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EXERCICE III (optimisation sans contrainte). On considère la fonction f définie sur Corrigé de l'exercice. 1. Le problème s'écrit inf. X?R3. J(X) avec.

OPTIMISATION CONTRAINTE

Quels sont les extremums de cette fonctions ? Corrigé de l'exercice 1.1. On doit résoudre un problème d'extremum pour une fonction de deux variables soumise à

Table des matières 1 Calcul différentiel

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D'OPTIMISATION 2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte ... Soit A ? Mnm(R)

Optimisation Sans Contraintes

avec ou sans contraintes cependant on limite souvent l'optimisation à une Hiriart-Urruty

1 Les conditions de Kuhn-Tucker

Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... Si on introduit des variables d'écart x dans les contraintes l'écriture des.

Optimisation sous contraintes

Un problème de recherche de minimum avec contraintes est donc celui pour une fonction définie sur la partie E = {x;g(x)=0} de Rn dépourvue de calcul

Corrigé type de la série des exercices 1 Optimisation sans contraintes

Corrigé type de la série des exercices 1. Optimisation sans contraintes -LMD- S5. Solution de l'exercice 1. Soit f : R2 ?? R la fonction définie f(x y) =.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Etudier les paragraphe 3.4 et 3.5 (optimisation avec contrainte). Exercice proposé (avec corrigé) : 139 (Uzawa). Le corrigé du deuxième devoir sera

Partiel du 26 Mars 2015—Corrigé “Optimisation et programmation

26 mars 2015 Exercice 1. ... Montrer que la contrainte est qualifiée en tout point. ... avec la condition d'exclusion ?g(x y

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice en ont un) avec toutes leurs hypothèses et vérifiez que ces hypothèses sont satisfaites avant ...

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES - HEC Montréal

3 Optimisation sous contrainte à variables multiples La fonction à optimiser peut souvent dépendre de plusieurs facteurs Par exemple les profits réalisés peuvent dépendre du coût des ressources du nombre d'employés du prix de vente

34 Optimisation sous contraintes

La contrainte (1) est représentée par le disque de centre ( r r) et de rayon 2 La contrainte (2) délimite le demi-espae sous la droite d’équation 1+ t 2? t= r La ontrainte (3) désigne les points à droite de l’axe 1= r Les courbes de niveau f(x)=constante sont des cercles de centre ( u t)

345 Exercices (optimisation avec contraintes) - univ-amufr

3 4 5 Exercices (optimisation avec contraintes) Exercice 125 (Sur l'existence et l'unicité) Corrigé en page 268 Etudierl'existenceetl'unicitédessolutionsduproblème (3 48)avecles donnéessuivantes: E = IR ;f : IR ! IR est dén ie par f (x ) = x 2 et pour les quatre différents ensembles K suivants : (i) K = fjx j 1g ; (ii) K = fjx j = 1 g

34 Optimisation sous contraintes - univ-amufr

Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K Voyons quelques exemples de ces contraintes (dén ies par l 'ensemble K ) qu'onva expliciter à l'aide des p fonctionscontinues gi 2 C (E; IR) i = 1 :::p 1 Contraintes égalités

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Le but de l’UE est d’optimiser une fonction de deux variables : optimisation libre ou sous contrainte Documents et bibliographie En L1 de Sciences-Économiques toutes les universités françaises traitent à peu près le même programme de mathématiques mais la répartition sur les deux années la présentation (plus ou moins théorique)

Analyse 2: Optimisation avec contrainte

Analyse 2: Optimisation avec contrainte Minimisation avec contraintes Condition du remierp rdreo Lagrangien et conditions KKT Joseph Salmon Conditions de Karush-Khunn-Tucker (KKT) Théorème : KKT Si x est un minimum local du problème (P) que f;h i;g j sont dérivables avec des gradients continus sous des conditions de quali cation sur x il

Optimisation Continue ISTIL 2ème année Corrigé de la feuille 4

la contrainte C = cste alors ?(ab?)J ? Vect ?(ab?)C 4 Résolution du système La condition d’optimalité signi?e que les vecteurs ?(ab?)J et ?(ab?)C sont colinéaires ou encore que leur produit vectoriel est nul On a ?(ab?)J= 1 2 bsin? 1 2 asin? 1 2 abcos?

ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

exercices doivent être préparés : écouter le corrigé d’un exercice sans avoir préalablement essayédelerésoudrecelanesertàrien Vousn’enretirerezaucunpro?tpuisquevousn’en aurezpassaisileséventuellesdi?cultés –Des sujets d’annales sont proposés dans le polycopié d’exercices Vous pouvez aussi les re-

Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous

TD d’optimisation sous contrainte(s) d’égalité Exercice 1 DanstouslescasétudiéslesfonctionsetcontraintessontclairementC1etleursdomainesdedé?nition sontdesouverts 1 Traitéencours 2 Leseulpointcritiquedelafonction(x;y;z) 7!x2+y2 estl’originequinevéri?epaslacontrainteet

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1 —Optimisation contrainte à deux variables Exercice1 1 On considère la fonction f(x;y) = x2+y24xysoumise à la contrainte x2+y2 = 8 Quels sont les extremums de cette fonctions? Corrigédel’exercice1 1 On doit résoudre un problème d’extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d

3104 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e´

3 10 4 Optimisation avec contraintes d’egalit´ e ´ Dans de nombreux proble`mes on de´sire identi?er le point x maximisant ou minimisant une fonction f non pas parmi tous les xappartenant au domaine de de´?nition de f mais seulement parmi ceux qui ve´ri?ent une ou plusieurs con traintes du type gk(x)=0 pour tout k ?{12 ?}

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Les coe cients s’appellent les coe cients de Kuhn-Tucker Il y en a autant que de contraintes Le coe cient j est associ e a la contrainte g j(x) b j Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions n ecessaires qui sont r ea-

Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Soit E = IRn, soit f 2 C (E; IR) , et soit K un sous ensemble de E . On s'intéresse à la recherche de u 2 K tel que : ( u 2 K f (u ) = inf K f (3.53) Ce problèmeest un problèmede minimisationaveccontrainte (ou?sous contrainte")au sens oùl'oncherche u qui minimise f en astreignant u a être dans K .

Comment calculer la courbe de contrainte?

x3+ y + z2sous les contraintes x +y+z = 0 et x +y z = 0. Corrigé de l’exercice 2.2. Posons ’(x;y;z) = x +y+z et (x;y;z) = x +y z. Première étape : les fonctions f, ’et sont C2sur un certain ouvert U ˆR3. Puisque f, ’et 1sont des polynômes, elles sont C sur U = R3. Deuxième étape : la courbe de contrainte est régulière.

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g = 1 . 3. Soient A 2 Mn(IR) symétrique, B 2 Mn(IR) s.d.p. et b 2 IRn. Pour v 2 IRn, on pose f (v) = (1 =2) Av v b v et g(v) = Bv v.

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

— Pour chacune des deux questions suivantes on donnera deux méthodes : d’abord en explicitant la contrainte, puis en utilisant le lagrangien. 1. Soient les fonctions f et g dé?nies par : f(x,y) = xy, g(x,y) = 1 x + 1 y .

UNIVERSIT

E PARIS OUEST NANTERRE LA DEFENSE

U.F.R. SEGMI Annee universitaire 2013 { 2014

Master d'economie Cours de M. Desgraupes

Methodes Numeriques

Document 5 : Corriges d'optimisation convexe et quadratique1 Les conditions de Kuhn-Tucker 1 Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Les coniques 14

Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 La methode de Beale 31

Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 La methode de Dantzig 46

Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 La methode de Wolfe 57

Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Les conditions de Kuhn-Tucker

Rappels de cours

Si on considere un programme d'optimisation convexe note : 8>< :Maxf(x) g(x)b x0 oux= (x1;:::;xn) est un element deRnetgest une fonction deRndansRm: g:x!0 B B@g 1(x) g m(x)1 C CA On suppose que les fonctionsfetgsont contin^ument dierentiables. Le lagrangien associe a ce programme est la fonction :

