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Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice1:

Résolvons l"équationcos(x) =-⎷3

2 cos(x) =-⎷ 3

2?cos(x) =-cos?π6?

?cos(x) = cos? 6? ?cos(x) = cos?5π 6? ?x=5π

6+ 2kπoux=-5π6+ 2kπaveck?Z

1.lorsquexappartient à l"intervalle[0;π];

On a :

x=5π

6+ 2kπ?[0;π]aveck?Z

5π 5 ? -5 ?k= 0 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

k= 0alors on ax=5π6+ 2×0×π=5π6d"oùx=5π6.

x=-5π

6+ 2kπ?[0;π]aveck?Z

5π 5 ?5

D"où l"entier k n"existe donc pas.

Ainsi,x=5π

6est une solution unique de l"équation sur l"intervalle

[0;π]

2.lorsquexappartient à l"intervalle?

-π;π2?

On a :

x=5π

6+ 2kπ??

-π;π2? aveck?Z 5π

6+ 2kπ??

-π;π2? ? -1<5 ? -1-5 ? -11 ? -11 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

D"où l"entier k n"existe donc pas.

x=-5π

6+ 2kπ??

-π;π2? aveck?Z 5π

6+ 2kπ??

-π;π2? ? -1<-5 ? -1 +5 ? -1 ? -1 ? -1 ?k= 0 k= 0alors on ax=-5π

6+ 2×0×π=-5π6.

D"oùx=-5π

Ainsi,x=-5π

6est une solution unique de l"équation sur l"intervalle?

Exercice2:

1.On considère un nombre réelxde l"intervalle?

0;π2?

tel quesin(x) =14 a.Déterminons la valeur la valeur exacte decos(x).

On sait que pour toutx?R,

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

cos2(x) + sin2(x) = 1donccos2(x) = 1-sin2(x). cos

2(x) = 1-sin2(x)?cos2(x) = 1-?1

4? 2 ?cos2(x) = 1-1 16 ?cos2(x) =15 16 ?cos(x) =-⎷ 15

4oucos(x) =⎷

15 4

Le réelxappartient à l"intervalle?

0;π

2? donccos(x)>0d"où cos(x) =⎷15 4. Par conséquent, la valeur exacte decos(x)est⎷15 4.

b.Déterminons, à l"aide de la calculatrice en mode radian, une valeurapprochée dexau millième près.

c.Vérifier à l"aide de la calculatrice le résultat obtenu à la question a.

2.Déterminons la valeur exacte decos(x)avecxun nombre réel de

l"intervalle?

2;π2?

tel quesin(x) =-0,8. On sait que pour toutx?R,cos2(x) + sin2(x) = 1donc cos

2(x) = 1-sin2(x).

cos

2(x) = 1-sin2(x)?cos2(x) = 1-(0,8)2

?cos2(x) = 0,1-0,64 ?cos2(x) = 0,36 ?cos(x) = 0,6oucos(x) =-0,6

Le réelxappartient à l"intervalle?

2;π2?

donccos(x)>0d"où cos(x) = 0,6. Par conséquent, la valeur exacte decos(x)est0,6 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice3:

Déterminons dans chaque cas, le ou les nombres réelsxvérifiant la condition donnée.

1.cos(x) =-12etx?[0;π].

En s"aidant du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: cos(x) =-1

2lorsquex=2π3et lorsquex=-2π3.

xétant dans l"intervalle[0;π], alors la valeur dexqui convient est x=2π 3.

D"où

2π

3est l"unique solution de l"équationcos(x) =-12lorsquex?

[0;π].

2.sin(x) =-⎷2

2etx??

-π2;π2? A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: sin(x) =-⎷ 2

2lorsquex=-3π4et lorsquex=-π4.

xétant dans l"intervalle?

2;π2?

, alors la valeur dexqui convient est x=-π

4. D"où-π4est l"unique solution de l"équationsin(x) =-⎷

2 2 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

lorsquex?? -π2;π2?

3.cos(x) =⎷3

2etx??

-π2;π? A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: cos(x) =⎷ 3

2lorsquex=-π6et lorsquex=π6.

xétant dans l"intervalle?

2;π?

, alors les deux valeursx=-π6et x=π

6conviennent.

D"où-π

6etπ6sont les solutions de l"équationcos(x) =⎷

2lorsque

x??

2;π?

4.sin(x) =-⎷2

2etx??

-π;-π2? A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: sin(x) =-⎷ 2

2lorsquex=-3π4et lorsquex=-π4.

xétant dans l"intervalle? 2? , alors la valeur dexqui convient estx=-3π 4.

