac hantque l"équa-

tion de la tangente à une courbe au point d"abscisse a s"écrit ...., en utilisant le théorème

de Pythagore ... 4. Justifiez v osrép onsesen expliquan tv otreraisonnemen t,étap epar étap e.Chaque étap e

doit s"appuyer sur une formule, ou une définition, ou une propriété, ou un théorème ou un

résultat obtenu à une question précédente. Citez les théorèmes utilisés (éventuellement par

leur nom s"ils en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant de les appliquer. Dans l"enchaînement des démonstrations ou des calculs il est recommandé d"écrire des mots de liaison : mais, comme, or, on sait que, on en déduit donc, c"est-à-dire, en effet, car, parce que .... 5. In tercalezd escommen tairesen tred eslignes de calcul sinon c"est un jeu de piste p ourle correcteur! 6. P ourconclure, utilisez les expressi onsou les mots suiv ants: alors, donc, on en d éduit,

nous avons montré que ... Énoncez le résultat final correspondant à la question posée, et

mettez-le en évidence en l"encadrant ou en le soulignant. Les calculatrices et les téléphones portablessont interdits aux contrôles et à l"examen ii

DRAFTCHAPITRE 1

EXERCICES

1.1. Fonctions d"une variable

Exercice 1. -On consi dèreles fonctions fetgdéfinies par : f(x) =x1x+ 1etg(x) =x3x 1. Déterminer les domaines de définition de fetg. 2. Déterminer les fonctions f+g,fg,f=g,fgetgf, ainsi que leurs domaines de définition. Exercice 2. -On consi dèreles fonctions fetgdéfinies par f(x) =p2xetg(x) =p(x+ 1)(x2): 1. Déterminer les domaines de définition DfdefetDgdeg. 2. Déterminer le sous-ensem bleDf\ Dg. Est-ce un intervalle? 3.

Sur quel in tervallep eut-ondéfinir f+g?

Exercice 3. -On consi dèreles fonctions fetgdéfinies par f(x) =11 +x2etg(x) =exexe x+ex: 1. Mon trerque les fonctions fetgsont bornées surR. 2. Mon trer(sans dériv er)que fest décroissante sur[0;+1[et croissante sur] 1;0].

Exercice 4. -On définit la fonction partie entière, notéeE, comme suit : pour tout réelx2R,

E(x)est le plus petit entier relatifn2Zvérifiantn6x < n+ 1. Par exemple,E(2:3) = 2et

E(2:7) =3.

1. Représen tergraphiquemen tla fonction Edans un repère orthonormé pourx2[5;5]. 2. Déterminer les ensem blesi magesE(]2;3[),E([2;3])etE([2:5;3:5]). Exercice 5. -Déterminer la courb ereprésen tativede la fonction fdéfinie surRpar

8x2R; f(x) =8

:jx+ 1jsix60 jx1jsix >0:

DRAFT1.2. Limites

Exercice 6. -Représen tergraphiquemen t(sans en donner une définition précise) une fonc- tionfdéfinie sur ] 1;2[[]2;0[[]0;+3[[] + 3;+1[ et vérifiant les propriétés suivantes : lim x!+3f(x) = 2;limx!+1f(x) = 1;limx!1f(x) = +1;lim x!0f(x) = 0 et lim x!0+f(x) = +1;lim x!2f(x) =1etlim x!2+f(x) = +1: Exercice 7. -P ourc hacunedes dix fonctions définies ci-dessous, préciser le domaine de dé-

finition et étudier l"existence d"une limite ena, ou éventuellement l"existence d"une limite à

droite ou à gauche dea. 1.

Étude de la fonction f(x) =11x21x2ena2 f1;1g.

Étude de la fonction f(x) =x jxjx

ena= 0. 3. Étude de la fonction f(x) =x2+ 3x42x2+ 5x7ena2 f1;1;+1g. 4.

Étude de la fonction f(x) =x2+ 3x1ena= 1.

Étude de la fonction f(x) =exexe

x+exena2 f1;+1g. 6. Étude de la fonction f(x) = 4x2+ lnxe2xena= +1. 7.

Étude de la fonction f(x) =x2sin1x

ena= 0. 8.

Étude de la fonction f(x) =ln(1 +ex)x

ena= +1. 9. Étude de la fonction f(x) =xx= expfxlnxgena2 f0;+1g. 10.

Étude de la fonction f(x) =x1=x= explnxx

ena2 f0;+1g. Exercice 8. -On consi dèreles fonctions f,gethdéfinies par f(x) =p4x2+ 9 +x; g(x) =p4x2+ 93xeth(x) =p4x2+ 92x: Déterminer les limites de ces fonctions en+1et comparer les résultats obtenus pour les deux formes indéterminées.

Exercice 9. -Déterminer

lim x!0p1 +x1x et en déduire lim x!1x r11x 1! 2

DRAFT1.3. Fonctions continues

Exercice 10. -On co nsidèrela fonction fdéfinie surRpar f(x) =8 >>:0six62 abx si2< x64

1six >4:

Déterminer les réelsaetbpour quefsoit continue surR. Tracer le graphe def.

Exercice 11. -Etudier la con tinuitéde la fonction partie en tièredéfinie dans l"Exercice 4.

Exercice 12. -Mon trerque la fonction fdéfinie par f(x) =lnjx+ 1j+xexx1 est continue sur son domaine de définition. On précisera les fonctions composantes. Exercice 13. -Soit fla fonction définie surRpar f(x) =8 >:1six <0

0six= 0

1six >0:

Déterminerf(R)et vérifier quef(R)n"est pas un intervalle.