L(x;) =f(x):(g(x)b) =f(x)1:(g1(x)b1)m:(gm(x)bm):

1 Les coecientss'appellent les coecients de Kuhn-Tucker. Il y en a autant que de contraintes. Le coecientjest associe a la contraintegj(x)bj. Les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions necessaires qui sont rea- lisees a l'optimum du probleme. Elles s'ecrivent vectoriellement de la maniere suivante : r xL0x0x:rxL= 0 (1) r

L00:rL= 0 (2)

On peut les expliciter, pour chaque variablexi(i= 1;:::;n) et pour chaque coecientj(j= 1;:::;m), de la maniere suivante : x i0@L@x i0xi@L@x i= 0 j0@L@ j0j@L@ j= 0 On peut remarquer, en derivant directementLpar rapport aj, que la condition @L@ j0 est simplement la contraintegj(x)bj. Les conditionsx:rxL= 0 et:rL= 0 sont appeleesrelations d'exclusion. En toute generalite, les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditionsne- cessaires, autrement dit, si on est en un point optimum, elles sont toujours realisees. Mais elles ne sont pas forcementsusantes: autrement dit, ce n'est pas parce qu'elles sont realisees en un point (x;) que ce point est obligatoi- rement un optimum. Neanmoins, il existe des situations ou on peut armer qu'elles sont eectivement susantes : c'est le cas en particulier lorsque la fonc- tionfestconcaveet les fonctionsgjsontconvexes. C'est pourquoi on s'interesse a l'optimisation convexe. En resume, dans le cas oufest concave et lesgsont convexes, les conditions de Kuhn-Tucker sont des conditions necessaires et susantes d'optimalite. Dans cette situation, un point est optimalsi et seulement siles conditions sont toutes realisees. Si jamais une seule des conditions n'etait pas realisee, le point ne pourrait pas ^etre une solution optimale du probleme. Noter que dans le cas d'une minimisation, la condition susante ci-dessus est inversee : la fonctionfestconvexeet les fonctionsgjsontconcaves. Dans le cas de la programmation lineaire, ces conditions sont realisee car une fonction lineaire est a la fois convexe et concave.

Ecriture avec des variables d'ecart

Si on introduit des variables d'ecartx0dans les contraintes, l'ecriture des conditions de Kuhn-Tucker est modiee. Les contraintes s'ecrivent : g(x) +x0=b et le lagrangien est deni de la maniere suivante :

L(x;x0;) =f(x):g(x) +x0b:

C'est une fonction desx, desx0et des.

2 Dans ce cas, les conditions de Kuhn-Tucker s'ecrivent comme ceci : x0rxL0x:rxL= 0 (3) x

00rx0L0x0:rx0L= 0 (4)

0rL= 0 (5)

On peut les expliciter, pour chaque variablexi(i= 1;:::;n), pour chaque variablex0jet pour chaque coecientj(j= 1;:::;m), de la maniere suivante : x i0@L@x i0xi@L@x i= 0 x

0j0@L@x

0j0x0j@L@x

0j= 0 j0@L@ j= 0 Exercices corrigesCorrige ex. 1 - Conditions de Kuhn-Tucker

Programme 1

8 >>>>>>>:Max(x313x2) x

1x2+ 20

2x1+x220

1+ 2x2100

7x1+ 2x2280

x 1;x20 Les deux premieres contraintes doivent ^etre reecrites sous la forme : x1+x22

2x1x2 2

Le lagrangien s'ecrit de la maniere suivante :

L(x;) =x313x21(x1+x22)2(2x1x2+ 2)

3(x1+ 2x210)4(7x1+ 2x228)

Les conditions de Kuhn-Tucker sont donc les suivantes. Il y a tout d'abord les conditions de signe sur les variables : x

10; x20; 10; 20; 30; 40

Il faut ensuite calculer les derivees partielles par rapport a ces variables et poser les conditions de signe correspondantes. Dans le cas des derivees par 3 rapport aux coecients, on retrouve les contraintes :