D"où-3π

4est l"unique solution de l"équationsin(x) =-⎷

2lorsque

x?? 2?

5.cos(x) =1⎷2etx?[-π;π].

cos(x) =1 ⎷2?cos(x) =⎷ 2 2. A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: cos(x) =⎷ 2

2lorsquex=-π4et lorsquex=π4.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

xétant dans l"intervalle[-π;π], alors les deux valeursx=-π4et x=π

4conviennent.

D"où-π

4etx=π4sont les solutions de l"équationcos(x) =1⎷2lorsque

x?[-π;π].

6.cos(x) =-1etx?[-π;π].

A partir du cercle trigonométrique ci-dessus, on remarque que: cos(x) =-1lorsquex=-πet lorsquex=π. xétant dans l"intervalle[-π,π], alors les deux valeursx=-πetx=π conviennent. D"où-πetπsont les solutions de l"équationcos(x) =-1lorsque x?[-π;π]

Exercice4:

Déterminons dans chaque cas, le ou les nombres réelsxvérifiant la condition donnée.

1.-2sin(x) + 1 =-1etx?[0;π[.

On a:-2sin(x) + 1 =-1? -2sin(x) =-2?sin(x) = 1.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

A partir du cercle trigonométrique ci-dessus,

la seule valeur dexvérifiant la conditionsin(x) = 1estπ 2. Et

2?[0;π[, d"où l"équation admetπ2comme solution unique.

2.1-cos(3x) = 0etx?[-π;π[.

1-cos(3x) = 0?cos(3x) = 1

?cos(3x) = cos(0) ?3x= 2kπaveck?Z ?x=2kπ

3aveck?Z

Déterminons les valeurs dekpour lesquelsx?[-π;π[.

3< π

3<1 3 kétant un entier alorsk=-1,k= 0etk= 1.

Pourk=-1on ax=2×(-1)×π

3doncx=-2π3.

Pourk= 0on ax=2×0×π

3doncx= 0.

Pourk= 1on ax=2×1×π

3doncx=2π3

Ainsi,0,-2π

3et2π3sont les solutions de l"équation1-cos(3x) = 0

lorsquex?[-π;π[ c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.cos(x) = cos?3π4?

etx?[0;π]. cos(x) = cos?3π 4? ?cos(x) =-⎷ 2 2. Or à partir du tableau trigonométrique ci-dessus, les seuls valeurs vérifiant la conditioncos(x) =-⎷ 2

2sont3π4et-3π4.

xétant dans l"intervalle[0;π], seule la valeurx=3π

4convient.

D"où

3π

4est l"unique solution de l"équationcos(x) = cos?3π4?

lorsque x?[0;π].

4.(2sin(x))2-3 = 0etx??

-π4;π?

On a :(2sin(x))2-3 = 0?4sin2(x) = 3?sin2(x) =3

4 doncsin(x) =-⎷3

2ousin(x) =⎷

3 2

Lorsquesin(x) =-⎷

3 2.

A partir du cercle trigonométrique ci-dessus,

les valeurs dexvérifiant la conditionsin(x) =-⎷ 3

2sontx=-2π3

etx=-π 3. Or aucune de ces deux valeurs n"appartient à l"intervalle?

4;π?

Ainsi, l"équationsin(x) =-⎷3

2n"admet aucune solution dans

l"intervalle?

4;π?

Lorsquesin(x) =⎷

3 2.

A partir du cercle trigonométrique ci-dessus,

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

les valeurs dexvérifiant la conditionsin(x) =⎷3

2sontπ3et2π3.

Les valeurs

3et2π3appartiennent à l"intervalle?

-π4;π? donc elles sont solutions de l"équationsin(x) =⎷3 2. En somme, les solutions de l"équation(2sin(x))2-3 = 0lorsque x??

4;π?

sontπ3et2π3.

Exercice5:

Résolvons dans[0;2π]les inéquations suivantes, à l"aide du cercle trigonométrique.

2sin(x)-⎷

2 2 4? Les réels solutions de cette inéquation sont les réels dont les points images sont sur la partie colorée en rouge sur cercle trigonométrique ci-dessous ( les extrémités inclues ). c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

La partie du cercle trigonométrique colorée en rouge sur l"intervalle [0;2π]correspond à l"ensemble :?

0;π

4? ??3π4;2π?

D"où

0;π

4? ??3π4;2π? est la partie solution de l"inéquation.

2.2sin(x)-⎷3≥0.

