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PRÉSENTER DES PRODUITS /ARGUMENTER/CONVAINCRE
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Le SONCAS: Le SONCAS est un moyen mnémotechnique pour avoir en tête les mobiles d'achat les plus fréquents des clients. Ce n'est pas le seul qui existe mais
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classifie ces mobiles notamment avec la méthode dite « SONCAS » : Par petits groupes selon l’exemple donnez les aspects les plus importants pour chaque mobile d’achat: MOBILE Le client recherche : Sécurité des produits de qualité garanties SAV robustesse réputation de la marque etc Orgueil Nouveauté Confort Argent Sympathie
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1. Determiner la matriceA=Mat(f)Bdefdans la base canonique deR3.
2. Determiner le polyn^ome caracteristique def. En deduire les valeurs propres def.
3. Determiner une base pour chaque espace propre def. L'endomorphismefest-il diago-
nalisable?4. Trouver une matricePtelle queA=PDP1, ouDest une matrice diagonale que l'on
explicitera.5. Determiner la matriceAn, pour toutn1.
Solution11. La matrice de l'endomorphismefdans la base canonique est donnee parMat(f)B0
@3 01 2 4 21 0 31
A2. Le polyn^ome caracteristique defest celui associe a la matriceA:
pA() = det(AI3) =
3012 42 1 0 3 Je developpe ce determinant par rapport a la deuxieme colonne, puisqu'elle contient un maximum de termes nuls. On a donc p
A() = (4)31
1 3 = (4)((3)21): On a pas d'autre choix que de developper la parenthese pour en trouver les racines, ce qui donne pA() = (4)(26+ 8):
Le polyn^ome26+ 8 est de degre 2, on sait donc facilement trouver ses racines en en calculant le discriminant et on obtient les deux racines 4 et 2, autrement dit pA() =(4)2(2):
3. On rappelle que les espaces propres deA, notesEouest une valeur propre deA,
sont simplement denis par E = ker(AI3): Il s'agit donc simplement ici de determiner des bases pour des noyaux, ce que l'on sait parfaitement faire avec la methode de Gauss ou par resolution d'un systeme. | Base deE2= ker(A2I3) : 0 @1 011 0 02 2 20 1 0
1 0 10 0 1
1 AC3 C3+C1!0
@1 0 01 0 12 2 40 1 0
1 0 00 0 1
1 A C3 C32C2!0
@1 0 01 0 12 2 00 12
1 0 00 0 1
1 AUne base deE2est donc donnee par8
:0 @1 2 11 A9= | Base deE4= ker(A4I3) : 0 @1 011 0 02 0 20 1 0
1 010 0 1
1 AC3 C3C1!0
@1 0 01 012 0 00 1 0
1 0 00 0 1
1 AUne base deE4est donc donnee par8
:0 @0 1 01 A ;0 @1 0 11 A9= On a donc dim(E2) + dim(E4) = 3 etAest diagonalisable.4. Notons
P=0 @1 01 2 1 01 0 11
A la matrice de passage obtenue gr^ace aux vecteurs de la question precedente. Le cours assure que l'on a alors A=P0 @2 0 0 0 4 00 0 41
A P1:5. Pour toute matriceBet pour tout entiern, on a toujours
(PBP1)n=PB(P1P)BP1:::PB(P1P)BP1=PBnP1:On a donc pour tout entiern
A n= (PDP1)n=PDnP1: On calcule donc l'inverse dePavec la methode de Gauss par exemple et on trouve P 1=0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
AOn calcule donc
A n=PDnP1=0 @1 01 2 1 01 0 11
A0 @2 0 0 0 4 00 0 41
An 0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
A 0 @1 01 2 1 01 0 11
A0 @2n0 0 0 4 n0 0 0 4 n1 An 0 @1=2 0 1=2 1 1 11=2 0 1=21
A = 2n10 @2n+ 1 0 12n 2(2 n1) 2n+12(2n1)12n0 2n+ 11
A Ne vous inquietez pas si vous ne trouvez pas le m^eme resultat, on ne vous demandera pas a l'examen de faire des calculs aussi lourds... L'important est que vous compreniez la methode. Exercice2Diagonaliser les matrices suivantes, lorsque cela est possible. A=0 @1 1 1 11 1 1 111 A ;B=0 @21 1 1 01 22 11A
Solution2| MatriceA.