1.4. Fonctions dérivables

Exercice 14. -En utilisan tla notion d edériv ée,déterminer les limites suiv antes( n2N) : lim x!1x n1x1;limx!1x1lnx;limx!0e x1x et lim x!0ln(1 +x)x ;limx!0(1 +x)1=xetlimx!+1 1 +1x x

Exercice 15. -Après a voirprécisé l"ensem blede dériv abilitéd ef, déterminer la fonction

dérivéef0dans les cas suivants : f(x) = ln11 +x2 ; f(x) = expfx2=2g; f(x) =xln(x)x; f(x) =1x1 +x et f(x) = ln(xex+ 1); f(x) = lnjx(2x1)jjx+ 3j; f(x) = (x1=2+x1=2)(3x2=35x3=5) et pourn2 f2;3;:::gla fonctionfdéfinie sur]0;+1[par f(x) =xx1=n: Exercice 16. -Si une fonction fest à valeurs dans]0;+1[(on dit quefest strictement positive), on appelle dérivée logarithmique defla dérivée delnf. 1. Calculer la dériv éelogarithmique de la fonction udéfinie sur]0;+1[paru(x) =xx. En déduire la fonctionu0. 3 DRAFT2.On consid èreles fonctions fetgdéfinies sur]0;+1[parf(x) =xu(x)etg(x) = [u(x)]x. Comparerf(3)etg(3). Justifier que les fonctionsfetgsont dérivables sur]0;+1[.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Comment calculer la courbe de contrainte?

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

DRAFTI. Catto

I. GentilANALYSE RÉELLE, OPTIMISATION

LIBRE ET SOUS CONTRAINTE :

EXERCICES ET ANNALESUE 13 et 15 du DUGEAD

DRAFTI. Catto

Université Paris-Dauphine.

Url :http://www.ceremade.dauphine.fr/~catto

I. Gentil

Université Paris-Dauphine.

Url :http://www.ceremade.dauphine.fr/~gentil

CONTRAINTE : EXERCICES ET ANNALES

I. Catto, I. Gentil

UE 13 et 15 du DUGEAD

DRAFTTABLE DES MATIÈRES

1. Exercices.. ........................................................................ 1

1.1. Fonctions d"une variable .. ...................................................... 1

1.2. Limites .. ........................................................................ 2

1.3. Fonctions continues .. ............................................................ 3

1.4. Fonctions dérivables .............................................................. 3

1.5. Fonctions convexes et concaves .. ................................................ 4

1.6. Fonctions bijectives et réciproques ................................................ 4

1.7. Différentielle et approximation affine .. .......................................... 5

1.8. Calculs approchés des variations - Applications économiques .. ......... ......... 6

1.9. Formule de Taylor ................................................................ 8

1.10. Extrema des fonctions d"une variable ............................................ 8

1.11. Géométrie dansR2etR3........................................................ 9

1.12. Topologie dansR2.. ............................................................ 10

1.13. Parties convexes deR2.. ........................................................ 10

1.14. Fonctions de deux variables .. .................................................. 10

1.15. Continuité .. .................................................................... 11

1.16. Dérivées partielles du premier ordre .. .......................................... 11

1.17. Différentielle .. .................................................................. 12

1.18. Applications économiques .. .................................................... 13

1.19. Dérivées partielles du deuxième ordre .. ........................................ 13

1.20. Développement limité d"ordre 2 .. .............................................. 13

1.21. Fonctions convexes et concaves .................................................. 14

1.22. Extrema libres des fonctions de deux variables .. ................................ 15

1.23. Extrema liés des fonctions de plusieurs variables .. .............................. 16

2. Recueil d"annales.................................................................. 19

2.1. Test du 13 novembre 2003 ........................................................ 19

2.2. Test du 15 janvier 2004 .. ........................................................ 20

2.3. Test du 16 novembre 2004 ........................................................ 21

2.5. Test du 2 décembre 2005 .. ...................................................... 24

2.6. Test du 13 janvier 2006 .. ........................................................ 24

2.7. Test du 24 novembre 2006 ........................................................ 25

2.8. Test du 12 janvier 2007 .. ........................................................ 26

2.9. Test du 25 novembre 2008 ........................................................ 27

2.10. Test du 13 janvier 2009 .. ...................................................... 28

2.11. Examen février 2006 .. .......................................................... 29

2.12. Examen septembre 2006 .. ...................................................... 30

2.13. Examen février 2007 .. .......................................................... 31

2.14. Examen septembre 2007 .. ...................................................... 32

2.15. Examen février 2008 .. .......................................................... 33

2.16. Examen septembre 2008 .. ...................................................... 35

2.17. Examen du 5 février 2009 .. .................................................... 35

DRAFTINSTRUCTIONS

Organisation de l"enseignement

28 séances cours -TD (26 séances cours -TD, 2 con trôlesécrits).

Programme

Documents et bibliographie

Contrôle continu des connaissances (CC)

Note finale de l" UE = (Examen + CC)/2

DRAFTAbsences au contrôle continu

PRÉSENTATION

Une copie doit être claire et ordonn ée.

RÉDACTION

DRAFTCHAPITRE 1

EXERCICES

1.1. Fonctions d"une variable

Sur quel in tervallep eut-ondéfinir f+g?

E(2:7) =3.

8x2R; f(x) =8

DRAFT1.2. Limites

Étude de la fonction f(x) =11x21x2ena2 f1;1g.

Étude de la fonction f(x) =x jxjx