OPTIMISATION CONTRAINTE PDF Quels sont les extremums de

EXERCICE III (optimisation sans contrainte). On considère la fonction f définie sur Corrigé de l'exercice. 1. Le problème s'écrit inf. X?R3. J(X) avec.

OPTIMISATION CONTRAINTE

Quels sont les extremums de cette fonctions ? Corrigé de l'exercice 1.1. On doit résoudre un problème d'extremum pour une fonction de deux variables soumise à

Table des matières 1 Calcul différentiel

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte ... Soit A ? Mnm(R)

Optimisation Sans Contraintes

avec ou sans contraintes cependant on limite souvent l'optimisation à une Hiriart-Urruty

1 Les conditions de Kuhn-Tucker

Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... Si on introduit des variables d'écart x dans les contraintes l'écriture des.

Optimisation sous contraintes

Un problème de recherche de minimum avec contraintes est donc celui pour une fonction définie sur la partie E = {x;g(x)=0} de Rn dépourvue de calcul

Corrigé type de la série des exercices 1 Optimisation sans contraintes

Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Etudier les paragraphe 3.4 et 3.5 (optimisation avec contrainte). Exercice proposé (avec corrigé) : 139 (Uzawa). Le corrigé du deuxième devoir sera

Partiel du 26 Mars 2015—Corrigé “Optimisation et programmation

26 mars 2015 Exercice 1. ... Montrer que la contrainte est qualifiée en tout point. ... avec la condition d'exclusion ?g(x y

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant ...

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES - HEC Montréal

3 Optimisation sous contrainte à variables multiples La fonction à optimiser peut souvent dépendre de plusieurs facteurs Par exemple les profits réalisés peuvent dépendre du coût des ressources du nombre d'employés du prix de vente

34 Optimisation sous contraintes

La contrainte (1) est représentée par le disque de centre ( r r) et de rayon 2 La contrainte (2) délimite le demi-espae sous la droite d’équation 1+ t 2? t= r La ontrainte (3) désigne les points à droite de l’axe 1= r Les courbes de niveau f(x)=constante sont des cercles de centre ( u t)

345 Exercices (optimisation avec contraintes) - univ-amufr

3 4 5 Exercices (optimisation avec contraintes) Exercice 125 (Sur l'existence et l'unicité) Corrigé en page 268 Etudierl'existenceetl'unicitédessolutionsduproblème (3 48)avecles donnéessuivantes: E = IR ;f : IR ! IR est dén ie par f (x ) = x 2 et pour les quatre différents ensembles K suivants : (i) K = fjx j 1g ; (ii) K = fjx j = 1 g

34 Optimisation sous contraintes - univ-amufr

Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K Voyons quelques exemples de ces contraintes (dén ies par l 'ensemble K ) qu'onva expliciter à l'aide des p fonctionscontinues gi 2 C (E; IR) i = 1 :::p 1 Contraintes égalités

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Le but de l’UE est d’optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous contrainte Documents et bibliographie En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme de mathématiques mais la répartition sur les deux années la présentation (plus ou moins théorique)

Analyse 2: Optimisation avec contrainte

Analyse 2: Optimisation avec contrainte Minimisation avec contraintes Condition du remierp rdreo Lagrangien et conditions KKT Joseph Salmon Conditions de Karush-Khunn-Tucker (KKT) Théorème : KKT Si x est un minimum local du problème (P) que f;h i;g j sont dérivables avec des gradients continus sous des conditions de quali cation sur x il

Optimisation Continue ISTIL 2ème année Corrigé de la feuille 4

la contrainte C = cste alors ?(ab?)J ? Vect ?(ab?)C 4 Résolution du système La condition d’optimalité signi?e que les vecteurs ?(ab?)J et ?(ab?)C sont colinéaires ou encore que leur produit vectoriel est nul On a ?(ab?)J= 1 2 bsin? 1 2 asin? 1 2 abcos?