3x21+1+ 223740

31+223240

1x2+ 20

2x1+x220

1+ 2x2100

7x1+ 2x2280

Il y a enn les relations d'exclusion :

1(3x21+1+ 22374) = 0

2(31+22324) = 0

1(x1x2+ 2) = 0

2(2x1+x22) = 0

3(x1+ 2x210) = 0

4(7x1+ 2x228) = 0

Ce sont ces dernieres conditions qui servent a mener la discussion car elles presentent une alternative. L'un des deux termes du produit doit ^etre nul. On discute donc en testant les deux possibilites. On cherche a maximiser la fonction objectiff=x313x2. Intuitivement, on voit qu'il faut choisirx1le plus grand possible etx2le plus petit possible. On va donc chercherx2= 0 (les variables doivent ^etre positives). On est conduit, en remplacant dans les conditions ax1= 4, puis1=2=

3= 0 et1= 48=7. C'est l'optimum du probleme et on peut verier qu'il

remplit toutes les conditions de Kuhn-Tucker.

Programme 2

8 >>:Max(4x13x2) x

1+ 2x27

2x1+ 5x28

x 1;x20 La deuxieme contrainte doit ^etre reecrite sous la forme :

2x15x2 8

Le lagrangien s'ecrit de la maniere suivante :

L(x;) = 4x13x21(x1+ 2x27)2(2x15x2+ 8)

Les conditions de Kuhn-Tucker sont donc les suivantes. Il y a tout d'abord les conditions de signe sur les variables : x

10; x20; 10; 20

4 Il faut ensuite calculer les derivees partielles par rapport a ces variables et poser les conditions de signe correspondantes. Dans le cas des derivees par rapport aux coecients, on retrouve les contraintes :

41+ 220

321+ 520

1+ 2x27

2x1+ 5x28

Il y a enn les relations d'exclusion :

1(41+ 22) = 0

2(321+ 52) = 0

1(x1+ 2x27) = 0

2(2x1+ 5x28) = 0

La discussion des relations d'exclusion conduit a la solution suivante : x

1= 7; x2= 0; 1= 4; 2= 0:Corrige ex. 2 - Methode de Lagrange-3-2-10123

-2 -1 0 1 2 x yl ll ll x1 x2M a b1) Pour determiner le rectangle, il sut de trouver les coordonnees de son coin superieur droitM. Si (x1;x2) sont les coordonnees deM, la surface du 5 rectangle estS= 2x12x2= 4x1x2. Le probleme s'ecrit donc :

8>>>><

>>>:Max(4x1x2) x 21a

2+x22b

2= 1 x 1;x20 On peut le traiter directement par la methode de Lagrange. Le lagrangien est :

L(x1;x2;) = 4x1x2x21a

2+x22b

21
On annule les derivees partielles deLpar rapport aux variablesx1,x2et:

8>>>>>>><

>>>>>>:@L@x

1= 4x22x1a

2= 0 @L@x

2= 4x12x2b

2= 0 @L@x

1=x21a

2+x22b

21
= 0 En eliminantentre les deux premieres equations, on obtient la relation a

2x22=b2x21. En la reportant dans l'equation de la contrainte, on trouve na-

lementx21=a22 et doncx22=b22 . Comme on cherche une solution positive, la reponse est : 8>>< >:x 1=ap2 x 2=bp2

La surface maximale du rectangle est donc 2ab.

2) C'est une generalisation de la question precedente. Le probleme s'ecrit :

8>>>><

>>>:Max(8x1x2x3) x 21a

2+x22b

2+x23c

2= 1 x

1;x2;x30

La resolution est identique et conduit a la solution suivante :

8>>>>><

>>>>:x 1=ap3 x 2=bp3 x 3=cp3 6

Corrige ex. 3 -

Economie a deux biensIl faut maximiser la fonction d'utilite

U(x1;x2) = 2lnx1+ ln(3x2):

Les conditions imposees s'ecrivent sous la forme de contraintes inegalite :x11 etx23. Il faut d'autre part tenir compte des prixp1etp2et ecrire que l'agent economique ne peut pas depenser plus que ce qu'il gagne, autrement dit, il faut quep1x1p2x2.

