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Première S 634

Frédéric Junier

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2Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

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3Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 71 page 180

α=97π6

α2π=9712

≈8;

α-8×2π=97π6

-96π6 =π6

La mesure principale deα=97π6

est doncπ6.

4Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 72 page 180 Question a)

α=72π5

α2π=7210

≈7;

α-7×2π=72π5

-70π5 =2π5

La mesure principale deα=97π6

est donc2π5.

5Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 72 page 180 Question a)

α=72π5

α2π=7210

≈7;

α-7×2π=72π5

-70π5 =2π5

La mesure principale deα=97π6

est donc2π5.

6Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 72 page 180 Question a)

α=72π5

α2π=7210

≈7;

α-7×2π=72π5

-70π5 =2π5

La mesure principale deα=97π6

est donc2π5.

7Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 72 page 180 Question b)

α=2015π.

2015π=π+2×1012π;

La mesure principale deα=2015πest doncπ.

8Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

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9Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 64 page 180

Soit -→u,-→vet-→wdes vecteurs non nuls tels que : -→u,-→v? =-π3 +k2π?-→v,-→w? =7π6 +k2π ?-→u,--→v? =?-→u,-→v? +π=2π3 +k2π; ?-→u,-→w? =?-→u,-→v? +?-→v,-→w? =5π6 +k2π;

5-→v,3-→w?

5-→v,-→v?

+?-→v,-→w? +?-→w,3-→w?

0+7π6

+0+k2π; --→w,--→u? --→w,-→w? +?-→w,-→u? +?-→u,--→u?

π+?-→w,-→u?

+π=?-→w,-→u? +2π=-?-→u,-→w? +2π=

5π6+k2π.

10Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Une nouvelle propriété

Dans les questions c) et d) de l"exercice 64, on a mis en évidence une nouvelle propriété des angles orientés.Theorem Soit-→u et-→v des vecteurs non nuls etλetμdes réels non nuls.

Siλetμsont de même signe alors?

λ-→u,μ-→v?

=?-→u,-→v? +k2π;

Siλetμsont de signes opposés alors?

λ-→u,μ-→v?

=π+?-→u,-→v? +k2π.

11Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 65 page 180

Soit -→u,-→vet-→wdes vecteurs non nuls tels que : -→u,-→v? =47π9 +k2π?-→u,3-→w? =-88π9 +k2π ?-→v,-→u? =-?-→u,-→v? +π=-47π9 +k2π; ?-→v,-→w? =?-→v,-→u? +?-→u,-→w? =-47π9 -88π9 +k2π=

135π9

+k2π=-15π+k2π. On en déduit que les vecteurs-→vet-→wsont colinéaires.

12Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 66 page 180

Soit -→u,-→vet-→wdes vecteurs non nuls tels que : -→u,-→v? =π6 +k2π?-→u,-→w? =π12 +k2π ?-→u,--→v? =?-→u,-→v? +π=7π6 +k2π; ?-→u,3-→u? =?-→u,-→u? =k2π; ?-→v,-→w? =?-→v,-→u? +?-→u,-→w? -?-→u,-→v? +?-→u,-→w? =-π6 +π12 +k2π=-π12 +k2π; -2-→w,-5-→v? = =?-→w,-→v? =-?-→v,-→w? =π12 +k2π.

13Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 67 page 180 Partie (1/2)

SoitABCDun quadrilatère.

--→AB,--→AD? +?--→DA,--→DC? +?--→CD,--→CB? ?--→BC,--→BA? =?--→AB,--→AD? +?--→AD,--→CD? ?--→CD,--→CB? +?--→CB,--→AB? --→AB,--→AD? +?--→DA,--→DC? +?--→CD,--→CB? ?--→BC,--→BA? =?--→AB,--→CD? +?--→CD,--→CB? +?--→CB,--→AB?

14Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 67 page 180 Partie (2/2)

--→AB,--→AD? +?--→DA,--→DC? +?--→CD,--→CB? ?--→BC,--→BA? =?--→AB,--→CB? +?--→CB,--→AB? --→AB,--→AD? +?--→DA,--→DC? +?--→CD,--→CB? ?--→BC,--→BA? =?--→AB,--→AB? =k2π On a appliqué trois fois de suite la relation de Chasles pour retrouver que la somme des mesures des angles internes à un quadrilatère mesure 2πradians soit 360 degrés au signe près.

15Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

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16Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 101 page 182

cos(x) =cos? -3π4 ???x=-3π4 +k2π,k?Z ou x=3π4 +k?2π,k??Z

L"équation a deux solutions dans]-π;π]:

S=? -3π4 ;3π4

17Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 102 page 182

sin(x) =sin? -3π5 ???x=-3π5 +k2π,k?Z ou x=π--3π5 +k?2π,k??Z ???x=-3π5 +k2π,k?Z ou x=8π5 +k?2π,k??Z

L"équation a deux solutions dans[0;2π[:

S=?7π5

=-3π5 +2π;8π5?

18Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 103 page 182

cos(x) =cos?4π7 ???x=4π7 +k2π,k?Z ou x=-4π7 +k?2π,k??Z

L"équation a deux solutions dans]0;2π]:

S=?4π7

;-4π7 +2π=10π7

19Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 104 page 182 Partie 1 / 2

2sin(x) +1=0??sin(x) =-12

??sin(x) =sin? -π6 ???x=-π6 +k2π,k?Z ou x=π--π6 +k?2π,k??Z ???x=-π6 +k2π,k?Z ou x=7π6 +k?2π,k??Z

20Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 104 page 182 Partie 2 / 2

L"équation 2sin(x) +1=0 a deux solutions dans[0;2π[:

S=?7π6

;-π6 +2π=11π6 ?L"équation 2sin(x) +1=0 a deux solutions dans[2π;4π[: S=?

2π+7π6

=19π6 ;-π6 +4π=23π6

21Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 105 page 182

sin(x) =⎷3 2 ??sin(x) =sin?π3 ??x=π3 +k2π,k?Z ou x=π-π3 +k?2π,k??Z

L"équation a deux solutions dans[0;π]:

S=?π3

;2π3

22Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 106 page 182

cos(x) =⎷3 2 ??cos(x) =cos?π6 ??x=π6 +k2π,k?Z ou x=-π6 +k?2π,k??Z

L"équation a deux solutions dans[0;2π[:

S=?π6

;-π6 +2π=11π6

23Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

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24Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 124 page 183 Question a)

α=31π4

α2π=318

≈4;

α-4×2π=-π4

La mesure principale deα=97π6

est donc-π4.

25Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 124 page 183 Question b)

α=-111π2

α2π=-1114

≈ -28;

α-(-28)×2π=π2

La mesure principale deα=-111π2

est doncπ2.

26Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 124 page 183 Question c)

α=97π5

α2π=9710

≈10;

α-10×2π=-3π5

La mesure principale deα=97π5

est donc-3π5.

27Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 125 page 183

?--→KN,--→KM? =-π2 +k2π; ?--→PN,--→MQ? =?--→PN,---→PN? =π+k2π; ?--→KP,--→NQ? =?--→KP,--→KQ? =π2 +k2π.

28Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 126 page 183 Partie 1 / 2

On pose cos

π5 =m. 1. On a cosπ5 2 sinπ5 2 =1 donc sinπ5 2 =1-? cosπ5 2 =1-m2.

De plus on a

π5 ?[0;π]donc sinπ5 >0.

On en déduit que : sin

π5 =?1-m22.On a

4π5

=π-π5 , on en déduit que : cos

4π5

=-cosπ5 =-met sin4π5 =sinπ5 =?1-m2

29Mesure principale d"un angle orientéProp riétésdes angles o rientésEquations ou inéquations trigonométriques E xercicesT opChrono

Exercice 126 page 183 Partie 2 / 2

On pose cos

π5 =m, on a établi que sinπ5 =?1-m2. 1. On a π2 -π5 =3π10 etπ2 +π5 =7π10 2.

On en dé duitque :

cos

3π10

=sinπ5 =?1-m2et sin7π10 =cosπ5quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Quels sont les exercices de trigonométrie?

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α=97π6

α2π=9712

α-8×2π=97π6

La mesure principale deα=97π6

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Exercice 72 page 180 Question a)

α=72π5

α2π=7210

α-7×2π=72π5

La mesure principale deα=97π6

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α=72π5

α2π=7210

α-7×2π=72π5

La mesure principale deα=97π6

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α=72π5

α2π=7210

α-7×2π=72π5

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α=2015π.

2015π=π+2×1012π;

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5-→v,3-→w?

5-→v,-→v?

0+7π6

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Exercice 66 page 180

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