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

exercices doivent être préparés : écouter le corrigé d’un exercice sans avoir préalablement essayédelerésoudrecelanesertàrien Vousn’enretirerezaucunpro?tpuisquevousn’en aurezpassaisileséventuellesdi?cultés –Des sujets d’annales sont proposés dans le polycopié d’exercices Vous pouvez aussi les re-

Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous

TD d’optimisation sous contrainte(s) d’égalité Exercice 1 DanstouslescasétudiéslesfonctionsetcontraintessontclairementC1etleursdomainesdedé?nition sontdesouverts 1 Traitéencours 2 Leseulpointcritiquedelafonction(x;y;z) 7!x2+y2 estl’originequinevéri?epaslacontrainteet

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1 —Optimisation contrainte à deux variables Exercice1 1 On considère la fonction f(x;y) = x2+y24xysoumise à la contrainte x2+y2 = 8 Quels sont les extremums de cette fonctions? Corrigédel’exercice1 1 On doit résoudre un problème d’extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d

3104 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e´

3 10 4 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e ´ Dans de nombreux proble`mes on de´sire identi?er le point x maximisant ou minimisant une fonction f non pas parmi tous les xappartenant au domaine de de´?nition de f mais seulement parmi ceux qui ve´ri?ent une ou plusieurs con traintes du type gk(x)=0 pour tout k ?{12 ?}

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Les coe cients s’appellent les coe cients de Kuhn-Tucker Il y en a autant que de contraintes Le coe cient j est associ e a la contrainte g j(x) b j Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions n ecessaires qui sont r ea-

Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Soit E = IRn, soit f 2 C (E; IR) , et soit K un sous ensemble de E . On s'intéresse à la recherche de u 2 K tel que : ( u 2 K f (u ) = inf K f (3.53) Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou?sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K .

Comment calculer la courbe de contrainte?

x3+ y + z2sous les contraintes x +y+z = 0 et x +y z = 0. Corrigé de l’exercice 2.2. Posons ’(x;y;z) = x +y+z et (x;y;z) = x +y z. Première étape : les fonctions f, ’et sont C2sur un certain ouvert U ˆR3. Puisque f, ’et 1sont des polynômes, elles sont C sur U = R3. Deuxième étape : la courbe de contrainte est régulière.

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g = 1 . 3. Soient A 2 Mn(IR) symétrique, B 2 Mn(IR) s.d.p. et b 2 IRn. Pour v 2 IRn, on pose f (v) = (1 =2) Av v b v et g(v) = Bv v.

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

— Pour chacune des deux questions suivantes on donnera deux méthodes : d’abord en explicitant la contrainte, puis en utilisant le lagrangien. 1. Soient les fonctions f et g dé?nies par : f(x,y) = xy, g(x,y) = 1 x + 1 y .

Mathématiques (L3) - Quelques exercices supplémentaires

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1. - Optimisation contrainte à deux variables . . . . . . . . . . . . 1 § 2. - Optimisation contrainte à trois variables . . . . . . . . . . . . 5

§ 1. -

Optimisation contrainte à deux v ariablesExercice1.1.Onconsidèrelafonctionf(x;y)=x2+y24xysoumiseàlacontraintex2+y2=8.Quels sont les extremums de cette fonctions?

variables soumise à une contrainte donnée sous forme d"égalité. On utilise donc la méthode du

Lagrangien. Posons'(x;y)=x2+y2. Les fonctionsfet'sont des polynômes donc admettent des dérivées partielles continues de tous les ordres sur l"ouvertU=R2. '(x;y)=8 est régulière. Pour cela, on montre que le système suivant n"a pas de solutions : 8 >>>>><>>>>>:@'@x=0 @'@y=0 '(x;y)=8()8 >>>>><>>>>>:2x=0 2y=0 x

2+y2=8()8

>><>>:x=y=0 0=8 La dernière équation est impossible, donc le système n"a pas de solution. Points stationnaires du Lagrangien.On forme le Lagrangien et on détermine les points stationnaires, c"est-à-dire les solutions du système suivant :

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@ =0()8 >>>>><>>>>>:2x4y2x=0

2y4x2y=0

2+y2=8

1 Notons que, d"après les deux premières équations, sixouyest nul, alors ils le sont tous les

deux. Or, d"après la troisième équation,xetyne peuvent pas être nuls en même temps, doncx

etysont nécessairement non nuls. On peut donc diviser parxetyà volonté :

8>>>>><>>>>>:=x2yx

=y2xy x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx x2yx =y2xy x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx xy2y2=xy2x2 x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx x 2=y2 x