Finalement le programme d'optimisation s'ecrit :

8>>>>>><

>>>>>:Max

2lnx1+ ln(3x2)

x 11 x 23
p

1x1p2x20

x 1;x20

Le lagrangien s'ecrit de la maniere suivante :

L(x;) = 2lnx1+ ln(3x2)1(x1+ 1)2(x28)3(p1x1p2x2)

Les conditions de Kuhn-Tucker sont les suivantes. Il y a tout d'abord les conditions de signe sur les variables : x

10; x20; 10; 20; 30

Il faut ensuite calculer les derivees partielles par rapport a ces variables et poser les conditions de signe correspondantes. Dans le cas des derivees par rapport aux coecients, on retrouve les contraintes : 2x

1+13p10

13x22+3p20

x 11 x 23
p

1x1p2x20

Il y a enn les relations d'exclusion :

x 12x

1+13p1

= 0 x

213x22+3p2

= 0

1(x11) = 0

2(x23) = 0

3(p1x1p2x2) = 0

7 On remarque que, puisqu'on a la conditionx11, on peut exclure le cas ou x

1= 0. La premiere relation d'exclusion impose donc :

1+13p1

Par consequentx2ne peut pas non plus ^etre nul d'apres la troisieme contrainte.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Comment calculer la minimisation avec contrainte ?

Comment calculer la courbe de contrainte?

Comment calculer la contrainte d'un point ?

Comment calculer la contrainte d’une fonction?

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Master d'economie Cours de M. Desgraupes

Methodes Numeriques

2 Les coniques 14

3 La methode de Beale 31

4 La methode de Dantzig 46

5 La methode de Wolfe 57

Rappels de cours

L(x;) =f(x):(g(x)b) =f(x)1:(g1(x)b1)m:(gm(x)bm):

L00:rL= 0 (2)

Ecriture avec des variables d'ecart

L(x;x0;) =f(x):g(x) +x0b:

C'est une fonction desx, desx0et des.

00rx0L0x0:rx0L= 0 (4)

0rL= 0 (5)

0j0@L@x

0j0x0j@L@x

Programme 1

1x2+ 20

2x1+x220

1+ 2x2100

7x1+ 2x2280

2x1x2 2

Le lagrangien s'ecrit de la maniere suivante :

L(x;) =x313x21(x1+x22)2(2x1x2+ 2)

3(x1+ 2x210)4(7x1+ 2x228)

10; x20; 10; 20; 30; 40

3x21+1+ 223740

31+223240

1x2+ 20

2x1+x220

1+ 2x2100

7x1+ 2x2280

Il y a enn les relations d'exclusion :

1(3x21+1+ 22374) = 0

2(31+22324) = 0

1(x1x2+ 2) = 0

2(2x1+x22) = 0

3(x1+ 2x210) = 0

4(7x1+ 2x228) = 0

3= 0 et1= 48=7. C'est l'optimum du probleme et on peut verier qu'il

Programme 2

1+ 2x27

2x1+ 5x28

2x15x2 8

Le lagrangien s'ecrit de la maniere suivante :

L(x;) = 4x13x21(x1+ 2x27)2(2x15x2+ 8)

10; x20; 10; 20

41+ 220

321+ 520

1+ 2x27

2x1+ 5x28

Il y a enn les relations d'exclusion :

1(41+ 22) = 0

2(321+ 52) = 0

1(x1+ 2x27) = 0

2(2x1+ 5x28) = 0

1= 7; x2= 0; 1= 4; 2= 0:Corrige ex. 2 - Methode de Lagrange-3-2-10123

8>>>><

2+x22b

L(x1;x2;) = 4x1x2x21a

2+x22b

8>>>>>>><

1= 4x22x1a

2= 4x12x2b

1=x21a

2+x22b

2x22=b2x21. En la reportant dans l'equation de la contrainte, on trouve na-

La surface maximale du rectangle est donc 2ab.

2) C'est une generalisation de la question precedente. Le probleme s'ecrit :

8>>>><

2+x22b

2+x23c