2sin(x)-⎷

3≥0?2sin(x)≥⎷3

?sin(x)≥⎷ 3 2 ?sin(x)≥sin?π 3? Les réels solutions de cette inéquation sont les réels dont les points images sont sur la partie colorée en rouge sur cercle trigonométrique ci-dessous ( les extrémités inclues ). La partie du cercle trigonométrique colorée en rouge sur l"intervalle [0;2π]correspond à l"ensemble :?π

3;2π3?

D"où

3;2π3?

est la partie solution de l"inéquation.

3.cos(x)>-12.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.11

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

cos(x)>-12?cos(x)>cos?2π3? Les réels solutions de cette inéquation sont les réels dont les points images sont sur la partie colorée en rouge sur cercle trigonométrique ci-dessous ( les extrémités exclues ). La partie du cercle trigonométrique colorée en rouge sur l"intervalle [0;2π]correspond à l"ensemble?

0;2π

3? ??4π3;2π?

D"où

0;2π

3? ??4π3;2π? est la partie solution de l"inéquation.

Exercice6:

Résolvons dans]-π;π]l"équationcos(3x) =12. cos(3x) =1

2?cos(3x) = cos?π3?

?3x=π

3+ 2kπou3x=-π3+ 2kπaveck?Z

?x=π

9+23kπoux=-π9+23kπaveck?Z

Déterminons les valeurs dekpour lesquelsx?]-π;π]. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

lorsquex=π9+23kπ

x?]-π;π]? -π <π ? -1<1 ? -1-1 ? -10 ? -10 ? -5 kétant un entier alorsk=-1,k= 0etk= 1. -Pourk=-1,x=π x=-5π 9 -Pourk= 0,x=π

9+23×0×πdoncx=π9

-Pourk= 1,x=π

9+23×1×π=π9+2π3=π+ 6π9doncx=7π9

lorsquex=-π

9+23kπ.

x?]-π;π]? -π <-π ? -1<-1 ? -1 +1 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.13quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES - Cours Galilée

Quels sont les exercices de trigonométrie?

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Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

Exercice1:

Résolvons l"équationcos(x) =-⎷3

2?cos(x) =-cos?π6?

6+ 2kπoux=-5π6+ 2kπaveck?Z

1.lorsquexappartient à l"intervalle[0;π];

On a :

x=5π

6+ 2kπ?[0;π]aveck?Z

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

x=-5π

6+ 2kπ?[0;π]aveck?Z

D"où l"entier k n"existe donc pas.

Ainsi,x=5π

6est une solution unique de l"équation sur l"intervalle

2.lorsquexappartient à l"intervalle?

On a :

x=5π

6+ 2kπ??

6+ 2kπ??

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

D"où l"entier k n"existe donc pas.

x=-5π

6+ 2kπ??

6+ 2kπ??

6+ 2×0×π=-5π6.

D"oùx=-5π

Ainsi,x=-5π

6est une solution unique de l"équation sur l"intervalle?

Exercice2:

1.On considère un nombre réelxde l"intervalle?

0;π2?

On sait que pour toutx?R,

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

2(x) = 1-sin2(x)?cos2(x) = 1-?1

4oucos(x) =⎷

Le réelxappartient à l"intervalle?

0;π

2.Déterminons la valeur exacte decos(x)avecxun nombre réel de

2;π2?

2(x) = 1-sin2(x).

2(x) = 1-sin2(x)?cos2(x) = 1-(0,8)2

Le réelxappartient à l"intervalle?

2;π2?

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Exercice3:

1.cos(x) =-12etx?[0;π].

2lorsquex=2π3et lorsquex=-2π3.

D"où

3est l"unique solution de l"équationcos(x) =-12lorsquex?

2.sin(x) =-⎷2

2etx??

2lorsquex=-3π4et lorsquex=-π4.

2;π2?

4. D"où-π4est l"unique solution de l"équationsin(x) =-⎷

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.cos(x) =⎷3

2etx??

2lorsquex=-π6et lorsquex=π6.

2;π?

6conviennent.

D"où-π

6etπ6sont les solutions de l"équationcos(x) =⎷

2lorsque

2;π?

4.sin(x) =-⎷2

2etx??

2lorsquex=-3π4et lorsquex=-π4.

D"où-3π

4est l"unique solution de l"équationsin(x) =-⎷

2lorsque

5.cos(x) =1⎷2etx?[-π;π].

2lorsquex=-π4et lorsquex=π4.

x=5π

x=-5π

x=5π

x=-5π

Pourk=-1on ax=2×(-1)×π

Pourk= 0on ax=2×0×π

Pourk= 1on ax=2×1×π

Lorsquesin(x) =-⎷

Lorsquesin(x) =⎷