2+y2=8

()8 >>>>><>>>>>:=x2yx x 2=y2

2x2=8()8

>><>>:=x2yx x

2=y2=4()8

>>>>><>>>>>:x=2 y=2 =x2yx On trouve donc les quatre points stationnaires suivants : le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=1; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=1. Nature des points stationnaires.Pour chacun des points stationnaires précédents, puisque les fonctions admettent des dérivées partielles d"ordre deux continues, on peut déterminer leur nature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents. L"espace tangent à la courbe de contrainte'(x;y)=8 en (x;y)=(x;y) est l"espace vecto- rielTdonné par ()xu+yv=0: La forme quadratique hessienne au point (x;y;) est donnée par =(22)u28uv+(22)v2 Nature du point(x;y)=(2;2). Pour ce point, on a=1, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=4u28uv+4v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=4u2+8u2+4u2=16u2>0;

donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;2). Ici (ce n"est pas le cas en général), le calcul est le même que dans le cas précédent, donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=4u28uv4v2: 2 Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=4u28u24u2=16u2<0;

donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(2;2). Ici (ce n"est pas le cas en général), le calcul est le même que

dans le cas précédent, donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum.Exercice 1.2.On considère la fonctionf(x;y)=x3+y3soumise à la contraintex2+y2=4.Quels sont les extremums de cette fonctions?

variables soumise à une contrainte donnée sous forme d"égalité. On utilise donc la méthode du

Lagrangien. Posons'(x;y)=x2+y2. Les fonctionsfet'sont des polynômes donc admettent des dérivées partielles continues de tous les ordres sur l"ouvertU=R2. '(x;y)=4 est régulière. Pour cela, on montre que le système suivant n"a pas de solutions :

8>>>>><>>>>>:@'@x=0

@'@y=0 '(x;y)=4()8 >>>>><>>>>>:2x=0 2y=0 x

2+y2=4()8

>><>>:x=y=0 0=8 La dernière équation est impossible, donc le système n"a pas de solution. Points stationnaires du Lagrangien.On forme le Lagrangien

L(x;y;)=f(x;y)('(x;y)B)=x3+y3(x2+y24);

et on détermine les points stationnaires, c"est-à-dire les solutions du système suivant :

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@ =0()8 >>>>><>>>>>:3x22x=0

3y22y=0

2+y2=4

Distinguons trois cas.

-premier cas:x=0; alors la troisième équation fournity2=4 et doncy=2; la deuxième équation fournit alors=32 y=3. -deuxi`eme cas:y=0; alors la troisième équation fournitx2=4 et doncx=2; la deuxième équation fournit alors=32 x=3. -troisi`eme cas:x,0 ety,0; alors la première équation se récrit 3x=2et la deuxième

3y=2; par suite, 3x=3yet doncx=y; la troisième équation fournit alors 2x2=4

c"est-à-direx2=2 c"est-à-direx=p2. On a doncx=y=p2 et=32 x=32 p2. On trouve donc les six points stationnaires suivants : le point ( x;y)=(0;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(0;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;0) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;0) auquel correspond=3; 3 -le point ( x;y)=(p2;p2) auquel correspond=32 p2; le point ( x;y)=(p2;p2) auquel correspond=32 p2. Nature des points stationnaires.Pour chacun des points stationnaires précédents, puisque les fonctions admettent des dérivées partielles d"ordre deux continues, on peut déterminer leur nature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents. L"espace tangent à la courbe de contrainte'(x;y)=4 en (x;y)=(x;y) est l"espace vecto- rielTdonné par ()xu+yv=0: La forme quadratique hessienne au point (x;y;) est donnée par =(6x2)u2+(6y2)v2: Nature du point(x;y)=(0;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=0 etQ(u;v)=6u2+6v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2<0;

donc le point (x;y)=(0;2) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(0;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=0 etQ(u;v)=6u26v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2>0;

donc le point (x;y)=(0;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;0). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()u=0 etQ(u;v)=6u26v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()v,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2<0;

donc le point (x;y)=(2;0) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(2;0). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()u=0 etQ(u;v)=6u2+6v2: 4 Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()v,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2>0;

donc le point (x;y)=(2;0) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(p2;p2). Pour ce point, on a=32 p2, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=3p2(u2+v2): Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

donc le point (x;y)=(p2;p2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(p2;p2). Pour ce point, on a=32 p2, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=3p2(u2+v2): Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

donc le point (x;y)=(p2;p2) correspond à un maximum.