On commence par calculer le polyn^ome caracteristique deA. On pourrait le simplier en faisant les operationsC1 C1+C2+C3puisL2 L2L1etL3 L3L1mais faisons comme si nous n'avions pas cette astuce en t^ete et developpons le "b^etement". p A() = 11 1 1111 11 On a donc en developpement par rapport a la premiere ligne disons, p
A() = (1)11
11 1 1 11 +11 1 1 et donc on obtient en un temps nipA() =332+4:Arrive a ce point, on remarque que 1 est une racine evidente et donc le polyn^omepA() est divisible par1. Pour trouver les autres racines du polyn^ome, on eectue donc sa division euclidienne par1 :332+ 41 3+224442+4 42+44+4 4+40
On a donc montre quepA() = (1)(244) et il reste a trouver les racines du polyn^ome de la seconde parenthese qui est de degre 2. Lucidite ou discriminant, vous trouvez que2 en est une racine double et donc pA() =(1)(+ 2)2
Les valeurs propres deAsont donc 1 et2, on calcule les espaces propres associes. Pour E1on trouve une base a ker(AI3).
0 @2 1 11 0 012 10 1 0
1 120 0 1
1 AC2$C1!0
@12 10 1 02 1 11 0 0
1 120 0 1
1 A 0 @12 10 1 02 1 11 0 0
1 120 0 1
1 AC2 C2+ 2C1
C3 C3C1!0
@1 0 00 1 023 31 21
1 330 0 1
1 A C3$C3+C2!0
@1 0 00 1 123 01 2 1
1 3 00 0 1
1 AUne base deE1est donc donnee par8
:0 @1 1 11 A9= De m^eme pourE2, on trouve une base a ker(A+ 2I3). 0 @1 1 11 0 01 1 10 1 0
1 1 10 0 1
1 AC2 C2C1
C3 C3C1!0
@1 0 01111 0 00 1 0
1 0 00 0 1
1 A et une base deE2est donc donnee par8 :0 @1 1 01 A ;0 @1 0 11 A9= On a donc dim(E1)+dim(E2) = 3 etAest diagonalisable et le cours assure que si l'on pose la matrice de passage P=0 @111 1 1 01 0 11
A alors on a A=P0 @1 0 0 02 0 0 021 A P1: | MatriceB. On commence par calculer le polyn^ome caracteristique deB. On trouve p B() = 21 111 22 1
=3+ 32+3: A nouveau, on remarque que 1 est une solution evidente depB(), on eectue donc sa division euclidienne par1.
3+ 32+31 3+22+ 2+ 322+322233330
On a donc
pB() = (1)(2+ 2+ 3)
et on calcule le discriminant du polyn^ome2+ 2+ 3 pour trouver ses racines 3 et1, le polyn^ome caracteristique deBs'ecrit donc
pB() =(1)(+ 1)(3):
La matriceBa 3 valeurs propres distinctes, on sait donc deja d'apres le cours qu'elle est diagonalisable. Calculons tout de m^eme les espaces propres assoces aux trois valeurs propres deB. On commence parE1. 0 @11 11 0 01110 1 0
22 00 0 1
1 AC2 C2+C1
C3 C3C1!0
@1 0 01 111 020 1 0
2 020 0 1
1 A C2$C3!0
@1 0 011 112 00 0 1
22 00 1 0
1 A et une base deE1est donc donnee par8 :0 @1 1 01 A9=De m^eme pourE1.
0 @31 11 0 01 110 1 0
22 20 0 1
1 AC2$C1!0
@1 3 10 1 01 111 0 0
2 2 20 0 1
1 A C2 C2+ 3C1
C3 C3+C1!0
@1 0 00 1 01 4 01 3 1
24 00 0 1
1 A et une base deE1est donc donnee par8 :0 @0 1 11 A9=De m^eme pourE3.
0 @11 11 0 01310 1 0
2220 0 1
1 AC2 C2C1
C3 C3+C1!0
@1 0 011 114 00 1 0
24 00 0 1
1 A et une base deE3est donc donnee par8 :0 @1 0 11 A9=En considerant donc la matrice de passage
P=0 @1 0 1 1 1 00 1 11
A le cours assure que l'on a A=P0 @1 0 0 01 00 0 31
A P1 Exercice3Diagonaliser les matricesAsuivantes. En deduire les valeurs deA7. A=0 @1 2 3 02 01 2 11
A ;B=0 @1 3 0 32101 11 A Solution3| En developpant le determinant par rapport a la seconde ligne, on trouve facilement que p
A() =(2)(+ 2)2:
On commence par determiner l'espace propreE2. On sait deja qu'il est de dimension 1 par le cours, car la multiplicite algebrique de 2 danspAvaut 1. Il sut donc de trouver un vecteur non nul dansE2pour en avoir une base, mais faire l'algorithme b^etement n'est pas bien plus long.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] exercices corrigés spectroscopie infrarouge
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