§ 2. -

Optimisation contrainte à tr oisv ariablesExercice 2.1.Trouver les extremums de la fonctionf(x;y;z)=(x2)2+y2+z2soumise à lacontraintex2+2y2+3z2=1.Corrigé de l"exercice 2.1.Posons'(x;y;z)=x2+2y2+3z2.

Première étape :les fonctionsfet'sontC2sur un certain ouvertUR3. Puisquefet'sont des polynômes, ils sontC1surU=R3.

Deuxième étape :la surface de contrainte est régulière. Pour cela, on montre que le système

suivant n"a pas de solutions :

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@'@x=0

@'@y=0 @'@z=0 '(x;y;z)=1()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:2x=0 4y=0 6z=0 x

2+2y2+3z2=1()8

>><>>:x=y=z=0 0=1 Le système n"a donc pas de solutions donc la surface de contrainte est régulière. Troisième étape :points stationnaires du lagrangien. Formons le lagrangien : 5

Déterminons les points stationnaires :

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@z=0 @L@ =0()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:2(x2)2x=0

2y4y=0

2z6z=0

(x2+2y2+3z21)=0()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:x(1)=2 y(12)=0 z(13)=0 x

2+2y2+3z2=1

D"après la première équation, on ax,0 et,1. Montrons que,12 et,13 . Si=12 , on a qui est absurde. De même, si=13 , on ax=3 et donc troisième équation devient 2y2+3z2=8 ce qui est absurde. Par suite, puisque,12 et,13 , les deuxièmes et troisièmes équations fournissenty=z=0 et doncx2=1 d"oùx=1. D"après la première équation, on a=12x donc six=1, on a=1 et six=1, on a=3.

Il y a donc deux points stationnaires :

le point ( x;y;z)=(1;0;0) correspondant à=1; le point ( x;y;z)=(1;0;0) correspondant à=3. Quatrième étape :nature des points stationnaires. Puisquefet'sontC2, on utilise les condi- tions du second ordre. La forme quadratique hessienne est =2(1)u2+2(12)v2+2(13)w2: Lorsque=1, on aQ(u;v;w)=4u2+6v2+8w2donc, dès que (u;v;w),(0;0;0),Q(u;v;w)>

0. Sans même calculer l"équation de l"espace tangent, on peut donc dire que dans ce cas on est

en présence d"un minimum au point (1;0;0). De même, lorsque=3, on aQ(u;v;w)=4u210v216w2donc, dès que (u;v;w), (0;0;0),Q(u;v;w)<0. Sans même calculer l"équation de l"espace tangent, on peut donc dire

que dans ce cas on est en présence d"un maximum au point (1;0;0).Exercice 2.2.Optimiser la fonction définie parf(x;y;z)=13

x3+y+z2sous les contraintesx+y+z=0 etx+yz=0.Corrigé de l"exercice 2.2.Posons'(x;y;z)=x+y+zet (x;y;z)=x+yz.

Première étape :les fonctionsf,'et sontC2sur un certain ouvertUR3. Puisquef,'et sont des polynômes, elles sontC1surU=R3.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] OPTIMISATION CONTRAINTE Quels sont les extremums de

Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Comment calculer la courbe de contrainte?

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1. -

2+y2=8()8

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

2y4x2y=0

2+y2=8

8>>>>><>>>>>:=x2yx

2+y2=8()8

2+y2=8()8

2+y2=8()8

2+y2=8

2x2=8()8

2=y2=4()8

Q(u;v)=Q(u;u)=4u2+8u2+4u2=16u2>0;

Q(u;v)=Q(u;u)=4u28u24u2=16u2<0;

8>>>>><>>>>>:@'@x=0

2+y2=4()8

L(x;y;)=f(x;y)('(x;y)B)=x3+y3(x2+y24);

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

3y22y=0

2+y2=4

Distinguons trois cas.

3y=2; par suite, 3x=3yet doncx=y; la troisième équation fournit alors 2x2=4

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2<0;

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2>0;

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2<0;

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2>0;

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

§ 2. -

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@'@x=0

2+2y2+3z2=1()8

Déterminons les points stationnaires :

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@L@x=0

2y4y=0

2z6z=0

2+2y2+3z2=1

Il y a donc deux points stationnaires :

0. Sans même calculer l"équation de l"espace tangent, on peut donc dire que dans ce cas on est